Пограничный термин Гиббонса–Хокинга–Йорка

Термин в общей теории относительности

В общей теории относительности граничный член Гиббонса–Хокинга–Йорка — это член, который необходимо добавлять к действию Эйнштейна–Гильберта , когда базовое пространственно-временное многообразие имеет границу.

Действие Эйнштейна–Гильберта является основой для самого элементарного вариационного принципа , из которого можно определить уравнения поля общей теории относительности . Однако использование действия Эйнштейна–Гильберта уместно только тогда, когда лежащее в основе многообразие пространства- времени замкнуто , т. е. многообразие, которое одновременно компактно и не имеет границы. В случае, если многообразие имеет границу , действие должно быть дополнено граничным членом, чтобы вариационный принцип был хорошо определен. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}}}$

Необходимость такого граничного термина была впервые осознана Джеймсом У. Йорком и позднее несколько уточнена Гэри Гиббонсом и Стивеном Хокингом .

Для коллектора, который не закрыт, соответствующим действием является

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\mathrm {EH} }+{\mathcal {S}}_{\mathrm {GHY} }={\frac {1}{16\pi }}\int _{\mathcal {M}}\mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g}}R+{\frac {1}{8\pi }}\int _{\partial {\mathcal {M}}}\mathrm {d} ^{3}y\,\epsilon {\sqrt {h}}K,}$

где — действие Эйнштейна–Гильберта, — граничный член Гиббонса–Хокинга–Йорка, — индуцированная метрика (см. раздел ниже об определениях) на границе, ее определитель — след второй фундаментальной формы , равно где нормаль к пространственноподобна, а где нормаль к времениподобна, а — координаты на границе. Варьируя действие относительно метрики , при условии ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\mathrm {EH} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\mathrm {GHY} }}$ ${\displaystyle h_{ab}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle y^{a}}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$

${\displaystyle \delta g_{\alpha \beta }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}=0,}$

дает уравнения Эйнштейна ; добавление граничного члена означает, что при выполнении вариации геометрия границы, закодированная в поперечной метрике, фиксируется (см. раздел ниже). Остается неоднозначность в действии с точностью до произвольного функционала индуцированной метрики . ${\displaystyle h_{ab}}$ ${\displaystyle h_{ab}}$

То, что граничный член необходим в гравитационном случае, объясняется тем, что , гравитационная плотность лагранжиана, содержит вторые производные метрического тензора. Это нетипичная особенность полевых теорий, которые обычно формулируются в терминах лагранжианов, включающих первые производные полей, которые должны варьироваться только по . ${\displaystyle R}$

Член GHY желателен, так как он обладает рядом других ключевых особенностей. При переходе к гамильтонову формализму необходимо включить член GHY, чтобы воспроизвести правильную энергию Арновитта–Дезера–Мизнера ( энергию ADM ). Этот член требуется для того, чтобы гарантировать, что интеграл по траектории (a la Хокинг) для квантовой гравитации имеет правильные свойства состава. При вычислении энтропии черной дыры с использованием евклидова полуклассического подхода весь вклад исходит от члена GHY. Этот член имел более поздние применения в петлевой квантовой гравитации при вычислении амплитуд перехода и амплитуд рассеяния, независимых от фона.

Чтобы определить конечное значение действия, может потребоваться вычесть поверхностный член для плоского пространства-времени:

${\displaystyle S_{EH}+S_{GHY,0}={\frac {1}{16\pi }}\int _{\mathcal {M}}\mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g}}R+{\frac {1}{8\pi }}\int _{\partial {\mathcal {M}}}\mathrm {d} ^{3}y\,\epsilon {\sqrt {h}}K-{1 \over 8\pi }\int _{\partial {\mathcal {M}}}\mathrm {d} ^{3}y\,\epsilon {\sqrt {h}}K_{0},}$

где — внешняя кривизна границы вложенного плоского пространства-времени. Поскольку инвариантен относительно вариаций , этот дополнительный член не влияет на уравнения поля; как таковой, он называется нединамическим членом. ${\displaystyle K_{0}}$ ${\displaystyle {\sqrt {h}}}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$

Введение в гиперповерхности

Определение гиперповерхностей

В четырехмерном пространственно-временном многообразии гиперповерхность представляет собой трехмерное подмногообразие , которое может быть либо времениподобным, либо пространственноподобным, либо нулевым.

