Статистика Ферми – Дирака

Статистическое описание поведения фермионов

Статистика Ферми-Дирака — это тип квантовой статистики , который применяется к физике системы , состоящей из множества невзаимодействующих идентичных частиц , подчиняющихся принципу исключения Паули . Результатом является распределение частиц по энергетическим состояниям Ферми – Дирака . Оно названо в честь Энрико Ферми и Поля Дирака , каждый из которых независимо вывел распределение в 1926 году. ^{[1] [2]} Статистика Ферми – Дирака является частью области статистической механики и использует принципы квантовой механики .

Статистика Ферми – Дирака применяется к идентичным и неразличимым частицам с полуцелым спином (1/2, 3/2 и т. д.), называемым фермионами , в термодинамическом равновесии . В случае незначительного взаимодействия между частицами систему можно описать в терминах одночастичных энергетических состояний . В результате возникает распределение частиц Ферми–Дирака по этим состояниям, при котором никакие две частицы не могут находиться в одном и том же состоянии, что существенно влияет на свойства системы. Статистика Ферми-Дирака чаще всего применяется к электронам , типу фермионов со спином 1/2 .

Аналогом статистики Ферми-Дирака является статистика Бозе-Эйнштейна , которая применяется к идентичным и неразличимым частицам с целым спином (0, 1, 2 и т. д.), называемым бозонами . В классической физике статистика Максвелла – Больцмана используется для описания идентичных частиц, которые считаются различимыми. Как для статистики Бозе-Эйнштейна, так и для статистики Максвелла-Больцмана, в одном и том же состоянии может находиться более одной частицы, в отличие от статистики Ферми-Дирака.

Сравнение средней занятости основного штата по трем статистикам

История

До введения статистики Ферми – Дирака в 1926 году понимание некоторых аспектов поведения электронов было затруднено из-за, казалось бы, противоречивых явлений. Например, электронная теплоемкость металла при комнатной температуре, по-видимому, состоит из в 100 раз меньшего количества электронов , чем в электрическом токе . ^[3] Также было трудно понять, почему токи эмиссии , генерируемые при приложении высоких электрических полей к металлам при комнатной температуре, почти не зависят от температуры.

Трудность, с которой столкнулась модель Друде , электронная теория металлов того времени, была связана с тем, что все электроны (согласно классической теории статистики) были эквивалентны. Другими словами, считалось, что каждый электрон вносит в теплоемкость величину порядка постоянной Больцмана  k _B . Эта проблема оставалась нерешенной до тех пор, пока не была разработана статистика Ферми – Дирака.

Статистика Ферми-Дирака была впервые опубликована в 1926 году Энрико Ферми ^[1] и Полем Дираком . ^[2] Согласно Максу Борну , Паскуаль Жордан разработал в 1925 году ту же статистику, которую он назвал статистикой Паули , но она не была опубликована своевременно. ^{[4] [5] [6]} Согласно Дираку, ее впервые изучил Ферми, и Дирак назвал ее «статистикой Ферми», а соответствующие частицы — «фермионами». ^[7]

Статистика Ферми-Дирака была применена в 1926 году Ральфом Фаулером для описания коллапса звезды на белого карлика . ^[8] В 1927 году Арнольд Зоммерфельд применил его к электронам в металлах и разработал модель свободных электронов , ^[9] а в 1928 году Фаулер и Лотар Нордхейм применили его к автоэлектронной эмиссии из металлов. ^[10] Статистика Ферми–Дирака продолжает оставаться важной частью физики.

Распределение Ферми – Дирака

Для системы идентичных фермионов, находящихся в термодинамическом равновесии, среднее число фермионов в одночастичном состоянии i определяется распределением Ферми–Дирака (F–D) , ^{[11] [nb 1]}

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}},}$

где k _B — постоянная Больцмана , T — абсолютная температура , ε _i — энергия одночастичного состояния i , а μ — полный химический потенциал . Распределение нормируется условием

${\displaystyle \sum _{i}{\bar {n}}_{i}=N}$

которое можно использовать для выражения , которое может принимать как положительное, так и отрицательное значение. ^[12] ${\displaystyle \mu =\mu (T,N)}$ ${\displaystyle \mu }$

При нулевой абсолютной температуре µ равна энергии Ферми плюс потенциальная энергия на фермион, при условии, что она находится в окрестности положительной спектральной плотности. В случае спектральной щели, например, для электронов в полупроводнике, µ , точка симметрии, обычно называется уровнем Ферми или — для электронов — электрохимическим потенциалом , и будет расположена в середине щели. ^{[13] [14]}

