Гильберт C*-модуль

Математические объекты, обобщающие понятие гильбертовых пространств

Гильбертовы C*-модули — это математические объекты , обобщающие понятие гильбертовых пространств (которые сами по себе являются обобщениями евклидова пространства ), поскольку они наделяют линейное пространство « внутренним произведением », которое принимает значения в C*-алгебре .

Они были впервые введены в работе Ирвинга Капланского в 1953 году , в которой была разработана теория коммутативных , унитальных алгебр (хотя Капланский заметил, что предположение об единичном элементе не было «жизненно важным»). ^[1]

В 1970-х годах теория была независимо распространена на некоммутативные C*-алгебры Уильямом Линдаллом Пашке ^[2] и Марком Риффелем , последний в статье, в которой использовал C*-модули Гильберта для построения теории индуцированных представлений C*-алгебр. ^[3]

Гильбертовы C*-модули имеют решающее значение для формулировки Каспаровым теории KK [ ^4] и обеспечивают правильную основу для расширения понятия эквивалентности Мориты на C*-алгебры. ^[5] Их можно рассматривать как обобщение векторных расслоений на некоммутативные C*-алгебры, и как таковые они играют важную роль в некоммутативной геометрии , в частности, в C*-алгебраической квантовой теории групп ^{[6] [7]} и группоидных C*-алгебрах.

Определения

Внутренне-продуктовые C*-модули

Пусть будет C*-алгеброй (не предполагается, что она коммутативна или унитальна), ее инволюция обозначается как . Внутренний -модуль (или предгильбертов -модуль ) - это комплексное линейное пространство , снабженное совместимой правой -модульной структурой вместе с отображением ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{A}:E\times E\rightarrow A}$

который удовлетворяет следующим свойствам:

• Для всех , , в , и , в : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \langle x,y\alpha +z\beta \rangle _{A}=\langle x,y\rangle _{A}\alpha +\langle x,z\rangle _{A}\beta }$

( т.е. скалярное произведение является -линейным по второму аргументу). ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• Для всех , в и в : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle x,ya\rangle _{A}=\langle x,y\rangle _{A}a}$

• Для всех , в : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \langle x,y\rangle _{A}=\langle y,x\rangle _{A}^{*},}$

откуда следует, что скалярное произведение является сопряженно-линейным по своему первому аргументу ( т.е. является полуторалинейной формой ).

• Для всех в : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \langle x,x\rangle _{A}\geq 0}$

в том смысле, что он является положительным элементом A , и

${\displaystyle \langle x,x\rangle _{A}=0\iff x=0.}$

(Элемент C*-алгебры называется положительным, если он самосопряжен с неотрицательным спектром .) ^{[8] [9]} ${\displaystyle A}$

Гильбертовские C*-модули

Аналог неравенства Коши–Шварца справедлив для -модуля скалярного произведения : ^[10] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \langle x,y\rangle _{A}\langle y,x\rangle _{A}\leq \Vert \langle y,y\rangle _{A}\Vert \langle x,x\rangle _{A}}$

для , в . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle E}$

В предгильбертовом модуле определите норму следующим образом: ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \Vert x\Vert =\Vert \langle x,x\rangle _{A}\Vert ^{\frac {1}{2}}.}$

Норма-пополнение , по-прежнему обозначаемое как , называется гильбертовым -модулем или гильбертовым C*-модулем над C*-алгеброй . Неравенство Коши–Шварца подразумевает, что скалярное произведение является совместно непрерывным по норме и, следовательно, может быть расширено до пополнения. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Действие на непрерывно: для всех в ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle a_{\lambda }\rightarrow a\Rightarrow xa_{\lambda }\rightarrow xa.}$

Аналогично, если является приближенной единицей для ( сетка самосопряженных элементов для , для которой и стремятся к для каждого в ), то для в ${\displaystyle (e_{\lambda })}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ae_{\lambda }}$ ${\displaystyle e_{\lambda }a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle xe_{\lambda }\rightarrow x.}$

Откуда следует, что является плотным в , а когда является единичным. ${\displaystyle EA}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x1_{A}=x}$ ${\displaystyle A}$

Позволять

${\displaystyle \langle E,E\rangle _{A}=\operatorname {span} \{\langle x,y\rangle _{A}\mid x,y\in E\},}$

