stringtranslate.com

Бенуа Мандельброт

Бенуа Б. [n 1] Мандельброт [n 2] (20 ноября 1924 - 14 октября 2010) был польско-американским математиком и эрудитом польского происхождения , имевшим широкие интересы в практических науках, особенно в отношении того, что он называл «искусством грубость» физических явлений и «неуправляемая стихия в жизни». [6] [7] [8] Он называл себя «фракталистом» [9] и получил признание за свой вклад в область фрактальной геометрии , который включал в себя создание слова «фрактал», а также разработку теории фрактала. «шероховатость и самоподобие » в природе. [10]

В 1936 году, в возрасте 11 лет, Мандельброт и его семья эмигрировали из Варшавы (Польша) во Францию. После окончания Второй мировой войны Мандельброт изучал математику, окончив университеты Парижа и США и получив степень магистра аэронавтики в Калифорнийском технологическом институте . Большую часть своей карьеры он провел в США и Франции, имея двойное французское и американское гражданство. В 1958 году он начал 35-летнюю карьеру в IBM , где стал научным сотрудником IBM , и периодически брал отпуск, чтобы преподавать в Гарвардском университете . В Гарварде, после публикации исследования товарных рынков США в отношении хлопковых фьючерсов, он преподавал экономику и прикладные науки.

Благодаря доступу к компьютерам IBM Мандельброт был одним из первых, кто использовал компьютерную графику для создания и отображения фрактальных геометрических изображений, что привело к открытию им множества Мандельброта в 1980 году. Он показал, как визуальная сложность может быть создана с помощью простых правил. Он сказал, что вещи, которые обычно считаются «грубыми», «беспорядками» или «хаотичными», такие как облака или береговая линия, на самом деле имеют «степень порядка». [11] Его исследования, ориентированные на математику и геометрию, включали вклад в такие области, как статистическая физика , метеорология , гидрология , геоморфология , анатомия , таксономия , неврология , лингвистика , информационные технологии , компьютерная графика , экономика , геология , медицина , физическая космология , инженерия. , теория хаоса , эконофизика , металлургия и социальные науки . [12]

К концу своей карьеры он был полноценным профессором математических наук в Йельском университете , где он был старейшим профессором в истории Йельского университета, получившим должность. [13] Мандельброт также занимал должности в Тихоокеанской северо-западной национальной лаборатории , Университете Лилля Норд де Франс , Институте перспективных исследований и Национальном центре научных исследований . За свою карьеру он получил более 15 почетных докторских степеней и работал во многих научных журналах, а также получил множество наград. Его автобиография « Фракталист: Мемуары научного индивидуалиста » была опубликована посмертно в 2012 году.

Ранние года

Бенедикт Мандельброт [15] родился в литовской еврейской семье, в Варшаве во времена Второй Польской Республики . [16] Его отец зарабатывал на жизнь торговлей одеждой; его мать была хирургом-стоматологом. В течение первых двух школьных лет его частным репетитором был дядя, который презирал механическое заучивание : «Большую часть времени я проводил за игрой в шахматы, чтением карт и обучением тому, как открыть глаза на все вокруг». [17] В 1936 году, когда ему было 11 лет, семья эмигрировала из Польши во Францию. Переезд, Вторая мировая война и влияние брата его отца, математика Солема Мандельбройта (переехавшего в Париж около 1920 года), еще больше помешали получить стандартное образование. «Тот факт, что мои родители, будучи экономическими и политическими беженцами, присоединились к Солему во Франции, спас нам жизнь», - пишет он. [9] : 17  [18]

Мандельброт посещал лицей Роллена (ныне Колледж-лицей Жака-Декура ) в Париже до начала Второй мировой войны , когда его семья переехала в Тюль , Франция. В продолжении учебы ему помог раввин Давид Фойерверкер , раввин Брив-ла-Гайард . [9] : 62–63  [19] Большая часть Франции в то время была оккупирована нацистами, и Мандельброт вспоминает этот период:

Мы постоянно боялись, что достаточно решительный враг может донести на нас властям и нас отправят на смерть. Это случилось с близкой подругой из Парижа Зиной Морханж , врачом из соседнего окружного центра. Просто чтобы исключить конкуренцию, на нее донес другой врач... Мы избежали этой участи. Кто знает почему? [9] : 49 