Конкретную гиперповерхность можно выбрать либо путем наложения ограничения на координаты ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle f(x^{\alpha })=0,}$

или задавая параметрические уравнения,

${\displaystyle x^{\alpha }=x^{\alpha }(y^{a}),}$

где — координаты, присущие гиперповерхности. ${\displaystyle y^{a}(a=1,2,3)}$

Например, двумерную сферу в трехмерном евклидовом пространстве можно описать либо

${\displaystyle f(x^{\alpha })=x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0,}$

где - радиус сферы, или по ${\displaystyle r}$

${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi ,\quad y=r\sin \theta \sin \phi ,\quad z=r\cos \theta ,}$

где и — внутренние координаты. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

Гиперповерхностные ортогональные векторные поля

Мы принимаем метрическую конвенцию (-,+,...,+). Начнем с семейства гиперповерхностей, заданных как

${\displaystyle f(x^{\alpha })=C}$

где различные члены семейства соответствуют различным значениям константы . Рассмотрим две соседние точки и с координатами и , соответственно, лежащие на одной гиперповерхности. Тогда мы должны сначала заказать ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x^{\alpha }}$ ${\displaystyle x^{\alpha }+dx^{\alpha }}$

${\displaystyle C=f(x^{\alpha }+dx^{\alpha })=f(x^{\alpha })+{\partial f \over \partial x^{\alpha }}dx^{\alpha }.}$

Вычитание из этого уравнения дает ${\displaystyle C=f(x^{\alpha })}$

${\displaystyle {\partial f \over \partial x^{\alpha }}dx^{\alpha }=0}$

при . Это подразумевает, что является нормалью к гиперповерхности. Единичная нормаль может быть введена в случае, когда гиперповерхность не является нулевой. Это определяется как ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f_{,\alpha }}$ ${\displaystyle n_{\alpha }}$

${\displaystyle n^{\alpha }n_{\alpha }\equiv \epsilon ={\begin{cases}-1&{\text{if }}\Sigma {\text{ is spacelike}}\\+1&{\text{if }}\Sigma {\text{ is timelike}}\end{cases}}}$

и нам требуется эта точка в направлении увеличения . Тогда можно легко проверить, что дается выражением ${\displaystyle n^{\alpha }}$ ${\displaystyle f:n^{\alpha }f_{,\alpha }>0}$ ${\displaystyle n_{\alpha }}$

${\displaystyle n_{\alpha }={\epsilon {\,}f_{,\alpha } \over (\epsilon {\,}g^{\alpha \beta }f_{,\alpha }f_{,\beta })^{1 \over 2}}}$

если гиперповерхность либо пространственноподобна, либо времениподобна.

Индуцированная и поперечная метрика

Три вектора

${\displaystyle e_{a}^{\alpha }=\left({\partial x^{\alpha } \over \partial y^{a}}\right)_{\partial {\mathcal {M}}}\quad a=1,2,3}$

касательны к гиперповерхности.

Индуцированная метрика — это трехмерный тензор, определяемый формулой ${\displaystyle h_{ab}}$

${\displaystyle h_{ab}=g_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }.}$

Это действует как метрический тензор на гиперповерхности в координатах. Для перемещений, ограниченных гиперповерхностью (так что ) ${\displaystyle y^{a}}$ ${\displaystyle x^{\alpha }=x^{\alpha }(y^{a})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }\\&=g_{\alpha \beta }\left({\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial y^{a}}}dy^{a}\right)\left({\frac {\partial x^{\beta }}{\partial y^{b}}}dy^{b}\right)\\&=\left(g_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }\right)dy^{a}dy^{b}\\&=h_{ab}dy^{a}dy^{b}\end{aligned}}}$

Поскольку три вектора касательны к гиперповерхности, ${\displaystyle e_{1}^{\alpha },e_{2}^{\alpha },e_{3}^{\alpha }}$

${\displaystyle n_{\alpha }e_{a}^{\alpha }=0}$

где — единичный вектор ( ), нормальный к гиперповерхности. ${\displaystyle n_{\alpha }}$ ${\displaystyle n_{\alpha }n^{\alpha }=\pm 1}$

Введем так называемую поперечную метрику

${\displaystyle h_{\alpha \beta }=g_{\alpha \beta }-\epsilon n_{\alpha }n_{\beta }.}$

Он изолирует часть метрики, которая трансверсальна нормали . ${\displaystyle n^{\alpha }}$