Распределение Ферми-Дирака справедливо только в том случае, если число фермионов в системе достаточно велико, так что добавление в систему еще одного фермиона оказывает незначительное влияние на µ . ^[15] Поскольку распределение Ферми-Дирака было получено с использованием принципа Паули , который позволяет не более одному фермиону занимать каждое возможное состояние, результат таков : ^{[номер 2]} ${\displaystyle 0<{\bar {n}}_{i}<1}$

• Распределение Ферми – Дирака
• 
  Энергетическая зависимость. Более плавно при более высоких T. когда . Не показано, что уменьшается при более высоких T . ^[16] ${\displaystyle {\bar {n}}=0.5}$ ${\displaystyle \varepsilon =\mu }$ ${\displaystyle \mu }$
• 
  Температурная зависимость для . ${\displaystyle \varepsilon >\mu }$

Дисперсия числа частиц в состоянии i может быть рассчитана из приведенного выше выражения для , ^{[17] [18]} ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$

${\displaystyle V(n_{i})=k_{\rm {B}}T{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\bar {n}}_{i}={\bar {n}}_{i}(1-{\bar {n}}_{i}).}$

Распределение частиц по энергии

Функция Ферми с ц = 0,55 эВ для различных температур в диапазоне 50 К < Т < 375 К ${\displaystyle F(\varepsilon )}$

Из распределения частиц по состояниям Ферми – Дирака можно найти распределение частиц по энергии. ^{[nb 3]} Среднее число фермионов с энергией можно найти, умножив распределение Ферми–Дирака на вырождение (т.е. количество состояний с энергией ), ^[19] ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}(\varepsilon _{i})&=g_{i}{\bar {n}}_{i}\\&={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}.\end{aligned}}}$

При этом возможно , что существует более одного состояния, которое могут быть заняты фермионами с одинаковой энергией . ${\displaystyle g_{i}\geq 2}$ ${\displaystyle {\bar {n}}(\varepsilon _{i})>1}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

Когда квазиконтинуум энергий имеет связанную с ним плотность состояний (т.е. число состояний на единицу энергетического диапазона на единицу объема ^[20] ), среднее число фермионов на единицу энергетического диапазона на единицу объема равно ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle g(\varepsilon )}$

${\displaystyle {\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )=g(\varepsilon )F(\varepsilon ),}$

где называется функцией Ферми и представляет собой ту же функцию , которая используется для распределения Ферми–Дирака , ^[21] ${\displaystyle F(\varepsilon )}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$

${\displaystyle F(\varepsilon )={\frac {1}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}},}$

так что

${\displaystyle {\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )={\frac {g(\varepsilon )}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}.}$

Квантовые и классические режимы

Распределение Ферми-Дирака приближается к распределению Максвелла-Больцмана в пределе высокой температуры и низкой плотности частиц без необходимости каких-либо специальных предположений:

• В пределе низкой плотности частиц, следовательно , или эквивалентно . В этом случае , что является результатом статистики Максвелла-Больцмана. ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}\ll 1}$ ${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1\gg 1}$ ${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}\gg 1}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}\approx {\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}}}={\frac {N}{Z}}e^{-\varepsilon _{i}/k_{\rm {B}}T}}$
• В пределе высокой температуры частицы распределены в широком диапазоне значений энергии, поэтому заселенность каждого состояния (особенно высокоэнергетических с ) снова очень мала, . Это снова сводится к статистике Максвелла-Больцмана. ${\displaystyle \varepsilon _{i}-\mu \gg k_{\rm {B}}T}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}\ll 1}$

Классический режим, в котором статистика Максвелла-Больцмана может использоваться как приближение к статистике Ферми-Дирака, находится путем рассмотрения ситуации, которая далека от предела, налагаемого принципом неопределенности Гейзенберга для положения и импульса частицы . Например, в физике полупроводников, когда плотность состояний зоны проводимости намного превышает концентрацию легирования, энергетическую щель между зоной проводимости и уровнем Ферми можно рассчитать с использованием статистики Максвелла-Больцмана. В противном случае, если концентрацией легирования можно пренебречь по сравнению с плотностью состояний зоны проводимости, для точного расчета вместо этого следует использовать распределение Ферми – Дирака. Тогда можно показать, что преобладает классическая ситуация, когда концентрация частиц соответствует среднему межчастичному расстоянию , которое намного превышает среднюю длину волны де Бройля частиц: ^[22] ${\displaystyle {\bar {R}}}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$

${\displaystyle {\bar {R}}\gg {\bar {\lambda }}\approx {\frac {h}{\sqrt {3mk_{\rm {B}}T}}},}$

где h — постоянная Планка , а m — масса частицы .