В 1944 году Мандельброт вернулся в Париж, учился в Lycée du Parc в Лионе , а в 1945–1947 годах посещал Политехническую школу , где учился у Гастона Жюли и Поля Леви . С 1947 по 1949 год он учился в Калифорнийском технологическом институте, где получил степень магистра воздухоплавания. [2] Вернувшись во Францию, он получил степень доктора математических наук в Парижском университете в 1952 году . [17]

Исследовательская карьера

С 1949 по 1958 год Мандельброт был сотрудником Национального центра научных исследований . За это время он провел год в Институте перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси , где его спонсировал Джон фон Нейман . В 1955 году он женился на Алиетт Каган и переехал в Женеву, Швейцария (чтобы сотрудничать с Жаном Пиаже в Международном центре генетической эпистемологии), а затем в Университете Лилль Норд де Франс . [20] В 1958 году пара переехала в Соединенные Штаты, где Мандельброт присоединился к исследовательскому персоналу в Исследовательском центре IBM Томаса Дж. Уотсона в Йорктаун-Хайтс, Нью-Йорк . [20] Он проработал в IBM 35 лет, став членом IBM, а затем почетным научным сотрудником . [17]

Начиная с 1951 года, Мандельброт работал над проблемами и публиковал статьи не только по математике, но и в прикладных областях, таких как теория информации , экономика и гидродинамика .

Случайность и фракталы на финансовых рынках

Мандельброт рассматривал финансовые рынки как пример «дикой случайности», характеризующейся концентрацией и долгосрочной зависимостью. Он разработал несколько оригинальных подходов к моделированию финансовых колебаний. [21] В своих ранних работах он обнаружил, что изменения цен на финансовых рынках следуют не распределению Гаусса , а скорее стабильному распределению Леви , имеющему бесконечную дисперсию . Он обнаружил, например, что цены на хлопок подчиняются стабильному распределению Леви с параметром α , равным 1,7, а не 2, как в распределении Гаусса. «Стабильные» распределения обладают тем свойством, что сумма многих экземпляров случайной величины следует тому же распределению, но с более крупным масштабным параметром . [22] Последняя работа начала 60-х годов была выполнена с использованием ежедневных данных о ценах на хлопок с 1900 года, задолго до того, как он ввел слово «фрактал». В последующие годы, после того как концепция фракталов созрела, исследование финансовых рынков в контексте фракталов стало возможным только после появления высокочастотных данных в области финансов. В конце 1980-х годов Мандельброт использовал внутридневные тиковые данные, предоставленные компанией Olsen & Associates в Цюрихе [23] [24] , чтобы применить теорию фракталов к микроструктуре рынка. Это сотрудничество привело к публикации первых всеобъемлющих статей по закону масштабирования в финансах. [25] [26] Этот закон демонстрирует схожие свойства в разных временных масштабах, подтверждая понимание Мандельброта фрактальной природы микроструктуры рынка. Собственные исследования Мандельброта в этой области представлены в его книгах « Фракталы и масштабирование в финансах» [27] и «(Неправильное) поведение рынков» . [28]

Развитие «фрактальной геометрии» и множества Мандельброта.

Будучи приглашенным профессором Гарвардского университета , Мандельброт начал изучать математические объекты, называемые множествами Жюлиа , которые были инвариантны относительно определенных преобразований комплексной плоскости . Опираясь на предыдущие работы Гастона Джулии и Пьера Фату , Мандельброт использовал компьютер для построения изображений множеств Джулии. Исследуя топологию этих множеств Жюлиа, он изучил множество Мандельброта , введенное им в 1979 году.

Мандельброт говорит о наборе Мандельброта во время своей речи на вручении Ордена Почетного легиона в 2006 году.

В 1975 году Мандельброт ввёл термин « фрактал» для описания этих структур и впервые опубликовал свои идеи во французской книге Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension , позже переведенной в 1977 году как « Фракталы: форма, случайность и размерность» . [29] По словам ученого-компьютерщика и физика Стивена Вольфрама , книга стала «прорывом» для Мандельброта, который до этого обычно «применял довольно простую математику... к областям, которые раньше едва видели свет серьезной математики». [11] Вольфрам добавляет, что в результате этого нового исследования он больше не был «странствующим учёным», а позже назвал его «отцом фракталов»:

Мандельброт в конечном итоге проделал большую научную работу и выявил гораздо более сильную и фундаментальную идею — проще говоря, что существуют некоторые геометрические фигуры, которые он назвал «фракталами», которые одинаково «грубы» во всех масштабах. Независимо от того, насколько близко вы смотрите, они никогда не становятся проще, так же как участок скалистого побережья, который вы видите у своих ног, выглядит таким же неровным, как и участок, который вы можете увидеть из космоса. [11]

Вольфрам кратко описывает фракталы как форму геометрического повторения, «при котором все меньшие и меньшие копии узора последовательно вкладываются друг в друга, так что одни и те же замысловатые формы появляются независимо от того, насколько сильно вы приближаете целое. Листья папоротника и романский стиль брокколи — два примера из природы». [11] Он делает неожиданный вывод:

Можно было подумать, что такая простая и фундаментальная форма закономерности будет изучаться сотни, если не тысячи лет. Но это не так. Фактически, она приобрела известность только за последние 30 лет или около того — почти полностью благодаря усилиям одного человека, математика Бенуа Мандельброта. [11]

Мандельброт использовал термин «фрактал», происходящий от латинского слова «fractus», обозначающего разбитое или разбитое стекло. Используя недавно разработанные компьютеры IBM, имевшиеся в его распоряжении, Мандельброт смог создавать фрактальные изображения с помощью графического компьютерного кода, изображения, которые интервьюер описал как «безумное изобилие психоделического искусства 1960-х годов с формами, навязчиво напоминающими природу и человеческое тело». . Он также считал себя «потенциальным Кеплером» в честь ученого 17-го века Иоганна Кеплера , который рассчитал и описал орбиты планет. [30]

Множество Мандельброта

Однако Мандельброт никогда не чувствовал, что изобретает новую идею. Он описал свои чувства в документальном фильме с научным писателем Артуром Кларком:

Исследуя этот набор, у меня определенно никогда не возникало чувства изобретательности. У меня никогда не было ощущения, что мое воображение достаточно богато, чтобы изобрести все эти необыкновенные вещи, обнаружив их. Они были там, хотя раньше их никто не видел. Это чудесно, очень простая формула объясняет все эти очень сложные вещи. Итак, цель науки — начать с беспорядка и объяснить его простой формулой, своего рода мечтой науки. [31]

По словам Кларка, « множество Мандельброта действительно является одним из самых поразительных открытий во всей истории математики. Кто мог подумать, что такое невероятно простое уравнение может генерировать изображения буквально бесконечной сложности?» Кларк также отмечает «странное совпадение»:

имя Мандельброт и слово « мандала » — для религиозного символа — что, я уверен, является чистым совпадением, но действительно набор Мандельброта, кажется, действительно содержит огромное количество мандал. [31]

В 1982 году Мандельброт расширил и обновил свои идеи в книге «Фрактальная геометрия природы» . [32] Эта влиятельная работа вывела фракталы в мейнстрим профессиональной и популярной математики, а также заставила замолчать критиков, которые считали фракталы « программными артефактами ».

Мандельброт покинул IBM в 1987 году, спустя 35 лет и 12 дней, когда IBM решила положить конец чистым исследованиям в его подразделении. [33] Он поступил на факультет математики в Йельском университете и получил свою первую постоянную должность в 1999 году, в возрасте 75 лет. [34] На момент выхода на пенсию в 2005 году он был полноценным профессором математических наук.

Фракталы и «теория шероховатости»

Мандельброт создал первую в истории «теорию шероховатости» и увидел «шероховатость» в формах гор, береговых линий и речных бассейнов ; структуры растений, кровеносных сосудов и легких ; скопление галактик . Его личным стремлением было создать некую математическую формулу для измерения общей «шероховатости» таких объектов в природе. [9] : xi  Он начал с того, что задал себе различные вопросы, связанные с природой:

Может ли геометрия дать то, что, казалось, обещал греческий корень ее названия [гео-] — правдивые измерения не только возделываемых полей вдоль реки Нил, но и необузданной Земли? [9] : xii 

В своей статье « Какова длина побережья Британии? Статистическая самоподобность и дробная размерность », опубликованной в журнале Science в 1967 году, Мандельброт обсуждает самоподобные кривые, имеющие хаусдорфову размерность , которые являются примерами фракталов , хотя Мандельброт не использует этот термин. в статье, поскольку он придумал ее только в 1975 году. Эта статья является одной из первых публикаций Мандельброта на тему фракталов. [35] [36]

