Дальность полета снаряда

Траектория этого снаряда, выпущенного с высоты y _0, имеет дальность d.

В физике снаряд , запущенный с определенными начальными условиями, будет иметь дальность . Это может быть более предсказуемо, если предположить, что Земля плоская с однородным гравитационным полем и без сопротивления воздуха . Горизонтальные дальности снаряда равны для двух дополнительных углов проекции с одинаковой скоростью.

Следующее применимо для расстояний, которые малы по сравнению с размером Земли. Для более длинных расстояний см. суборбитальный космический полет . Максимальное горизонтальное расстояние, пройденное снарядом , без учета сопротивления воздуха, можно рассчитать следующим образом: ^[1]

${\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{g}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}\right)}$

где

• d — общее горизонтальное расстояние, пройденное снарядом.
• v — скорость, с которой запущен снаряд
• g — ускорение свободного падения , обычно принимаемое равным 9,81 м/с ² (32 ф/с ² ) вблизи поверхности Земли.
• θ — угол, под которым выпущен снаряд
• y ₀ — начальная высота снаряда

Если y ₀ принять равным нулю, что означает, что объект запускается на ровной поверхности, то дальность полета снаряда упростится до:

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin 2\theta }{g}}}$

Идеальное движение снаряда

Идеальное движение снаряда утверждает, что нет сопротивления воздуха и нет изменения гравитационного ускорения . Это предположение значительно упрощает математику и является близким приближением к реальному движению снаряда в случаях, когда пройденные расстояния малы. Идеальное движение снаряда также является хорошим введением в тему перед добавлением осложнений сопротивления воздуха.

Производные

Угол запуска 45 градусов смещает снаряд дальше всего по горизонтали. Это связано с природой прямоугольных треугольников. Кроме того, из уравнения для дальности:

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin 2\theta }{g}}}$

Мы видим, что диапазон будет максимальным, когда значение будет самым высоким (т.е. когда оно равно 1). Очевидно, должно быть 90 градусов. То есть, составляет 45 градусов. ${\displaystyle \sin 2\theta }$ ${\displaystyle 2\theta }$ ${\displaystyle \theta }$

Ровная поверхность

Дальность полета снаряда (в космосе ).

Сначала рассмотрим случай, когда ( y ₀ ) равно нулю. Горизонтальное положение снаряда равно

${\displaystyle x(t)=vt\cos \theta }$

В вертикальном направлении

${\displaystyle y(t)=vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

Нас интересует время, когда снаряд возвращается на ту же высоту, с которой он начал. Пусть t _g будет любым моментом времени, когда высота снаряда равна его начальному значению.

${\displaystyle 0=vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

По факторингу:

${\displaystyle t=0}$

или

${\displaystyle t={\frac {2v\sin \theta }{g}}}$

но t = T = время пролета

${\displaystyle T={\frac {2v\sin \theta }{g}}}$

Первое решение соответствует моменту первого запуска снаряда. Второе решение полезно для определения дальности полета снаряда. Подстановка этого значения для ( t ) в горизонтальное уравнение дает

${\displaystyle x={\frac {2v^{2}\cos \theta \,\sin \theta }{g}}}$

Применяем тригонометрическое тождество

${\displaystyle \sin(x+y)=\sin x\,\cos y\ +\ \sin y\,\cos x}$

Если x и y одинаковы,

${\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \,\cos \theta }$

позволяет нам упростить решение

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin 2\theta }{g}}}$

Обратите внимание, что когда ( θ ) равен 45°, решение становится

${\displaystyle d_{\max }={\frac {v^{2}}{g}}}$

Неровная поверхность

Теперь мы позволим ( y ₀ ) быть ненулевым. Наши уравнения движения теперь

${\displaystyle x(t)=vt\cos \theta }$

и

${\displaystyle y(t)=y_{0}+vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

Снова решаем для ( t ) в случае, когда положение ( y ) снаряда равно нулю (поскольку именно так мы изначально определили нашу начальную высоту)

${\displaystyle 0=y_{0}+vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

Снова применяя квадратную формулу, мы находим два решения для времени. После нескольких шагов алгебраической манипуляции

${\displaystyle t={\frac {v\sin \theta }{g}}\pm {\frac {\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{g}}}$

Квадратный корень должен быть положительным числом, и поскольку скорость и синус угла запуска также можно предположить положительными, решение с большим временем будет иметь место при использовании положительного знака плюс или минус. Таким образом, решение имеет вид

${\displaystyle t={\frac {v\sin \theta }{g}}+{\frac {\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{g}}}$

Решаем еще раз для диапазона

${\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{g}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}\right)}$