Легко видеть, что этот четырехтензор

${\displaystyle {h^{\alpha }}_{\beta }={\delta ^{\alpha }}_{\beta }-\epsilon n^{\alpha }n_{\beta }}$

проецирует часть четырехвектора, поперечного к нормали, как ${\displaystyle n^{\alpha }}$

${\displaystyle {h^{\alpha }}_{\beta }n^{\beta }=({\delta ^{\alpha }}_{\beta }-\epsilon n^{\alpha }n_{\beta })n^{\beta }=(n^{\alpha }-\epsilon ^{2}n^{\alpha })=0\quad {\text{and }}\;\mathrm {if} \quad w^{\alpha }n_{\alpha }=0\quad \mathrm {then} \quad {h^{\alpha }}_{\beta }w^{\beta }=w^{\alpha }.}$

У нас есть

${\displaystyle h_{ab}=h_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }.}$

Если мы определим , что это обратное к , то легко проверить ${\displaystyle h^{ab}}$ ${\displaystyle h_{ab}}$

${\displaystyle h^{\alpha \beta }=h^{ab}e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }}$

где

${\displaystyle h^{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }-\epsilon n^{\alpha }n^{\beta }.}$

Обратите внимание, что вариация подчиняется условию

${\displaystyle \delta g_{\alpha \beta }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}=0,}$

подразумевает, что , индуцированная метрика на , сохраняется фиксированной во время изменения. См. также ^[1] для разъяснения по и т. д. ${\displaystyle h_{ab}=g_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \delta h_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \delta n_{\alpha }}$

О доказательстве основного результата

В следующих подразделах мы сначала вычислим вариацию члена Эйнштейна–Гильберта, а затем вариацию граничного члена и покажем, что их сумма дает

${\displaystyle \delta S_{TOTAL}=\delta S_{EH}+\delta S_{GHY}={\frac {1}{16\pi }}\int _{\mathcal {M}}G_{\alpha \beta }\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}d^{4}x}$

где — тензор Эйнштейна , который дает правильную левую часть уравнений поля Эйнштейна , без космологического члена , который, однако, легко включить, заменив на ${\displaystyle G_{\alpha \beta }=R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R}$ ${\displaystyle S_{EH}}$

${\displaystyle {1 \over 16\pi }\int _{\mathcal {M}}(R-2\Lambda ){\sqrt {-g}}d^{4}x}$

где - космологическая постоянная . ${\displaystyle \Lambda }$

В третьем подразделе мы подробно останавливаемся на значении нединамического термина.

Вариация термина Эйнштейна-Гильберта

Мы будем использовать идентичность

${\displaystyle \delta {\sqrt {-g}}\equiv -{1 \over 2}{\sqrt {-g}}g_{\alpha \beta }\delta g^{\alpha \beta },}$

и личность Палатини :

${\displaystyle \delta R_{\alpha \beta }\equiv \nabla _{\mu }(\delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\mu })-\nabla _{\beta }(\delta \Gamma _{\alpha \mu }^{\mu }),}$

которые оба получены в статье Действие Эйнштейна–Гильберта .

Рассмотрим вариацию члена Эйнштейна–Гильберта:

${\displaystyle {\begin{aligned}(16\pi )\delta S_{EH}&=\int _{\mathcal {M}}\delta \left(g^{\alpha \beta }R_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\right)d^{4}x\\&=\int _{\mathcal {M}}\left(R_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\delta g^{\alpha \beta }+g^{\alpha \beta }R_{\alpha \beta }\delta {\sqrt {-g}}+{\sqrt {-g}}g^{\alpha \beta }\delta R_{\alpha \beta }\right)d^{4}x\\&=\int _{\mathcal {M}}\left(R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R\right)\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}d^{4}x+\int _{\mathcal {M}}g^{\alpha \beta }\delta R_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}d^{4}x.\end{aligned}}}$

Первый член дает нам то, что нам нужно для левой части уравнений поля Эйнштейна. Мы должны учесть второй член.