Мандельброт подчеркивал использование фракталов как реалистичных и полезных моделей для описания многих «грубых» явлений реального мира. Он пришел к выводу, что «настоящая шероховатость часто фрактальна и ее можно измерить». [9] : 296  Хотя Мандельброт ввёл термин «фрактал», некоторые математические объекты, которые он представил в « Фрактальной геометрии природы», ранее были описаны другими математиками. Однако до Мандельброта их считали изолированными диковинками с неестественными и неинтуитивными свойствами. Мандельброт впервые собрал эти объекты вместе и превратил их в важные инструменты для давно зашедшей в тупик попытки расширить сферу науки до объяснения негладких, «грубых» объектов в реальном мире. Его методы исследования были как старыми, так и новыми:

Форма геометрии, которую я все больше предпочитаю, является самой старой, самой конкретной и самой всеобъемлющей, особенно наделенной силой глаза и помогаемой рукой, а сегодня также и компьютером... приносящей элемент единства в миры знания и чувство... и, невольно, как бонус, с целью создания красоты. [9] : 292 

Фракталы также встречаются в человеческих занятиях, таких как музыка, живопись, архитектура и цены на фондовом рынке . Мандельброт считал, что фракталы не только не являются неестественными, но во многих отношениях более интуитивны и естественны, чем искусственно гладкие объекты традиционной евклидовой геометрии :

Облака — не сферы, горы — не конусы, береговые линии — не круги, кора — не гладкая, а молния не движется по прямой.
  — Мандельброт во введении к «Фрактальной геометрии природы».

Раздел множества Мандельброта

Мандельброта называли художником, провидцем [37] и индивидуалистом. [38] Его неформальный и страстный стиль письма и его акцент на визуальной и геометрической интуиции (подкрепленный включением многочисленных иллюстраций) сделали « Фрактальную геометрию природы» доступной для неспециалистов. Книга вызвала широкий общественный интерес к фракталам и внесла свой вклад в теорию хаоса и другие области науки и математики.

Мандельброт также применил свои идеи в космологии. В 1974 году он предложил новое объяснение парадокса Ольберса (загадка «темного ночного неба»), продемонстрировав следствия теории фракталов как достаточного, но не необходимого решения парадокса. Он постулировал, что если бы звезды во Вселенной были фрактально распределены (например, как канторовская пыль ), не было бы необходимости полагаться на теорию Большого взрыва для объяснения парадокса. Его модель не исключала бы Большого взрыва, но допускала бы темное небо, даже если бы Большого взрыва не произошло. [39]

Награды и отличия

Награды Мандельброта включают премию Вольфа по физике в 1993 году, премию Льюиса Фрая Ричардсона Европейского геофизического общества в 2000 году, премию Японии в 2003 году [40] и лекцию Эйнштейна Американского математического общества в 2006 году.

В его честь был назван небольшой астероид 27500 Мандельброт . В ноябре 1990 года ему было присвоено звание кавалера ордена Почётного легиона Франции . В декабре 2005 года Мандельброт был назначен на должность научного сотрудника Баттелла в Тихоокеанской северо-западной национальной лаборатории . [41] Мандельброту было присвоено звание кавалера Почётного легиона в январе 2006 года. [42] Почётная степень Университета Джонса Хопкинса была присвоена Мандельброту на вступительных упражнениях в мае 2010 года. [43]

Неполный список наград, полученных Мандельбротом: [44]

Смерть и наследие

Мандельброт умер от рака поджелудочной железы в возрасте 85 лет в хосписе в Кембридже, штат Массачусетс , 14 октября 2010 года. [1] [50] Реагируя на известие о его смерти, математик Хайнц-Отто Пейтген сказал: «[Если] мы поговорим Что касается влияния математики и ее приложений в науке, он является одной из самых важных фигур последних пятидесяти лет». [1]

Крис Андерсон , куратор конференции TED , охарактеризовал Мандельброта как «икону, которая изменила то, как мы видим мир». [51] Николя Саркози , президент Франции на момент смерти Мандельброта, сказал, что Мандельброт обладал «мощным, оригинальным умом, который никогда не уклонялся от инноваций и разрушения предвзятых представлений [... это работа, разработанная полностью за пределами основных исследований, привело к современной теории информации». [52] Некролог Мандельброта в The Economist указывает на его славу как «знаменитости за пределами академии» и восхваляет его как «отца фрактальной геометрии». [53]