Чтобы максимально увеличить дальность действия на любой высоте

${\displaystyle \theta =\arccos {\sqrt {\frac {2gy_{0}+v^{2}}{2gy_{0}+2v^{2}}}}}$

Проверка предела по мере приближения к 0 ${\displaystyle y_{0}}$

${\displaystyle \lim _{y_{0}\to 0}\arccos {\sqrt {\frac {2gy_{0}+v^{2}}{2gy_{0}+2v^{2}}}}={\frac {\pi }{4}}}$

Угол удара

Угол ψ, под которым приземляется снаряд, определяется по формуле:

${\displaystyle \tan \psi ={\frac {-v_{y}(t_{d})}{v_{x}(t_{d})}}={\frac {\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{v\cos \theta }}}$

Для максимального диапазона это приводит к следующему уравнению:

${\displaystyle \tan ^{2}\psi ={\frac {2gy_{0}+v^{2}}{v^{2}}}=C+1}$

Переписав исходное решение для θ, получаем:

${\displaystyle \tan ^{2}\theta ={\frac {1-\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {v^{2}}{2gy_{0}+v^{2}}}={\frac {1}{C+1}}}$

Умножение на уравнение для (tan ψ)^2 дает:

${\displaystyle \tan ^{2}\psi \,\tan ^{2}\theta ={\frac {2gy_{0}+v^{2}}{v^{2}}}{\frac {v^{2}}{2gy_{0}+v^{2}}}=1}$

Из-за тригонометрического тождества

${\displaystyle \tan(\theta +\psi )={\frac {\tan \theta +\tan \psi }{1-\tan \theta \tan \psi }}}$,

это означает, что θ + ψ должно быть 90 градусов.

Фактическое движение снаряда

Помимо сопротивления воздуха , которое замедляет снаряд и уменьшает дальность его полета, при рассмотрении фактического движения снаряда необходимо учитывать и многие другие факторы.

Характеристики снаряда

Вообще говоря, снаряд с большим объемом сталкивается с большим сопротивлением воздуха , что уменьшает дальность полета снаряда. (И см. Траектория полета снаряда .) Сопротивление воздуха может быть изменено формой снаряда: высокий и широкий, но короткий снаряд будет сталкиваться с большим сопротивлением воздуха, чем низкий и узкий, но длинный снаряд того же объема. Поверхность снаряда также должна быть принята во внимание: гладкий снаряд будет сталкиваться с меньшим сопротивлением воздуха, чем снаряд с шероховатой поверхностью, и неровности на поверхности снаряда могут изменить его траекторию, если они создают большее сопротивление с одной стороны снаряда, чем с другой. Однако некоторые неровности, такие как ямочки на мяче для гольфа, могут фактически увеличить его дальность полета, уменьшая величину турбулентности, возникающей позади снаряда во время его движения. ^{[ необходима цитата ]} Масса также становится важной, так как более массивный снаряд будет иметь большую кинетическую энергию и, таким образом, будет меньше подвержен сопротивлению воздуха. Распределение массы внутри снаряда также может иметь важное значение, поскольку неравномерно распределенный снаряд может нежелательно вращаться, вызывая неровности в его траектории из-за эффекта Магнуса .

Если снаряду придать вращение вдоль осей движения, неровности в форме снаряда и распределении веса, как правило, нивелируются. Более подробное объяснение см. в разделе нарезка .

Стволы огнестрельного оружия

Для снарядов, которые запускаются огнестрельным оружием и артиллерией, характер ствола орудия также важен. Более длинные стволы позволяют передать больше энергии метательного заряда снаряду, что обеспечивает большую дальность. Нарезка , хотя и не увеличивает среднюю ( арифметическую ) дальность многих выстрелов из одного и того же оружия, повышает точность и кучность оружия.

Очень большие диапазоны

Некоторые пушки и гаубицы были созданы с очень большой дальностью стрельбы.

Во время Первой мировой войны немцы создали исключительно большую пушку, Paris Gun , которая могла стрелять снарядом на расстояние более 80 миль (130 км). Северная Корея разработала пушку, известную на Западе как Koksan , с дальностью стрельбы 60 км при использовании реактивных снарядов. (И см. Траектория снаряда .)

Такие пушки отличаются от ракет или баллистических ракет , которые имеют собственные ракетные двигатели, которые продолжают разгонять ракету в течение некоторого времени после ее запуска.

Смотрите также

• Траектория
• Движение снаряда
• Скорость убегания

Ссылки

1. Гэллант, Джозеф (2012). Занимаемся физикой с помощью научного блокнота: подход к решению проблем. John Wiley & Sons . стр. 132. ISBN 978-1-119-94194-1._{Выдержка из страницы 132. Обратите внимание, что yy 0} источника заменен на y ₀ статьи.