Двойная основа

Концепция линейной алгебры

В линейной алгебре , если задано векторное пространство с базисом векторов , индексированных набором индексов ( мощность равна размерности ), двойственный набор — это набор векторов в двойственном пространстве с тем же набором индексов, такой что и образуют биортогональную систему . Двойственный набор всегда линейно независим , но не обязательно охватывает . Если он охватывает , то называется двойственным базисом или обратным базисом для базиса . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle B^{*}}$ ${\displaystyle B}$

Обозначая индексированные векторные множества как и , будучи биортогональными, мы получаем, что пары элементов имеют внутренний продукт , равный 1, если индексы равны, и равный 0 в противном случае. Символически, оценка двойственного вектора в на векторе в исходном пространстве : ${\displaystyle B=\{v_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle B^{*}=\{v^{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle v^{i}\cdot v_{j}=\delta _{j}^{i}={\begin{cases}1&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j{\text{,}}\end{cases}}}$

где находится символ дельта Кронекера . ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$

Введение

Для выполнения операций с вектором, мы должны иметь простой метод вычисления его компонентов. В декартовой системе координат необходимая операция — скалярное произведение вектора и базового вектора. ^[1] Например,

${\displaystyle \mathbf {x} =x^{1}\mathbf {i} _{1}+x^{2}\mathbf {i} _{2}+x^{3}\mathbf {i} _{3}}$

где - базис в декартовой системе отсчета. Компоненты можно найти по ${\displaystyle \{\mathbf {i} _{1},\mathbf {i} _{2},\mathbf {i} _{3}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle x^{k}=\mathbf {x} \cdot \mathbf {i} _{k}.}$

Однако в недекартовой системе отсчета мы не обязательно имеем для всех . Однако всегда можно найти векторы в двойственном пространстве такие, что ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}}$

${\displaystyle x^{i}=\mathbf {e} ^{i}(\mathbf {x} )\qquad (i=1,2,3).}$

Равенство выполняется, когда s являются двойственным базисом s. Обратите внимание на разницу в положении индекса . ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle i}$

Существование и уникальность

Двойственное множество всегда существует и дает инъекцию из V в V ^∗ , а именно отображение, которое отправляет v _i в v ⁱ . Это говорит, в частности, что двойственное пространство имеет размерность большую или равную размерности V .

Однако двойственное множество бесконечномерного V не охватывает его двойственное пространство V ^∗ . Например, рассмотрим отображение w в V ^∗ из V в базовые скаляры F, заданное как w ( v _i ) = 1 для всех i . Это отображение, очевидно, ненулевое на всех v _i . Если бы w было конечной линейной комбинацией двойственных базисных векторов v ⁱ , скажем , для конечного подмножества K из I , то для любого j не из K , , что противоречит определению w . Таким образом, это w не лежит в диапазоне двойственного множества. ${\textstyle w=\sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i}}$ ${\textstyle w(v_{j})=\left(\sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i}\right)\left(v_{j}\right)=0}$

Двойственное бесконечномерному пространству имеет большую размерность (это большая бесконечная мощность), чем исходное пространство, и, таким образом, они не могут иметь базис с тем же набором индексов. Однако существует двойственный набор векторов, который определяет подпространство двойственного, изоморфное исходному пространству. Кроме того, для топологических векторных пространств можно определить непрерывное двойственное пространство , и в этом случае может существовать двойственный базис.

Конечномерные векторные пространства

В случае конечномерных векторных пространств двойственный набор всегда является двойственным базисом и он уникален. Эти базисы обозначаются и . Если обозначить оценку ковектора на векторе как спаривание, то условие биортогональности становится: ${\displaystyle B=\{e_{1},\dots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle B^{*}=\{e^{1},\dots ,e^{n}\}}$

${\displaystyle \left\langle e^{i},e_{j}\right\rangle =\delta _{j}^{i}.}$

Ассоциация дуального базиса с базисом дает отображение из пространства базисов V в пространство базисов V ^∗ , и это также является изоморфизмом. Для топологических полей , таких как действительные числа, пространство дуалов является топологическим пространством , и это дает гомеоморфизм между многообразиями Штифеля базисов этих пространств.