Для случая электронов проводимости в типичном металле при Т = 300  К (т.е. примерно при комнатной температуре) система далека от классического режима, поскольку . Это связано с малой массой электрона и высокой концентрацией (т. е. малой ) электронов проводимости в металле. Таким образом, статистика Ферми – Дирака необходима для электронов проводимости в типичном металле. ^[22] ${\displaystyle {\bar {R}}\approx {\bar {\lambda }}/25}$ ${\displaystyle {\bar {R}}}$

Другим примером системы, не находящейся в классическом режиме, является система, состоящая из электронов звезды, схлопнувшейся до белого карлика. Хотя температура белого карлика высока (обычно T =10 000  К на его поверхности ^[23] ), его высокая концентрация электронов и малая масса каждого электрона не позволяют использовать классическое приближение, и снова требуется статистика Ферми–Дирака. ^[8]

Выводы

Большой канонический ансамбль

Распределение Ферми-Дирака, применимое только к квантовой системе невзаимодействующих фермионов, легко выводится из большого канонического ансамбля . ^[24] В этом ансамбле система способна обмениваться энергией и обмениваться частицами с резервуаром (температура T и химический потенциал μ, фиксируемые резервуаром).

Благодаря невзаимодействующему качеству каждый доступный одночастичный уровень (с уровнем энергии ϵ ) образует отдельную термодинамическую систему, контактирующую с резервуаром. Другими словами, каждый одночастичный уровень представляет собой отдельный крошечный большой канонический ансамбль. Согласно принципу Паули, для одночастичного уровня возможны только два микросостояния : отсутствие частицы (энергия E = 0) или одна частица (энергия E = ε ). Таким образом , результирующая статистическая сумма для этого одночастичного уровня имеет всего два члена:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}&=\exp {\big (}0(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}+\exp {\big (}1(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}\\&=1+\exp {\big (}(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )},\end{aligned}}}$

а среднее число частиц для этого подсостояния уровня одной частицы определяется выражением

${\displaystyle \langle N\rangle =k_{\rm {B}}T{\frac {1}{\mathcal {Z}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {Z}}}{\partial \mu }}\right)_{V,T}={\frac {1}{\exp {\big (}(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T{\big )}+1}}.}$

Этот результат применим для каждого одночастичного уровня и, таким образом, дает распределение Ферми – Дирака для всего состояния системы. ^[24]

Также можно определить дисперсию числа частиц (из-за тепловых флуктуаций ) (число частиц имеет простое распределение Бернулли ):

${\displaystyle {\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }=k_{\rm {B}}T\left({\frac {d\langle N\rangle }{d\mu }}\right)_{V,T}=\langle N\rangle {\big (}1-\langle N\rangle {\big )}.}$

Эта величина важна в явлениях переноса, таких как соотношения Мотта для электропроводности и коэффициента термоЭДС для электронного газа, ^[25] где способность уровня энергии вносить вклад в явления переноса пропорциональна . ${\displaystyle {\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }}$

Канонический ансамбль

Также возможно вывести статистику Ферми – Дирака в каноническом ансамбле . Рассмотрим многочастичную систему, состоящую из N одинаковых фермионов, имеющих незначительное взаимное взаимодействие и находящихся в тепловом равновесии. ^[15] Поскольку взаимодействие между фермионами незначительно, энергия состояния многочастичной системы может быть выражена как сумма одночастичных энергий: ${\displaystyle E_{R}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle E_{R}=\sum _{r}n_{r}\varepsilon _{r}}$

где называется числом заполнения и – число частиц в одночастичном состоянии с энергией . Суммирование ведется по всем возможным одночастичным состояниям . ${\displaystyle n_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ ${\displaystyle r}$

Вероятность того, что многочастичная система находится в состоянии , определяется нормированным каноническим распределением , ^[26] ${\displaystyle R}$

${\displaystyle P_{R}={\frac {e^{-\beta E_{R}}}{\displaystyle \sum _{R'}e^{-\beta E_{R'}}}}}$

где , e называется фактором Больцмана , а суммирование ведется по всем возможным состояниям многочастичной системы. Среднее значение числа вакансий составляет ^[26] ${\displaystyle \beta =1/k_{\rm {B}}T}$ ^{${\displaystyle \scriptstyle -\beta E_{R}}$} ${\displaystyle R'}$ ${\displaystyle n_{i}\;}$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}\ =\ \sum _{R}n_{i}\ P_{R}}$

Обратите внимание, что состояние многочастичной системы может быть задано заселенностью частицами одночастичных состояний, т.е. задав так, чтобы ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n_{1},\,n_{2},\,\ldots \;,}$

