Двойной многогранник

Многогранник, связанный с другим путем замены вершин на грани

Двойственный кубу октаэдр . Вершины одного соответствуют граням другого, а ребра соответствуют друг другу.

В геометрии каждый многогранник связан со второй дуальной структурой, где вершины одного соответствуют граням другого , а ребра между парами вершин одного соответствуют ребрам между парами граней другого. ^[1] Такие дуальные фигуры остаются комбинаторными или абстрактными многогранниками , но не все из них могут быть построены как геометрические многогранники. ^[2] Начиная с любого заданного многогранника, двойственный его двойственному является исходным многогранником.

Дуальность сохраняет симметрии многогранника. Поэтому для многих классов многогранников, определяемых их симметриями, дуальные многогранники принадлежат к соответствующему классу симметрии. Например, правильные многогранники — (выпуклые) Платоновы тела и (звездчатые) многогранники Кеплера–Пуансо  — образуют дуальные пары, где правильный тетраэдр является самодуальным. Дуальный многогранник изогонального многогранника (того, в котором любые две вершины эквивалентны относительно симметрий многогранника) является изоэдральным многогранником (тем, в котором любые две грани эквивалентны [...]), и наоборот. Дуальный многогранник изотоксального многогранника (того, в котором любые два ребра эквивалентны [...]) также является изотоксальным.

Двойственность тесно связана с полярной взаимностью — геометрическим преобразованием, которое, будучи применено к выпуклому многограннику, реализует двойственный многогранник как другой выпуклый многогранник.

Виды двойственности

Двойственное тело Платона может быть построено путем соединения центров граней. В общем случае это создает только топологически двойственное тело.
Изображения из Harmonices Mundi Кеплера ( 1619)

Существует много видов дуальности. Наиболее релевантными для элементарных многогранников являются полярная взаимность и топологическая или абстрактная дуальность.

Полярное взаимное движение

В евклидовом пространстве двойственный многогранник часто определяется в терминах полярного возвратно-поступательного движения вокруг сферы. Здесь каждая вершина (полюс) связана с плоскостью грани (полярной плоскостью или просто полярной) так, что луч из центра к вершине перпендикулярен плоскости, а произведение расстояний от центра до каждой равно квадрату радиуса. ^[3] ${\displaystyle P}$

Когда сфера имеет радиус и центрирована в начале координат (так что она определяется уравнением ), то полярный двойственный многогранник выпуклого многогранника определяется как ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P^{\circ }=\{q~{\big |}~q\cdot p\leq r^{2}}$для всех в ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P\},}$

где обозначает стандартное скалярное произведение и . ${\displaystyle q\cdot p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

Обычно, когда в конструкции двойственной сферы не указано никакой сферы, то используется единичная сфера, как в приведенных выше определениях. ^[4] ${\displaystyle r=1}$

Для каждой плоскости грани , описываемой линейным уравнением, соответствующая вершина двойственного многогранника будет иметь координаты . Аналогично, каждая вершина соответствует плоскости грани , а каждая линия ребра соответствует линии ребра . Соответствие между вершинами, ребрами и гранями и отменяет включение. Например, если ребро содержит вершину, соответствующее ребро будет содержаться в соответствующей грани. ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=r^{2},}$$ ${\displaystyle P^{\circ }}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{\circ }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{\circ }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{\circ }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{\circ }}$

Для многогранника с центром симметрии обычно используют сферу с центром в этой точке, как в конструкции Дормана-Люка (упомянутой ниже). Если это невозможно, то для многогранника с описанной сферой, вписанной сферой или средней сферой (со всеми ребрами в качестве касательных) это можно использовать. Однако возможно возвратно-поступательное движение многогранника относительно любой сферы, и полученная форма двойственного будет зависеть от размера и положения сферы; поскольку сфера изменяется, то изменяется и двойственная форма. Выбор центра для сферы достаточен для определения двойственного с точностью до подобия.