Категорическая и алгебраическая конструкция двойственного пространства

Другой способ ввести дуальное пространство векторного пространства ( модуля ) — ввести его в категориальном смысле. Для этого пусть будет модулем, определенным над кольцом (то есть, является объектом в категории ). Затем мы определяем дуальное пространство для , обозначаемое , как , модуль, образованный всеми -линейными модульными гомоморфизмами из в . Отметим, что мы можем определить дуальное к дуальному, называемое двойным дуальным для , записываемое как , и определяемое как . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R{\text{-}}\mathbf {Mod} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\ast }}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A,R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\ast \ast }}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A^{\ast },R)}$

Чтобы формально построить базис для сопряженного пространства, мы теперь ограничим наш взгляд случаем, когда — конечномерный свободный (левый) -модуль, где — кольцо с единицей. Тогда мы предполагаем, что множество является базисом для . Отсюда мы определяем функцию Кронекера над базисом с помощью , если и если . Тогда множество описывает линейно независимое множество с каждым . Поскольку — конечномерно, базис имеет конечную мощность. Тогда множество является базисом для и является свободным (правым) -модулем. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \delta _{xy}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta _{xy}=1}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle \delta _{xy}=0}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle S=\lbrace f_{x}:F\to R\;|\;f_{x}(y)=\delta _{xy}\rbrace }$ ${\displaystyle f_{x}\in {\text{Hom}}_{R}(F,R)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F^{\ast }}$ ${\displaystyle F^{\ast }}$ ${\displaystyle R}$

Примеры

Например, стандартные базисные векторы ( декартовой плоскости ) имеют вид ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \left\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}}$

и стандартные базисные векторы его дуального пространства равны ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2})^{*}}$

${\displaystyle \left\{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\right\}{\text{.}}}$

В трехмерном евклидовом пространстве для заданного базиса биортогональный (двойственный) базис можно найти по формулам ниже: ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\mathbf {e} ^{3}\}}$

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}=\left({\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{V}}\right)^{\mathsf {T}},\ \mathbf {e} ^{2}=\left({\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{V}}\right)^{\mathsf {T}},\ \mathbf {e} ^{3}=\left({\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{V}}\right)^{\mathsf {T}}.}$

где ^T обозначает транспонирование и

${\displaystyle V\,=\,\left(\mathbf {e} _{1};\mathbf {e} _{2};\mathbf {e} _{3}\right)\,=\,\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,=\,\mathbf {e} _{2}\cdot (\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})\,=\,\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})}$

объем параллелепипеда, образованного базисными векторами и ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\,\mathbf {e} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{3}.}$

В общем случае двойственный базис базиса в конечномерном векторном пространстве можно легко вычислить следующим образом: имея базис и соответствующий двойственный базис, мы можем построить матрицы ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$ ${\displaystyle f^{1},\ldots ,f^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F&={\begin{bmatrix}f_{1}&\cdots &f_{n}\end{bmatrix}}\\G&={\begin{bmatrix}f^{1}&\cdots &f^{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Тогда определяющее свойство двойственного базиса гласит, что

${\displaystyle G^{\mathsf {T}}F=I}$

Следовательно, матрица для двойственного базиса может быть вычислена как ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=\left(F^{-1}\right)^{\mathsf {T}}}$

Смотрите также

• Обратная решетка
• индекс Миллера
• Зональная ось

Примечания

1. Лебедев, Клауд и Еремеев 2010, стр. 12.

Ссылки

• Лебедев, Леонид П.; Клауд, Майкл Дж.; Еремеев, Виктор А. (2010). Тензорный анализ с приложениями к механике . World Scientific. ISBN 978-981431312-4.
• «Нахождение двойного базиса». Stack Exchange . 27 мая 2012 г.