Автор бестселлеров и эссе Нассим Николас Талеб отметил, что книга Мандельброта «(Неправильное) поведение рынков», по его мнению, является «самой глубокой и самой реалистичной книгой о финансах, когда-либо опубликованной». [10]

Библиография

По-английски

Смотрите также

Примечания

  1. ^ ab В своей автобиографии Мандельброт не добавлял циркумфлекс к букве «i» (т. е. «î») в своем имени, как это обычно бывает для французского имени . Он включил букву «Б» в качестве среднего инициала . В его некрологе в New York Times говорилось, что «он сам добавил средний инициал, хотя он не означает отчество», [1] и это утверждение подтверждается его некрологом в The Guardian . [2]
  2. ^ Произносится / ˈ m æ n d əl b r ɒ t / MAN -dəl-brot или / ˈ m æ n d əl b r oʊ t / MAN -dəl-broht на английском языке. [3] [4] Говоря по-французски, Мандельброт произносил свое имя [bənwa mɑ̃dɛlbʁot] . [5]

Рекомендации

  1. ^ abc Хоффман, Яша (16 октября 2010 г.). «Бенуа Мандельброт, математик, умер в возрасте 85 лет». Нью-Йорк Таймс . Архивировано из оригинала 18 октября 2010 года . Проверено 16 октября 2010 г.
  2. ↑ ab Лесмуар-Гордон, Найджел (17 октября 2010 г.). «Некролог Бенуа Мандельброта». Хранитель . Лондон. Архивировано из оригинала 17 сентября 2013 года . Проверено 17 октября 2010 г.
  3. ^ "Мандельброт" . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . (Требуется подписка или членство участвующей организации.)
  4. ^ Уэллс, Джон К. (2008). Словарь произношения Лонгмана (3-е изд.). Лонгман. ISBN 978-1-4058-8118-0.
  5. ↑ Запись церемонии 11 сентября 2006 года, на которой Мандельброт получил знак отличия офицера Почётного легиона .
  6. ^ «Вспоминая отца фракталов». 22 октября 2010 г. Архивировано из оригинала 8 января 2018 г. Проверено 8 января 2018 г.
  7. ↑ Мандельброт, Бенуа (февраль 2010 г.), «Фракталы и искусство шероховатости», TED.com , заархивировано из оригинала 14 апреля 2016 г.
  8. ^ Хадсон и Мандельброт, Прелюдия, страница xviii
  9. ^ abcdefgh Мандельброт, Бенуа (2012). Фракталист: Мемуары научного индивидуалиста . Книги Пантеона. ISBN 978-0-307-38991-6.
  10. ^ Аб Гомори, Р. (2010). «Бенуа Мандельброт (1924–2010)». Природа . 468 (7322): 378. Бибкод :2010Natur.468..378G. дои : 10.1038/468378a . PMID  21085164. S2CID  4393964.
  11. ^ abcde Вольфрам, Стивен (22 ноября 2012 г.). «Отец фракталов». Журнал "Уолл Стрит . Архивировано из оригинала 25 августа 2017 года.
  12. ^ список включает конкретные науки, упомянутые в Hudson & Mandelbrot, Prelude, p. xvi и стр. 26
  13. ^ Олсон, Стив (ноябрь – декабрь 2004 г.). «Гений непредсказуемого». Журнал выпускников Йельского университета . Архивировано из оригинала 22 октября 2014 года . Проверено 22 июля 2014 г.
  14. ^ Мандельброт, Бенуа; Бернар Саповал; Дэниел Зайденвебер (май 1998 г.). «Сеть историй - Бенуа Мандельброт - Семейное происхождение и раннее образование». Сеть историй . Архивировано из оригинала 11 сентября 2011 года . Проверено 19 октября 2010 г.
  15. ^ Голоб-Мейер, Зофия (весна 2011 г.). «Бенуа Мандельброт (1924–2010) – ojciec geometrii fractalnej». Фотон . Институт физики Ягеллонского университета. 112 :50 . Проверено 25 декабря 2021 г.
  16. ↑ Хоффман, Яша (16 октября 2010 г.). «Бенуа Мандельброт, новый математик, умер в возрасте 85 лет (опубликовано в 2010 г.)». Нью-Йорк Таймс . ISSN  0362-4331. Архивировано из оригинала 21 января 2017 года . Проверено 20 ноября 2020 г.
