Дельтовидная кривая

В геометрии дельтовидная кривая , также известная как трикуспоидная кривая или кривая Штейнера , представляет собой гипоциклоиду с тремя выступами . Другими словами, это рулетка , созданная точкой на окружности круга, катящейся без скольжения по внутренней части круга, радиус которого в три или полтора раза больше ее радиуса . Он назван в честь заглавной греческой буквы дельта (Δ), на которую он похож.

В более широком смысле, дельтоид может относиться к любой замкнутой фигуре с тремя вершинами, соединенными кривыми, вогнутыми снаружи, что делает внутренние точки невыпуклым множеством . ^[1]

Уравнения

Гипоциклоиду можно представить (с точностью до вращения и перемещения ) следующими параметрическими уравнениями

x=(ba)\cos(t)+a\cos \left({\frac {ba}{a}}t\right)\,

y=(ba)\sin(t)-a\sin \left({\frac {ba}{a}}t\right)\,,

где a — радиус катящегося круга, b — радиус круга, внутри которого катится вышеупомянутый круг, а t варьируется от нуля до 6 $π$ . (На иллюстрации выше b = 3a , обозначающей дельтовидную мышцу.)

В комплексных координатах это становится

z=2ae^{it}+ae^{-2it}

Переменную t можно исключить из этих уравнений, чтобы получить декартово уравнение

(x^{2}+y^{2})^{2}+18a^{2}(x^{2}+y^{2})-27a^{4}=8a(x^ {3}-3xy^{2}),\,

поэтому дельтоида представляет собой плоскую алгебраическую кривую четвертой степени. В полярных координатах это становится

r^{4}+18a^{2}r^{2}-27a^{4}=8ar^{3}\cos 3\theta \,.

Кривая имеет три особенности, точки возврата, соответствующие . Приведенная выше параметризация подразумевает, что кривая рациональна, что означает, что она имеет нулевой род . $t=0,\,\pm {\tfrac {2\pi {3}}$

Сегмент прямой может скользить каждым концом по дельтовидной мышце и оставаться касательным к дельтовидной мышце. Точка касания дважды обходит дельтовидную мышцу, а каждый конец - один раз.

Двойная кривая дельтовидной мышцы – это

x^{3}-x^{2}-(3x+1)y^{2}=0,\,

которая имеет двойную точку в начале координат, которую можно сделать видимой для построения графика путем воображаемого поворота y ↦ iy, что дает кривую

x^{3}-x^{2}+(3x+1)y^{2}=0\,

с двойной точкой в начале реальной плоскости.

Площадь и периметр

Площадь дельтовидной мышцы снова равна радиусу катящегося круга; таким образом, площадь дельтовидной мышцы в два раза больше площади катящегося круга. ^[2] $2\pi a^{2}$

Периметр (общая длина дуги) дельтовидной мышцы составляет 16 а . ^[2]

История

Обычные циклоиды изучались Галилео Галилеем и Марином Мерсенном еще в 1599 году, но циклоидальные кривые были впервые придуманы Оле Рёмером в 1674 году при изучении наилучшей формы зубьев шестерен. Леонард Эйлер утверждает, что впервые рассмотрел настоящую дельтовидную мышцу в 1745 году в связи с оптической проблемой.

Приложения

Дельтоиды возникают в нескольких областях математики. Например:

Множество комплексных собственных значений унистохастических матриц третьего порядка образует дельтоид.
Сечение набора унистохастических матриц третьего порядка образует дельтоид.
Множество возможных следов унитарных матриц, принадлежащих группе SU (3), образует дельтоид.
Пересечение двух дельтоидов параметризует семейство комплексных матриц Адамара шестого порядка.
Совокупность всех линий Симсона данного треугольника образует огибающую в форме дельтоида. Это известно как дельтоида Штайнера или гипоциклоида Штайнера в честь Якоба Штайнера , который описал форму и симметрию кривой в 1856 году. ^[3]
Огибающей площадей биссектрис треугольника является дельтоида (в широком смысле, определенном выше) с вершинами в серединах медиан . Стороны дельтовидной мышцы представляют собой дуги гипербол , асимптотические сторонам треугольника. ^[4] [1]
Дельтовидная мышца была предложена как решение проблемы иглы Какеи .

Смотрите также