тогда замыкание является двусторонним идеалом в . Двусторонние идеалы являются C*-подалгебрами и, следовательно, обладают приближенными единицами. Можно проверить, что является плотным в . В случае, когда является плотным в , говорят, что является полным . Это, как правило, не выполняется. ${\displaystyle \langle E,E\rangle _{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E\langle E,E\rangle _{A}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \langle E,E\rangle _{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$

Примеры

Гильбертовы пространства

Поскольку комплексные числа представляют собой C*-алгебру с инволюцией, заданной комплексным сопряжением , комплексное гильбертово пространство является гильбертовым -модулем относительно скалярного умножения на комплексные числа и его скалярного произведения. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Векторные пучки

Если — локально компактное хаусдорфово пространство и векторное расслоение над с проекцией эрмитовой метрики , то пространство непрерывных сечений является гильбертовым -модулем. При заданных сечениях и правое действие определяется как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi \colon E\to X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle \sigma ,\rho }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f\in C(X)}$

${\displaystyle \sigma f(x)=\sigma (x)f(\pi (x)),}$

и внутренний продукт определяется как

${\displaystyle \langle \sigma ,\rho \rangle _{C(X)}(x):=g(\sigma (x),\rho (x)).}$

Обратное утверждение также верно: каждый счетно порождённый гильбертов C*-модуль над коммутативной унитальной C*-алгеброй изоморфен пространству сечений, исчезающих на бесконечности, непрерывного поля гильбертовых пространств над . ^{[ требуется ссылка ]} ${\displaystyle A=C(X)}$ ${\displaystyle X}$

C*-алгебры

Любая C*-алгебра является Гильбертовым -модулем с действием, заданным правым умножением в и скалярным произведением . По C*-тождеству норма Гильбертова модуля совпадает с C*-нормой на . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle a,b\rangle =a^{*}b}$ ${\displaystyle A}$

(Алгебраическая) прямая сумма копий ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{n}=\bigoplus _{i=1}^{n}A}$

можно превратить в Гильберт -модуль, определив ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle (a_{i}),(b_{i})\rangle _{A}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{*}b_{i}.}$

Если — проекция в C*-алгебре , то — также Гильбертов -модуль с тем же скалярным произведением, что и прямая сумма. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M_{n}(A)}$ ${\displaystyle pA^{n}}$ ${\displaystyle A}$

Стандартный модуль Гильберта

Можно также рассмотреть следующее подпространство элементов в счетном прямом произведении ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \ell _{2}(A)={\mathcal {H}}_{A}={\Big \{}(a_{i})|\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}^{*}a_{i}{\text{ converges in }}A{\Big \}}.}$

Получившийся Гильбертов -модуль, снабженный очевидным скалярным произведением (аналогичным произведению ), называется стандартным Гильбертовым модулем над . ${\displaystyle A^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Стандартный модуль Гильберта играет важную роль в доказательстве теоремы Каспарова о стабилизации, которая утверждает, что для любого счетно порождённого модуля Гильберта существует изометрический изоморфизм ^[11] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E\oplus \ell ^{2}(A)\cong \ell ^{2}(A).}$

Карты между модулями Гильберта

Пусть и — два гильбертовых модуля над одной и той же C*-алгеброй . Тогда это банаховы пространства, поэтому можно говорить о банаховом пространстве ограниченных линейных отображений , нормированных операторной нормой. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(E,F)}$

Сопряженные и компактные сопряженные операторы являются подпространствами этого банахова пространства, определяемыми с помощью структур скалярного произведения на и . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$

В частном случае, когда — они сводятся к ограниченным и компактным операторам в гильбертовых пространствах соответственно. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Присоединяемые карты

Отображение (не обязательно линейное) определяется как сопряженное, если существует другое отображение , известное как сопряженное к , такое, что для любого и , ${\displaystyle T\colon E\to F}$ ${\displaystyle T^{*}\colon F\to E}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle f\in F}$

${\displaystyle \langle f,Te\rangle =\langle T^{*}f,e\rangle .}$

Оба и тогда автоматически являются линейными и также -модульными отображениями. Теорема о замкнутом графике может быть использована для того, чтобы показать, что они также ограничены. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle A}$

Аналогично сопряженному оператору в гильбертовых пространствах, является единственным (если он существует) и сам сопряжен с сопряженным . Если — второе сопряженное отображение, то сопряжен с сопряженным . ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S\colon F\to G}$ ${\displaystyle ST}$ ${\displaystyle S^{*}T^{*}}$