Если многогранник в евклидовом пространстве имеет плоскость грани, линию ребра или вершину, лежащую в центре сферы, соответствующий элемент его дуала будет стремиться к бесконечности. Поскольку евклидово пространство никогда не достигает бесконечности, проективный эквивалент, называемый расширенным евклидовым пространством, может быть образован путем добавления требуемой «плоскости на бесконечности». Некоторые теоретики предпочитают придерживаться евклидова пространства и говорят, что дуала нет. Между тем, Веннингер (1983) нашел способ представить эти бесконечные дуалы способом, подходящим для создания моделей (некоторой конечной части).

Понятие двойственности здесь тесно связано с двойственностью в проективной геометрии , где линии и ребра меняются местами. Проективная полярность достаточно хорошо работает для выпуклых многогранников. Но для невыпуклых фигур, таких как звездчатые многогранники, когда мы пытаемся строго определить эту форму многогранной двойственности в терминах проективной полярности, возникают различные проблемы. ^[5] Из-за проблем с определением геометрической двойственности невыпуклых многогранников Грюнбаум (2007) утверждает, что любое правильное определение невыпуклого многогранника должно включать понятие двойственного многогранника.

Канонические дуалы

Каноническое двойное соединение кубооктаэдра (светлого) и ромбододекаэдра (темного). Пары ребер сходятся на их общей средней сфере .

Любой выпуклый многогранник можно исказить до канонической формы , в которой существует единичная средняя сфера (или промежуточная сфера), касательная к каждому ребру, и такая, что среднее положение точек касания является центром сферы. Эта форма единственна с точностью до конгруэнтности.

Если мы возвратно-поступательно совершим такое каноническое многогранник вокруг его средней сферы, то двойственный многогранник будет иметь те же самые точки касания ребер, и, таким образом, также будет каноническим. Это каноническое двойственное, и вместе они образуют каноническое двойственное соединение. ^[6]

Строительство Дормана Люка

Для однородного многогранника каждая грань двойственного многогранника может быть получена из соответствующей вершинной фигуры исходного многогранника с помощью построения Дормана-Люка . ^[7]

Топологическая двойственность

Даже когда пара многогранников не может быть получена путем взаимного перемещения друг из друга, их можно назвать дуальными друг другу, пока вершины одного соответствуют граням другого, а ребра одного соответствуют ребрам другого, сохраняющим инцидентность образом. Такие пары многогранников все еще топологически или абстрактно дуальны.

Вершины и ребра выпуклого многогранника образуют граф ( 1-скелет многогранника), вложенный в поверхность многогранника (топологическую сферу). Этот граф можно спроецировать на плоскую плоскость, образовав диаграмму Шлегеля . Граф, образованный вершинами и ребрами двойственного многогранника, является двойственным графом исходного графа.

В более общем случае, для любого многогранника, грани которого образуют замкнутую поверхность, вершины и ребра многогранника образуют граф, вложенный в эту поверхность, а вершины и ребра (абстрактного) двойственного многогранника образуют двойственный граф исходного графа.

Абстрактный многогранник — это определенный вид частично упорядоченного множества (посета) элементов, такой, что инцидентности или связи между элементами множества соответствуют инцидентностям между элементами (гранями, ребрами, вершинами) многогранника. Каждый такой посет имеет дуальный посет, образованный путем обращения всех отношений порядка. Если посет визуализировать как диаграмму Хассе , дуальный посет можно визуализировать, просто перевернув диаграмму Хассе вверх дном.

Каждый геометрический многогранник соответствует абстрактному многограннику таким образом и имеет абстрактный дуальный многогранник. Однако для некоторых типов невыпуклых геометрических многогранников дуальные многогранники могут быть нереализуемы геометрически.

Самодвойственные многогранники

Топологически многогранник называется самодвойственным , если его двойственный многогранник имеет точно такую ​​же связность между вершинами, ребрами и гранями. Абстрактно, они имеют одну и ту же диаграмму Хассе . Геометрически он не только топологически самодвойственен, но и его полярная обратная относительно определенной точки, обычно ее центроида, является подобной фигурой. Например, двойственный многогранник правильного тетраэдра — это другой правильный тетраэдр, отраженный относительно начала координат .