По идентичности Палатини

${\displaystyle g^{\alpha \beta }\delta R_{\alpha \beta }=\delta {V^{\mu }}_{;\mu },\qquad \delta V^{\mu }=g^{\alpha \beta }\delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-g^{\alpha \mu }\delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\beta }.}$

Нам понадобится теорема Стокса в виде:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathcal {M}}{A^{\mu }}_{;\mu }{\sqrt {-g}}d^{4}x&=\int _{\mathcal {M}}({\sqrt {-g}}A^{\mu })_{,\mu }d^{4}x\\&=\oint _{\partial {\mathcal {M}}}A^{\mu }d\Sigma _{\mu }\\&=\oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon A^{\mu }n_{\mu }{\sqrt {|h|}}d^{3}y\end{aligned}}}$

где — единичная нормаль к и , и — координаты на границе. И где , где — инвариантный трехмерный элемент объема на гиперповерхности. В нашем частном случае мы берем . ${\displaystyle n_{\mu }}$ ${\displaystyle \partial _{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \epsilon \equiv n^{\mu }n_{\mu }=\pm 1}$ ${\displaystyle y^{a}}$ ${\displaystyle d\Sigma _{\mu }=\epsilon n_{\mu }d\Sigma }$ ${\displaystyle d\Sigma =|h|^{1 \over 2}d^{3}y}$ ${\displaystyle h=\det[h_{ab}]}$ ${\displaystyle A^{\mu }=\delta V^{\mu }}$

Теперь оценим на границе , имея в виду, что на . Принимая это во внимание, имеем ${\displaystyle \delta V^{\mu }n_{\mu }}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}},\delta g_{\alpha \beta }=0=\delta g^{\alpha \beta }}$

${\displaystyle \delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }(\delta g_{\nu \alpha ,\beta }+\delta g_{\nu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\nu }).}$

Полезно отметить, что

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{\alpha \mu }\delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\beta }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}&={1 \over 2}g^{\alpha \mu }g^{\beta \nu }(\delta g_{\nu \alpha ,\beta }+\delta g_{\nu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\nu })\\&={1 \over 2}g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }(\delta g_{\nu \alpha ,\beta }+\delta g_{\alpha \beta ,\nu }-\delta g_{\nu \beta ,\alpha })\end{aligned}}}$

где во второй строке мы поменяли местами и и использовали, что метрика симметрична. Тогда нетрудно вычислить . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \delta V^{\mu }=g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }(\delta g_{\nu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\nu })}$

Так что теперь

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta V^{\mu }n_{\mu }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}&=n^{\mu }g^{\alpha \beta }(\delta g_{\mu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\mu })\\&=n^{\mu }(\epsilon n^{\alpha }n^{\beta }+h^{\alpha \beta })(\delta g_{\mu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\mu })\\&=n^{\mu }h^{\alpha \beta }(\delta g_{\mu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\mu })\end{aligned}}}$

где во второй строке мы использовали тождество , а в третьей строке мы использовали антисимметрию относительно и . Так как обращается в нуль всюду на границе, его тангенциальные производные также должны исчезать: . Отсюда следует, что . Итак, наконец, мы имеем ${\displaystyle g^{\alpha \beta }=\epsilon n^{\alpha }n^{\beta }+h^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \delta g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}},}$ ${\displaystyle \delta g_{\alpha \beta ,\gamma }e_{c}^{\gamma }=0}$ ${\displaystyle h^{\alpha \beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=h^{ab}e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=0}$

${\displaystyle n_{\mu }\delta V^{\mu }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}=-h^{\alpha \beta }\delta g_{\alpha \beta ,\mu }n^{\mu }.}$

Собирая результаты, мы получаем

${\displaystyle (16\pi )\delta S_{EH}=\int _{\mathcal {M}}G_{\alpha \beta }\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}d^{4}x-\oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon h^{\alpha \beta }\delta g_{\alpha \beta ,\mu }n^{\mu }{\sqrt {h}}d^{3}y\quad Eq1.}$

Далее мы покажем, что указанный выше граничный член будет отменен изменением . ${\displaystyle S_{GHY}}$

Изменение граничного термина

Теперь перейдем к изменению члена . Поскольку индуцированная метрика фиксирована, то единственной величиной, которая должна варьироваться, является след внешней кривизны . ${\displaystyle S_{GHY}}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}},}$ ${\displaystyle K}$

У нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={n^{\alpha }}_{;\alpha }\\&=g^{\alpha \beta }n_{\alpha ;\beta }\\&=\left(\epsilon n^{\alpha }n^{\beta }+h^{\alpha \beta }\right)n_{\alpha ;\beta }\\&=h^{\alpha \beta }n_{\alpha ;\beta }\\&=h^{\alpha \beta }(n_{\alpha ,\beta }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }n_{\gamma })\end{aligned}}}$