Сопряженные операторы образуют подпространство , которое является полным по операторной норме. ${\displaystyle E\to F}$ ${\displaystyle \mathbb {B} (E,F)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(E,F)}$

В случае пространство сопряженных операторов из в себя обозначается , и является C*-алгеброй. ^[12] ${\displaystyle F=E}$ ${\displaystyle \mathbb {B} (E,E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {B} (E)}$

Компактные сопряженные карты

При условии и отображение определяется аналогично операторам ранга один гильбертовых пространств следующим образом: ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle f\in F}$ ${\displaystyle |f\rangle \langle e|\colon E\to F}$

${\displaystyle g\mapsto f\langle e,g\rangle .}$

Это сопряжено с сопряженным . ${\displaystyle |e\rangle \langle f|}$

Компактные сопряженные операторы определяются как замкнутая область ${\displaystyle \mathbb {K} (E,F)}$

${\displaystyle \{|f\rangle \langle e|\mid e\in E,\;f\in F\}}$

в . ${\displaystyle \mathbb {B} (E,F)}$

Как и в случае ограниченных операторов, обозначается . Это (замкнутый, двусторонний) идеал . ^[13] ${\displaystyle \mathbb {K} (E,E)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} (E)}$ ${\displaystyle \mathbb {B} (E)}$

C*-соответствия

Если и являются C*-алгебрами, то C*-соответствие является Гильбертовым -модулем, снабженным левым действием присоединенных отображений, которое является точным. (Примечание: некоторые авторы требуют, чтобы левое действие было невырожденным.) Эти объекты используются в формулировке эквивалентности Мориты для C*-алгебр, см. приложения в построении алгебр Теплица и Кунца-Пимснера, ^[14] и могут быть использованы для наложения структуры бикатегории на набор C*-алгебр. ^[15] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

Тензорные произведения и бикатегория соответствий

Если — соответствие и , то алгебраическое тензорное произведение и как векторных пространств наследует левые и правые - и -модульные структуры соответственно. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (B,C)}$ ${\displaystyle E\odot F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

Его также можно наделить -значной полуторалинейной формой, определяемой на чистых тензорах как ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \langle e\odot f,e'\odot f'\rangle _{C}:=\langle f,\langle e,e'\rangle _{B}f\rangle _{C}.}$

Это положительно полуопределено, и хаусдорфово пополнение в результирующей полунорме обозначается . Левое и правое действия и расширяются, чтобы сделать это соответствием. ^[16] ${\displaystyle E\odot F}$ ${\displaystyle E\otimes _{B}F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (A,C)}$

Затем набор C*-алгебр может быть наделен структурой бикатегории с C*-алгебрами в качестве объектов, соответствиями в качестве стрелок и изоморфизмами соответствий (биективными модульными отображениями, сохраняющими внутренние произведения) в качестве 2-стрелок. ^[17] ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle B\to A}$

Алгебра Теплица соответствия

Для заданной C*-алгебры и соответствия ее алгебра Теплица определяется как универсальная алгебра для представлений Теплица (определено ниже). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A,A)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(E)}$

Классическая алгебра Теплица может быть восстановлена ​​как частный случай, а алгебры Кунца-Пимснера определяются как частные факторы алгебр Теплица. ^[18]

В частности, графовые алгебры , скрещенные произведения на ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ и алгебры Кунца являются факторами конкретных алгебр Теплица.

Представления Тёплица

Представление Теплица ^[19] в C*-алгебре — это пара линейного отображения и гомоморфизма, такая что ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (S,\phi )}$ ${\displaystyle S\colon E\to D}$ ${\displaystyle \phi \colon A\to D}$

• ${\displaystyle S}$является «изометрическим»:

${\displaystyle S(e)^{*}S(f)=\phi (\langle e,f\rangle )}$для всех , ${\displaystyle e,f\in E}$

• ${\displaystyle S}$напоминает бимодульную карту:

${\displaystyle S(ae)=\phi (a)S(e)}$и для и . ${\displaystyle S(ea)=S(e)\phi (a)}$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle a\in A}$

алгебра Тёплица

Алгебра Теплица является универсальным представлением Теплица. То есть, существует представление Теплица в такое , что если — любое представление Теплица (в произвольной алгебре ), то существует единственный *-гомоморфизм такой, что и . ^[20] ${\displaystyle {\mathcal {T}}(E)}$ ${\displaystyle (T,\iota )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(E)}$ ${\displaystyle (S,\phi )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Phi \colon {\mathcal {T}}(E)\to D}$ ${\displaystyle S=\Phi \circ T}$ ${\displaystyle \phi =\Phi \circ \iota }$