  17. ^ abc Мандельброт, Бенуа (2002). «Премии Вольфа по физике, обучение индивидуалиста» (PDF) . Издательство Имперского колледжа. Архивировано (PDF) из оригинала 3 декабря 2013 года . Проверено 23 апреля 2012 г.
  18. ^ "Фрактальный математик Бенуа Мандельброт умирает в возрасте 85 лет" . Би-би-си онлайн . 17 октября 2010 года. Архивировано из оригинала 18 октября 2010 года . Проверено 17 октября 2010 г.
  19. ^ Хеменвей, П. (2005). Божественная пропорция: Фи в искусстве, природе и науке . Психология Пресс. ISBN 0-415-34495-6.
  20. ^ аб Мандельброт, BB (1984). «Люди-математики, интервью Б.Б. Мандельброта» (PDF) . Беседовал Энтони Барселлос. Биркхаузер. Архивировано (PDF) из оригинала 27 апреля 2015 г. Проверено 25 июня 2013 г.
  21. ↑ Продолжение, Рама (15 мая 2010 г.). «Мандельброт, Бенуа». Энциклопедия количественных финансов . стр. eqf01006. doi : 10.1002/9780470061602.eqf01006. ISBN 9780470057568.
  22. ^ "Новый учёный, 19 апреля 1997 г." . Newscientist.com. 19 апреля 1997 года. Архивировано из оригинала 21 апреля 2010 года . Проверено 17 октября 2010 г.
  23. ↑ Дэвидсон, Клайв (15 декабря 1997 г.). «Дикие случайные движения рынка». Журнал коммерции . Архивировано из оригинала 11 июля 2021 года – на JOC.com.
  24. ↑ Малдун, Оливер (14 октября 2019 г.). «Странствующий учёный стал отцом фракталов». Medium.com . Проверено 19 марта 2021 г.
  25. ^ Мюллер, Ульрих А.; Дакоронья, Мишель М.; Олсен, Ричард Б.; Пикте, Оливер В.; Шварц, Матиас; Моргенегг, Клод (декабрь 1990 г.). «Статистическое исследование курсов иностранных валют, эмпирические доказательства закона масштабирования изменения цен и внутридневной анализ». Журнал банковского дела и финансов . 14 (6): 1189–1208. doi : 10.1016/0378-4266(90)90009-Q – через Elsevier Science Direct.
  26. ^ Мюллер, Украина; Дакоронья, ММ; Даве, доктор медицинских наук; Пикте, О.В.; Олсен, РБ; Уорд, младший (28 июня 1995 г.). «ФРАКТАЛЫ И СОБСТВЕННОЕ ВРЕМЯ – ВЫЗОВ ДЛЯ ЭКОНОМЕТРИКОВ». Вступительная лекция XXXIX Международной конференции Ассоциации прикладной эконометрики (AEA) . CiteSeerX 10.1.1.197.2969 . 
  27. ^ Мандельброт, Бенуа (1997). Фракталы и масштабирование в финансах . Спрингер. ISBN 978-1-4757-2763-0.
  28. ^ Мандельброт, Бенуа (2004). (Неправильное) поведение рынков . Профильные книги. ISBN 9781861977656.
  29. ^ Фракталы: форма, случайность и измерение , Бенуа Мандельброт; WH Freeman and Co, 1977; ISBN 0-7167-0473-0 
  30. ↑ Иври, Бенджамин (17 ноября 2012 г.). «Бенуа Мандельброт повлиял на искусство и математику». Еврейская ежедневная газета Форвард . Архивировано из оригинала 2 июня 2013 года.
  31. ^ ab Артур Кларк – Фракталы – Цвета бесконечности, заархивировано из оригинала 31 мая 2017 г. – через YouTube
  32. ^ Мандельброт, Бенуа (1982). Фрактальная геометрия природы. ISBN WH Freeman & Co. 0-7167-1186-9. Архивировано из оригинала 30 ноября 2015 года.
  33. ^ Мандельброт, Бенуа; Бернар Саповал; Дэниел Зайденвебер (май 1998 г.). «Бенуа Мандельброт • IBM: история и политика». Сеть историй . Архивировано из оригинала 8 сентября 2011 года . Проверено 17 октября 2010 г.
  34. ↑ Теннер, Эдвард (16 октября 2010 г.). «Бенуа Мандельброт Индивидуалист, 1924–2010». Атлантический океан . Архивировано из оригинала 18 октября 2010 года . Проверено 16 октября 2010 г.