где мы использовали , что подразумевает , что вариация есть ${\displaystyle 0=(n^{\alpha }n_{\alpha })_{;\beta }}$ ${\displaystyle n^{\alpha }n_{\alpha ;\beta }=0.}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta K&=-h^{\alpha \beta }\delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }n_{\gamma }\\&=-h^{\alpha \beta }n_{\gamma }{\frac {1}{2}}g^{\gamma \sigma }\left(\delta g_{\sigma \alpha ,\beta }+\delta g_{\sigma \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\sigma }\right)\\&=-{1 \over 2}h^{\alpha \beta }\left(\delta g_{\mu \alpha ,\beta }+\delta g_{\mu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\mu }\right)n^{\mu }\\&={\frac {1}{2}}h^{\alpha \beta }\delta g_{\alpha \beta ,\mu }n^{\mu }\end{aligned}}}$

где мы использовали тот факт, что тангенциальные производные обращаются в нуль на Мы получили ${\displaystyle \delta g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}}.}$

${\displaystyle (16\pi )\delta S_{GHY}=\oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon h^{\alpha \beta }\delta g_{\alpha \beta ,\mu }n^{\mu }{\sqrt {h}}d^{3}y}$

что отменяет второй интеграл в правой части уравнения 1. Полное изменение гравитационного воздействия равно:

${\displaystyle \delta S_{TOTAL}={1 \over 16\pi }\int _{\mathcal {M}}G_{\alpha \beta }\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}d^{4}x.}$

Это дает правильную левую часть уравнений Эйнштейна. Это доказывает основной результат.

Этот результат был обобщен на теории гравитации четвертого порядка на многообразиях с границами в 1983 году ^[2] и опубликован в 1985 году. ^[3]

Нединамический термин

Мы подробно останавливаемся на роли

${\displaystyle S_{0}={1 \over 8\pi }\oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon K_{0}|h|^{1 \over 2}d^{3}y}$

в гравитационном действии. Как уже упоминалось выше, поскольку этот член зависит только от , его изменение относительно дает ноль и, таким образом, не влияет на уравнения поля, его цель — изменить численное значение действия. Поэтому мы будем называть его нединамическим членом. ${\displaystyle h_{ab}}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$

Предположим, что является решением уравнений вакуумного поля, в этом случае скаляр Риччи равен нулю. Численное значение гравитационного воздействия тогда равно ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle S={1 \over 8\pi }\oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon K|h|^{1 \over 2}d^{3}y,}$

где мы игнорируем нединамический член на данный момент. Давайте оценим это для плоского пространства-времени. Выберем границу, состоящую из двух гиперповерхностей постоянного значения времени и большого трехцилиндра в (то есть, произведения конечного интервала и трехсферы радиуса ). На гиперповерхностях постоянного времени имеем . На трехцилиндре, в координатах, присущих гиперповерхности, линейный элемент равен ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle t=t_{1},t_{2}}$ ${\displaystyle r=r_{0}}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle K=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=-dt^{2}+r_{0}^{2}d\Omega ^{2}\\&=-dt^{2}+r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})\end{aligned}}}$

означает, что индуцированная метрика — это

${\displaystyle h_{ab}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&r_{0}^{2}&0\\0&0&r_{0}^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.}$

так что . Единица нормали , так что . Тогда ${\displaystyle |h|^{1 \over 2}=r_{0}^{2}\sin \theta }$ ${\displaystyle n_{\alpha }=\partial _{\alpha }r}$ ${\displaystyle K={n^{\alpha }}_{;\alpha }=2/r_{0}}$

${\displaystyle \oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon K|h|^{1 \over 2}d^{3}y=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }d\theta \left({2 \over r_{0}}\right)(r_{0}^{2}\sin \theta )=8\pi r_{0}(t_{2}-t_{1})}$

и расходится как , то есть, когда пространственная граница отодвигается к бесконечности, даже когда ограничена двумя гиперповерхностями постоянного времени. Можно было бы ожидать ту же проблему для искривленных пространств-времен, которые являются асимптотически плоскими (проблемы нет, если пространство-время компактно). Эта проблема устраняется нединамическим членом. Разница будет хорошо определена в пределе . ${\displaystyle r_{0}\to \infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle S_{GHY}-S_{0}}$ ${\displaystyle r_{0}\to \infty }$