Примеры

Если взять алгебру комплексных чисел, а векторное пространство , наделенное естественной -бимодульной структурой, то соответствующая алгебра Теплица является универсальной алгеброй, порожденной изометриями с взаимно ортогональными проекциями множеств. ^[21] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n}$

В частности, — это универсальная алгебра, порожденная одной изометрией, которая является классической алгеброй Теплица. ${\displaystyle {\mathcal {T}}(\mathbb {C} )}$

Смотрите также

• Операторная алгебра

Примечания

1. Капланский, И. (1953). «Модули над операторными алгебрами». American Journal of Mathematics . 75 (4): 839–853. doi :10.2307/2372552. JSTOR  2372552.
2. Paschke, WL (1973). «Внутренние модули произведения над B*-алгебрами». Труды Американского математического общества . 182 : 443–468. doi :10.2307/1996542. JSTOR  1996542.
3. Риффель, MA (1974). «Индуцированные представления C*-алгебр». Успехи математики . 13 (2): 176–257. doi : 10.1016/0001-8708(74)90068-1 .
4. Каспаров, ГГ (1980). "Гильбертовы C*-модули: теоремы Стайнспринга и Войкулеску". Журнал теории операторов . 4. Theta Foundation: 133–150.
5. Риффель, М.А. (1982). «Эквивалентность Мориты для операторных алгебр». Труды симпозиумов по чистой математике . 38. Американское математическое общество: 176–257.
6. Баадж, С.; Скандалис, Г. (1993). «Unitaires multiplicatifs et Dualité pour les produits croisés de C*-algèbres». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 26 (4): 425–488. дои : 10.24033/asens.1677 .
7. Воронович, СЛ (1991). «Неограниченные элементы, связанные с C*-алгебрами и некомпактными квантовыми группами». Сообщения по математической физике . 136 (2): 399–432. Bibcode : 1991CMaPh.136..399W. doi : 10.1007/BF02100032. S2CID  118184597.
8. Арвесон, Уильям (1976). Приглашение в C*-алгебры . Springer-Verlag. стр. 35.
9. В случае, когда не является единицей, спектр элемента вычисляется в C*-алгебре, порожденной присоединением единицы к . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$
10. Этот результат фактически справедлив для полускалярных -модулей, которые могут иметь ненулевые элементы , такие что , поскольку доказательство не опирается на свойство невырожденности . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle x,x\rangle _{A}=0}$
11. Каспаров, ГГ (1980). «Гильбертовы C*-модули: теоремы Стайнспринга и Войкулеску». Журнал теории операторов . 4. ThetaFoundation: 133–150.
12. Вегге-Олсен 1993, стр. 240-241.
13. Вегге-Олсен 1993, стр. 242-243.
14. Браун, Одзава 2008, раздел 4.6.
15. Басс, Мейер, Чжу, 2013, раздел 2.2.
16. Браун, Одзава 2008, стр. 138-139.
17. Басс, Мейер, Чжу 2013, раздел 2.2.
18. Браун, Одзава, 2008, раздел 4.6.
19. Фаулер, Реберн, 1999, раздел 1.
20. Фаулер, Реберн, 1999, Предложение 1.3.
21. Браун, Одзава, 2008, Пример 4.6.10.

Ссылки

• Лэнс, Э. Кристофер (1995). Гильбертовы C*-модули: набор инструментов для операторных алгебраистов . Серия лекций Лондонского математического общества. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета.
• Wegge-Olsen, NE (1993). K-теория и C*-алгебры . Oxford University Press.
• Браун, Натаниэль П.; Озава, Нарутака (2008). C*-алгебры и конечномерные аппроксимации. Американское математическое общество.
• Басс, Алсидес; Мейер, Ральф; Чжу, Ченчан (2013). «Подход высшей категории к скрученным действиям на c*-алгебрах». Труды Эдинбургского математического общества . 56 (2): 387–426. doi :10.1017/S0013091512000259.
• Фаулер, Нил Дж.; Рэйберн, Иэн (1999). «Алгебра Теплица бимодуля Гильберта». Indiana University Mathematics Journal . 48 (1): 155–181. doi :10.1512/iumj.1999.48.1639. JSTOR  24900141.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гильберт C*-модуль». Математический мир .
• Домашняя страница Hilbert C*-Modules, список литературы