  35. ^ «Бенуа Мандельброт, математик-роман, умер в возрасте 85 лет» . Нью-Йорк Таймс . 17 октября 2010 г. Архивировано из оригинала 31 декабря 2018 г. Доктор Мандельброт связал свою работу по фракталам с вопросом, с которым он впервые столкнулся, будучи молодым исследователем: какова длина побережья Британии?»
  36. ↑ Мандельброт, Бенуа Б. (5 мая 1967 г.). «Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробная размерность» (PDF) . Наука . 156 (3775): 636–638. Бибкод : 1967Sci...156..636M. дои : 10.1126/science.156.3775.636. PMID  17837158. S2CID  15662830. Архивировано из оригинала 13 июля 2015 года . Проверено 11 января 2016 г.
  37. ^ Девани, Роберт Л. (2004). «Взгляд Мандельброта на математику» (PDF) . Труды симпозиумов по чистой математике . Американское математическое общество. 72 (1). Архивировано из оригинала (PDF) 9 декабря 2006 года . Проверено 5 января 2007 г.
  38. ↑ Джерси, Билл (24 апреля 2005 г.). «Радикальный разум». Охота за скрытым измерением, NOVA . ПБС. Архивировано из оригинала 22 августа 2009 года . Проверено 20 августа 2009 г.
  39. ↑ Гефтер, Аманда (25 июня 2008 г.). «Карта галактики намекает на фрактальную Вселенную». Новый учёный .
  40. ↑ Лауреаты Японской премии. Архивировано 17 апреля 2016 года в Wayback Machine . japanprize.jp
  41. ^ «Мандельброт присоединяется к Тихоокеанской северо-западной национальной лаборатории» . pnl.gov (пресс-релиз). Тихоокеанская северо-западная национальная лаборатория. 16 февраля 2006 г. Архивировано из оригинала 12 января 2009 г. Проверено 17 октября 2010 г.
  42. ^ «Объявление Почетного легиона о повышении Мандельброта до офицера» (на французском языке). Legifrance.gouv.fr. Архивировано из оригинала 20 ноября 2020 года . Проверено 17 октября 2010 г.
  43. ^ "Шесть удостоены почетных степеней, признаны призывниками Общества ученых" . газета.jhu.edu . Университет Джонса Хопкинса. 7 июня 2010 года. Архивировано из оригинала 17 июня 2010 года . Проверено 17 октября 2010 г.
  44. ↑ Мандельброт, Бенуа Б. (2 февраля 2006 г.). «Вита и награды». Архивировано из оригинала (документ Word) 2 июля 2007 года . Проверено 15 декабря 2013 г.
  45. ^ «Просмотр/поиск членов ASA». amstat.org . Архивировано из оригинала 16 июня 2016 года . Проверено 20 августа 2016 г.
  46. ^ "Архив товарищей APS" . АПС. Архивировано из оригинала 20 ноября 2020 года . Проверено 24 сентября 2020 г.
  47. ^ "Группа 1: Математиске пидор" (на норвежском языке). Норвежская академия наук и литературы . Архивировано из оригинала 10 ноября 2013 года . Проверено 7 октября 2010 г.
  48. ^ "История членов Американского философского общества" . Проверено 14 июня 2021 г.
  49. ^ "Медаль и Wykład im. Wacława Serpińskiego | Polskie Towarzystwo Matematyczne" . Проверено 21 января 2023 г.
  50. ^ «Умер Бенуа Мандельброт, пионер фракталов» . Юнайтед Пресс Интернэшнл . 16 октября 2010 г. Архивировано из оригинала 22 октября 2012 г. Проверено 17 октября 2010 г.
  51. ^ «Умер Мандельброт, отец фрактальной геометрии». Газета . Архивировано из оригинала 19 октября 2010 года . Проверено 16 октября 2010 г.
  52. ^ "Саркози отдает дань уважения Мандельброту" [Саркози отдает дань уважения Мандельброту]. Ле Фигаро (на французском языке). Архивировано из оригинала 28 июля 2013 года . Проверено 17 октября 2010 г.
  53. ↑ Некролог Бенуа Мандельброта. Архивировано 24 октября 2010 года в Wayback Machine . Экономист (21 октября 2010 г.)

Источники

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы, связанные с Бенуа Мандельбротом.
В Wikiquote есть цитаты, связанные с Бенуа Мандельбротом .