Изменение модифицированных гравитационных условий

Существует много теорий, которые пытаются модифицировать Общую теорию относительности различными способами, например, гравитация f(R) заменяет R, скаляр Риччи в действии Эйнштейна–Гильберта, на функцию f(R). Гуарнизо и др. нашли граничный член для общей теории f(R). ^[4] Они обнаружили, что «модифицированное действие в метрическом формализме гравитации f(R) плюс граничный член типа Гиббонса–Йорка–Хокинга должны быть записаны как:»

${\displaystyle S_{mod}={\frac {1}{2\kappa }}\int _{V}d^{4}x{\sqrt {-g}}f(R)+2\int _{\partial V}d^{3}y\epsilon |h|f'(R)K}$

где . ${\displaystyle f'(R)\equiv {\frac {df(R)}{dR}}}$

Используя разложение ADM и вводя дополнительные вспомогательные поля, в 2009 году Дерюэль и др. нашли метод нахождения граничного члена для «теорий гравитации, лагранжиан которых является произвольной функцией тензора Римана». ^[5] Этот метод можно использовать для нахождения граничных членов GHY для бесконечной производной гравитации . ^[6]

Интегрально-путевой подход к квантовой гравитации

Как упоминалось в начале, член GHY необходим для того, чтобы гарантировать, что интеграл по траектории (а-ля Хокинг и др.) для квантовой гравитации имеет правильные свойства состава.

Этот старый подход к квантовой гравитации с интегралом по траектории имел ряд трудностей и нерешенных проблем. Отправной точкой этого подхода является идея Фейнмана о том, что можно представить амплитуду

${\displaystyle \langle g_{2},\phi _{2},\Sigma _{2}|g_{1},\phi _{1},\Sigma _{1}\rangle }$

перейти от состояния с метрическими и материальными полями на поверхности к состоянию с метрическими и материальными полями на поверхности , как сумма по всем конфигурациям полей и которые принимают граничные значения полей на поверхностях и . Запишем ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$

${\displaystyle \langle g_{2},\phi _{2},\Sigma _{2}|g_{1},\phi _{1},\Sigma _{1}\rangle =\int {\mathcal {D}}[g,\phi ]\exp(iS[g,\phi ])}$

где — мера на пространстве всех конфигураций полей и , — действие полей, а интеграл берется по всем полям, которые имеют заданные значения на и . ${\displaystyle {\mathcal {D}}[g,\phi ]}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle S[g,\phi ]}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$

Утверждается, что достаточно указать трехмерную индуцированную метрику на границе. ${\displaystyle h}$

Теперь рассмотрим ситуацию, когда осуществляется переход от метрики на поверхности к метрике на поверхности , а затем к метрике на более поздней поверхности. ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle h_{3}}$ ${\displaystyle \Sigma _{3}}$

Хотелось бы иметь обычное правило композиции

${\displaystyle \langle h_{3},\Sigma _{3}|h_{1},\Sigma _{1}\rangle =\sum _{h_{2}}\langle h_{3},\Sigma _{3}|h_{2},\Sigma _{2}\rangle \langle h_{2},\Sigma _{2}|h_{1},\Sigma _{1}\rangle }$

выражая, что амплитуда перехода от начального к конечному состоянию должна быть получена путем суммирования по всем состояниям на промежуточной поверхности . ${\displaystyle \Sigma _{2}}$

Пусть будет метрикой между и и будет метрикой между и . Хотя индуцированная метрика и будет согласовываться с , нормальная производная от в в общем случае не будет равна производной от в . Принимая во внимание последствия этого, можно показать, что правило композиции будет выполняться тогда и только тогда, когда мы включим граничный член GHY. ^[7] ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{3}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$

В следующем разделе показано, как этот подход интеграла по траектории к квантовой гравитации приводит к концепции температуры черной дыры и внутренней квантово-механической энтропии.

Расчет энтропии черной дыры с использованием евклидова полуклассического подхода

Применение в петлевой квантовой гравитации

Амплитуды перехода и главная функция Гамильтона

В квантовой теории объектом, соответствующим главной функции Гамильтона , является амплитуда перехода . Рассмотрим гравитацию, определенную в компактной области пространства-времени с топологией четырехмерного шара. Граница этой области представляет собой трехмерное пространство с топологией трехсферы, которое мы называем . В чистой гравитации без космологической постоянной, поскольку скаляр Риччи обращается в нуль на решениях уравнений Эйнштейна, объемное действие обращается в нуль, и главная функция Гамильтона задается полностью в терминах граничного члена, ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle S[q]=\int _{\Sigma }K^{ab}[q]q_{ab}{\sqrt {q}}\;d^{3}\sigma }$