Каждый многоугольник топологически самодвойственен, поскольку имеет то же число вершин, что и ребер, и они меняются местами при двойственности. Но он не обязательно самодвойственен (например, вплоть до жесткого движения). Каждый многоугольник имеет правильную форму, которая геометрически самодвойственна относительно своей интерсферы: все углы конгруэнтны, как и все ребра, поэтому при двойственности эти конгруэнтности меняются местами. Аналогично, каждый топологически самодвойственный выпуклый многогранник может быть реализован эквивалентным геометрически самодвойственным многогранником, его каноническим многогранником , обратным относительно центра средней сферы .

Существует бесконечно много геометрически самодвойственных многогранников. Простейшее бесконечное семейство — пирамиды . [ ^8] Другое бесконечное семейство, вытянутые пирамиды , состоит из многогранников, которые можно грубо описать как пирамиду, стоящую на вершине призмы ( с тем же числом сторон). Добавление усеченной пирамиды (пирамиды с отрезанной вершиной) под призмой порождает еще одно бесконечное семейство, и так далее. Существует много других выпуклых самодвойственных многогранников. Например, существует 6 различных с 7 вершинами и 16 с 8 вершинами. ^[9]

Самодвойственный невыпуклый икосаэдр с шестиугольными гранями был идентифицирован Брюкнером в 1900 году. ^{[10] [11] [12]} Были найдены и другие невыпуклые самодвойственные многогранники при определенных определениях невыпуклых многогранников и их двойственных многогранников.

Двойственные многогранники и мозаики

Двойственность можно обобщить на n -мерное пространство и двойственные многогранники ; в двух измерениях они называются двойственными многоугольниками .

Вершины одного многогранника соответствуют ( n − 1)-мерным элементам или граням другого, а j точек, определяющих ( j − 1)-мерный элемент, будут соответствовать j гиперплоскостям, которые пересекаются, давая ( n − j )-мерный элемент. Двойственность n -мерной мозаики или сот может быть определена аналогично.

В общем случае грани двойственного многогранника будут топологическими двойственными вершинными фигурами многогранника. Для полярных обратных фигур правильных и однородных многогранников двойственные грани будут полярными обратными вершинной фигуре исходного многогранника. Например, в четырех измерениях вершинная фигура 600-ячейки — это икосаэдр ; двойственная фигура 600-ячейки — это 120-ячейка , чьи грани — додекаэдры , которые являются двойственными фигурами икосаэдра.

Самодвойственные многогранники и замощения

Квадратная мозаика {4,4} является самодвойственной, как показано на этих красных и синих мозаиках.

Апейрогональная мозаика бесконечного порядка , {∞,∞}, выделена красным, и ее двойственное положение — синим

Основной класс самодвойственных многогранников — это правильные многогранники с палиндромными символами Шлефли . Все правильные многоугольники, {a} являются самодвойственными, многогранники вида {a,a}, 4-многогранники вида {a,b,a}, 5-многогранники вида {a,b,b,a} и т. д.

Самодвойственные правильные многогранники:

• Все правильные многоугольники , {a}.
• Правильный тетраэдр : {3,3}
• В общем случае все правильные n - симплексы , {3,3,...,3}
• Обычная 24-ячейка в 4 измерениях, {3,4,3}.
• Большой 120-ячейниковый {5,5/2,5} и большой звездчатый 120-ячейниковый {5/2,5,5/2}

Самодвойственные (бесконечные) правильные евклидовы соты :

• Апейрогон : {∞}
• Квадратная мозаика : {4,4}
• Кубические соты : {4,3,4}
• В общем случае все правильные n -мерные евклидовы гиперкубические соты : {4,3,...,3,4}.

