В геометрии плоских кривых вершина — это точка, в которой первая производная кривизны равна нулю. [1] Обычно это локальный максимум или минимум кривизны, [2] и некоторые авторы определяют вершину как более конкретно локальный экстремум кривизны. [3] Однако могут возникнуть и другие особые случаи, например, когда вторая производная также равна нулю или когда кривизна постоянна. Для пространственных кривых , с другой стороны, вершина — это точка, в которой кручение обращается в нуль.
Гипербола имеет две вершины, по одной на каждой ветви; они являются ближайшими из любых двух точек, лежащих на противоположных ветвях гиперболы, и они лежат на главной оси. На параболе единственная вершина лежит на оси симметрии и в квадрате вида:
его можно найти, дополнив квадрат или дифференцировав . [2] На эллипсе две из четырех вершин лежат на большой оси, а две — на малой оси. [4]
Для окружности , имеющей постоянную кривизну, каждая точка является вершиной.
Вершины — это точки, в которых кривая имеет 4-точечный контакт с соприкасающейся окружностью в этой точке. [5] [6] Напротив, общие точки на кривой обычно имеют только 3-точечный контакт со своей соприкасающейся окружностью. Эволюта кривой будет иметь касп , когда у кривой есть вершина; [6] другие, более вырожденные и нестабильные сингулярности могут возникать в вершинах более высокого порядка, в которых соприкасающаяся окружность имеет контакт более высокого порядка, чем четыре. [5] Хотя одна общая кривая не будет иметь вершин более высокого порядка, они будут возникать в однопараметрическом семействе кривых, на кривой в семействе, для которой две обычные вершины объединяются, образуя более высокую вершину, а затем уничтожаются.
Множество симметрии кривой имеет конечные точки в точках перегиба, соответствующих вершинам, а срединная ось , подмножество множества симметрии , также имеет свои конечные точки в точках перегиба.
Согласно классической теореме о четырех вершинах , каждая простая замкнутая плоская гладкая кривая должна иметь по крайней мере четыре вершины. [7] Более общий факт заключается в том, что каждая простая замкнутая пространственная кривая, которая лежит на границе выпуклого тела или даже ограничивает локально выпуклый диск, должна иметь четыре вершины. [8] Каждая кривая постоянной ширины должна иметь по крайней мере шесть вершин. [9]
Если плоская кривая двусторонне симметрична , она будет иметь вершину в точке или точках, где ось симметрии пересекает кривую. Таким образом, понятие вершины для кривой тесно связано с понятием оптической вершины , точки, где оптическая ось пересекает поверхность линзы .