где — внешняя кривизна границы, — индуцированная на границе трехмерная метрика, — координаты на границе. ${\displaystyle K^{ab}}$ ${\displaystyle q_{ab}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Функционал является весьма нетривиальным функционалом для вычисления; это происходит потому, что внешняя кривизна определяется объемным решением, выделенным внутренней геометрией границы. Как таковой, он нелокален. Знание общей зависимости от эквивалентно знанию общего решения уравнений Эйнштейна. ${\displaystyle S[q]}$ ${\displaystyle K^{ab}[q]}$ ${\displaystyle K^{ab}[q]}$ ${\displaystyle K^{ab}}$ ${\displaystyle q_{ab}}$

Амплитуды рассеяния, не зависящие от фона

Петлевая квантовая гравитация сформулирована на языке, независимом от фона. Никакое пространство-время не предполагается априори, а скорее оно строится самими состояниями теории - однако амплитуды рассеяния выводятся из -точечных функций ( Корреляционная функция (квантовая теория поля) ), и они, сформулированные в обычной квантовой теории поля, являются функциями точек фонового пространства-времени. Связь между фоново-независимым формализмом и обычным формализмом квантовой теории поля на данном пространстве-времени далеко не очевидна, и далеко не очевидно, как восстановить низкоэнергетические величины из полной фоново-независимой теории. Хотелось бы вывести -точечные функции теории из фоново-независимого формализма, чтобы сравнить их со стандартным пертурбативным расширением квантовой общей теории относительности и, следовательно, проверить, что петлевая квантовая гравитация дает правильный низкоэнергетический предел. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Была предложена стратегия решения этой проблемы; ^[8] идея состоит в том, чтобы изучить граничную амплитуду или амплитуду перехода компактной области пространства-времени, а именно интеграл по траектории по конечной области пространства-времени, рассматриваемый как функция граничного значения поля. ^{[9] [10]} В обычной квантовой теории поля эта граничная амплитуда четко определена ^{[11] [12]} и кодирует физическую информацию теории; то же самое она делает и в квантовой гравитации, но полностью независимым от фона образом. ^[13] Общековариантное определение -точечных функций может тогда основываться на идее, что расстояние между физическими точками – аргументами -точечной функции определяется состоянием гравитационного поля на границе рассматриваемой области пространства-времени. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Ключевое наблюдение заключается в том, что в гравитации граничные данные включают гравитационное поле, следовательно, геометрию границы, следовательно, все соответствующие относительные расстояния и временные разделения. Другими словами, формулировка границы очень элегантно реализует в квантовом контексте полную идентификацию между геометрией пространства-времени и динамическими полями.