Самодвойственные (бесконечные) правильные гиперболические соты:

• Компактные гиперболические мозаики: {5,5} , {6,6} , ... {p,p}.
• Паракомпактная гиперболическая мозаика: {∞,∞}
• Компактные гиперболические соты: {3,5,3} , {5,3,5} , и {5,3,3,5}
• Паракомпактные гиперболические соты: {3,6,3} , {6,3,6} , {4,4,4} , и {3,3,4,3,3}

Смотрите также

• Обозначение многогранника Конвея
• Двойной полигон
• Самодвойственный граф
• Самодвойственный многоугольник

Ссылки

Примечания

1. Веннингер (1983), «Основные понятия о звездообразовании и двойственности», стр. 1.
2. Грюнбаум (2003)
3. Канди и Роллетт (1961), 3.2 Двойственность, стр. 78–79; Веннингер (1983), страницы 3–5. (Примечание: обсуждение Веннингера включает невыпуклые многогранники.)
4. Барвинок (2002), стр. 143.
5. См., например, Grünbaum & Shephard (2013) и Gailiunas & Sharp (2005). Веннингер (1983) также обсуждает некоторые вопросы на пути к выводу своих бесконечных двойственных.
6. Грюнбаум (2007), Теорема 3.1, стр. 449.
7. Канди и Роллетт (1961), с. 117; Веннингер (1983), с. 30.
8. Wohlleben, Eva (2019), «Duality in Non-Polyhedral Bodies Part I: Polyliner», в Cocchiarella, Luigi (ред.), ICGG 2018 — Труды 18-й Международной конференции по геометрии и графике: 40-я годовщина — Милан, Италия, 3–7 августа 2018 г., Advances in Intelligent Systems and Computing, т. 809, Springer, стр. 485–486, doi : 10.1007/978-3-319-95588-9, ISBN 978-3-319-95588-9
9. 3D Java- модели в Симметрии канонических самодвойственных многогранников, основанные на статье Гуннара Бринкмана, Брендана Д. Маккея, Быстрая генерация планарных графов PDF [1]
10. Энтони М. Катлер и Эгон Шульте; «Правильные многогранники индекса два», I; Beiträge zur Algebra und Geometry / Вклад в алгебру и геометрию , апрель 2011 г., том 52, выпуск 1, стр. 133–161.
11. NJ Bridge; «Огранка додекаэдра», Acta Crystallographica , т. A 30, часть 4, июль 1974 г., рис. 3c и сопроводительный текст.
12. Брюкнер, М.; Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte , Тойбнер, Лейпциг, 1900.

Библиография

• Канди, Х. Мартин ; Роллетт, А.П. (1961), Математические модели (2-е изд.), Оксфорд: Clarendon Press, MR  0124167.
• Гайлюнас, П.; Шарп, Дж. (2005), «Двойственность многогранников», Международный журнал математического образования в области науки и технологий , 36 (6): 617–642, doi : 10.1080/00207390500064049, S2CID  120818796.
• Грюнбаум, Бранко (2003), «Ваши многогранники такие же, как мои многогранники?», в Аронов, Борис ; Басу, Саугата; Пах, Янош ; Шарир, Миха (ред.), Дискретная и вычислительная геометрия: юбилейный сборник Гудмена–Поллака , Алгоритмы и комбинаторика, т. 25, Берлин: Springer, стр. 461–488, CiteSeerX  10.1.1.102.755 , doi :10.1007/978-3-642-55566-4_21, ISBN 978-3-642-62442-1, МР  2038487.
• Грюнбаум, Бранко (2007), «Графы многогранников; многогранники как графы», Дискретная математика , 307 (3–5): 445–463, doi :10.1016/j.disc.2005.09.037, hdl : 1773/2276 , MR  2287486.
• Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (2013), «Двойственность многогранников», в Сенечал, Марджори (ред.), Формирование пространства: исследование многогранников в природе, искусстве и геометрическом воображении , Нью-Йорк: Springer, стр. 211–216, doi :10.1007/978-0-387-92714-5_15, ISBN 978-0-387-92713-8, МР  3077226.
• Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Cambridge University Press, ISBN 0-521-54325-8, МР  0730208.
• Барвинок, Александр (2002), Курс по выпуклости , Провиденс: Американское математическое общество, ISBN 0821829688.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Двойственный многогранник», MathWorld
• Вайсштейн, Эрик В. , «Двойная тесселяция», MathWorld
• Вайсштейн, Эрик В. , «Самодвойственный многогранник», MathWorld