Смотрите также

• Теорема Борда–Гута–Виленкина

Примечания

1. Feng, JC, Matzner RA Вариация Вейсса гравитационного действия. Теоретическая группа, физический факультет, Техасский университет в Остине. arXiv:1708.04489v3 [gr-qc]. 24 июля 2018 г. https://arxiv.org/pdf/1708.04489
2. "Гравитационные действия второго и четвертого порядка на многообразиях с границами". ResearchGate . Получено 2017-05-08 .
3. Barth, NH (1985-07-01). «Гравитационное действие четвертого порядка для многообразий с границами». Классическая и квантовая гравитация . 2 (4). IOP Publishing: 497–513. Bibcode :1985CQGra...2..497B. doi :10.1088/0264-9381/2/4/015. ISSN  0264-9381. S2CID  250893849.
4. Гуарнисо, Алехандро; Кастанеда, Леонардо; Техейро, Хуан М. (2010). «Граничный член в метрической f(R) гравитации: уравнения поля в метрическом формализме». Общая теория относительности и гравитация . 42 (11): 2713–2728. arXiv : 1002.0617 . Bibcode :2010GReGr..42.2713G. doi :10.1007/s10714-010-1012-6. S2CID  119099298.
5. Дерюэль, Натали ; Сасаки, Мисао; Сендоуда, Юити; Ямаути, Дайсуке (2010). «Гамильтонова формулировка f(Riemann) теорий гравитации». Progress of Theoretical Physics . 123 (1): 169–185. arXiv : 0908.0679 . Bibcode : 2010PThPh.123..169D. doi : 10.1143/PTP.123.169. S2CID  118570242.
6. Теймури, Али; Талаганис, Спиридон; Эдхолм, Джеймс; Мазумдар, Анупам (2016). «Обобщенные граничные условия для высших производных теорий гравитации». Журнал физики высоких энергий . 2016 (8): 144. arXiv : 1606.01911 . Bibcode : 2016JHEP...08..144T. doi : 10.1007/JHEP08(2016)144. S2CID  55220918.
7. Например, см. книгу «Хокинг о Большом взрыве и черных дырах» Стивена Хокинга, глава 15.
8. Модесто, Леонардо; Ровелли, Карло (2005-11-01). "Рассеяние частиц в петлевой квантовой гравитации". Physical Review Letters . 95 (19): 191301. arXiv : gr-qc/0502036 . Bibcode : 2005PhRvL..95s1301M. doi : 10.1103/physrevlett.95.191301. ISSN  0031-9007. PMID  16383970. S2CID  46705469.
9. Oeckl, Robert (2003). «Формулировка «общей границы» для квантовой механики и квантовой гравитации». Physics Letters B. 575 ( 3–4). Elsevier BV: 318–324. arXiv : hep-th/0306025 . Bibcode : 2003PhLB..575..318O. doi : 10.1016/j.physletb.2003.08.043 . ISSN  0370-2693.
10. Oeckl, Robert (2003-11-03). «Кот Шредингера и часы: уроки квантовой гравитации». Classical and Quantum Gravity . 20 (24): 5371–5380. arXiv : gr-qc/0306007 . Bibcode : 2003CQGra..20.5371O. doi : 10.1088/0264-9381/20/24/009. ISSN  0264-9381. S2CID  118978523.
11. Конради, Флориан; Ровелли, Карло (2004-09-30). «Обобщенное уравнение Шредингера в евклидовой теории поля». International Journal of Modern Physics A . 19 (24). World Scientific Pub Co Pte Lt: 4037–4068. arXiv : hep-th/0310246 . Bibcode :2004IJMPA..19.4037C. doi :10.1142/s0217751x04019445. ISSN  0217-751X. S2CID  18048123.
12. Доплихер, Луиза (2004-09-24). "Обобщенное уравнение Томонаги-Швингера из формулы Адамара". Physical Review D. 70 ( 6). Американское физическое общество (APS): 064037. arXiv : gr-qc/0405006 . Bibcode : 2004PhRvD..70f4037D. doi : 10.1103/physrevd.70.064037. ISSN  1550-7998. S2CID  14402915.
13. Конради, Флориан; Доплихер, Луиза; Окль, Роберт; Ровелли, Карло; Теста, Массимо (2004-03-18). "Вакуум Минковского в фоновой независимой квантовой гравитации". Physical Review D. 69 ( 6). Американское физическое общество (APS): 064019. arXiv : gr-qc/0307118 . Bibcode : 2004PhRvD..69f4019C. doi : 10.1103/physrevd.69.064019. ISSN  1550-7998. S2CID  30190407.

Ссылки

• Йорк, Дж. В. (1972). «Роль конформной трехмерной геометрии в динамике гравитации». Physical Review Letters . 28 (16): 1082. Bibcode : 1972PhRvL..28.1082Y. doi : 10.1103/PhysRevLett.28.1082.
• Гиббонс, GW ; Хокинг, SW (1977). "Интегралы действия и статистические суммы в квантовой гравитации". Physical Review D . 15 (10): 2752. Bibcode :1977PhRvD..15.2752G. doi :10.1103/PhysRevD.15.2752.
• Хокинг, SW; Горовиц, Гэри Т. (1996-06-01). «Гравитационный гамильтониан, действие, энтропия и поверхностные члены». Классическая и квантовая гравитация . 13 (6): 1487–1498. arXiv : gr-qc/9501014 . Bibcode :1996CQGra..13.1487H. doi :10.1088/0264-9381/13/6/017. ISSN  0264-9381. S2CID  12720010.
• Браун, Дж. Дэвид; Йорк, Джеймс У. (1993-02-15). «Микроканонический функциональный интеграл для гравитационного поля». Physical Review D. 47 ( 4). Американское физическое общество (APS): 1420–1431. arXiv : gr-qc/9209014 . Bibcode : 1993PhRvD..47.1420B. doi : 10.1103/physrevd.47.1420. ISSN  0556-2821. PMID  10015718. S2CID  25039417.

Внешние ссылки

• «Почему эта Вселенная? Новые расчеты показывают, что наш космос типичен». Журнал Quanta . 17.11.2022.