${\displaystyle P_{R}=P_{n_{1},n_{2},\ldots }={\frac {e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{{n_{1}}',{n_{2}}',\ldots }e^{-\beta ({n_{1}}'\varepsilon _{1}+{n_{2}}'\varepsilon _{2}+\cdots )}}}}$

и уравнение для становится ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\bar {n}}_{i}&=\sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}\ P_{n_{1},n_{2},\dots }\\\\&={\frac {\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}\ e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}}\\\end{alignedat}}}$

где суммирование ведется по всем комбинациям значений, которые подчиняются принципу исключения Паули, и = 0 или 1 для каждого . Более того, каждая комбинация значений удовлетворяет ограничению, заключающемуся в том, что общее количество частиц равно , ${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots }$ ${\displaystyle n_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots }$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \sum _{r}n_{r}=N.}$

Перестановка сумм,

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}\ e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\quad \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\qquad \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}}}$

где знак суммирования указывает, что сумма не завершена и на нее распространяется ограничение, заключающееся в том, что общее количество частиц, связанных с суммированием, равно . Обратите внимание, что по-прежнему зависит от ограниченияthrough, поскольку в одном случае и оценивается с помощью while, в другом случае и оценивается с помощью  . Чтобы упростить обозначения и четко указать, что все еще зависит от ограничения  , определите ${\displaystyle ^{(i)}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle N_{i}=N-n_{i}}$ ${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}=0}$ ${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$ ${\displaystyle N_{i}=N,}$ ${\displaystyle n_{i}=1}$ ${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$ ${\displaystyle N_{i}=N-1.}$ ${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle N-n_{i}}$

${\displaystyle Z_{i}(N-n_{i})\equiv \ \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\ldots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}\;}$

так что предыдущее выражение для можно переписать и оценить с точки зрения , ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ ${\displaystyle Z_{i}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\bar {n}}_{i}\ &={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}\ e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\ \ Z_{i}(N-n_{i})}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\qquad Z_{i}(N-n_{i})}}\\[8pt]&=\ {\frac {\quad 0\quad \;+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\;Z_{i}(N-1)}{Z_{i}(N)+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\;Z_{i}(N-1)}}\\[6pt]&=\ {\frac {1}{[Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)]\;e^{\beta \varepsilon _{i}}+1}}\quad .\end{alignedat}}}$

Следующее приближение ^[27] будет использовано для нахождения выражения для замены . ${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\ln Z_{i}(N-1)&\simeq \ln Z_{i}(N)-{\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}\\&=\ln Z_{i}(N)-\alpha _{i}\;\end{alignedat}}}$

где ${\displaystyle \alpha _{i}\equiv {\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}\ .}$

Если число частиц достаточно велико, так что изменение химического потенциала при добавлении частицы в систему очень мало, то ^[28] Взяв антилогарифм   по основанию e ^[29] обеих частей, заменив на и переставив, ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mu \;}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\simeq -\mu /k_{\rm {B}}T\ .}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\,}$

${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)=e^{-\mu /k_{\rm {B}}T}.}$

Подстановка вышеизложенного в уравнение для и использование предыдущего определения для замены приводит к распределению Ферми – Дирака. ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ ${\displaystyle \beta \;}$ ${\displaystyle 1/k_{\rm {B}}T}$ ${\displaystyle \beta \;}$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}=\ {\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}}$

Подобно распределению Максвелла-Больцмана и распределению Бозе-Эйнштейна, распределение Ферми-Дирака также можно получить с помощью метода средних значений Дарвина-Фаулера . ^[30]

Микроканонический ансамбль

Результата можно добиться, непосредственно анализируя кратности системы и используя множители Лагранжа . ^[31]

Предположим, у нас есть несколько энергетических уровней, помеченных индексом i , каждый уровень имеет энергию ε _i   и содержит в общей сложности n _i   частиц. Предположим, что каждый уровень содержит g _i   различных подуровней, все из которых имеют одинаковую энергию и различимы. Например, две частицы могут иметь разные импульсы (т.е. их импульсы могут быть в разных направлениях), и в этом случае они отличны друг от друга, но при этом могут иметь одинаковую энергию. Значение g _i   , связанное с уровнем i , называется «вырождением» этого энергетического уровня. Принцип исключения Паули гласит, что только один фермион может занимать любой такой подуровень.

Число способов распределения n _i неразличимых частиц по g _i подуровням энергетического уровня, максимум одна частица на подуровень, определяется биномиальным коэффициентом , используя его комбинаторную интерпретацию

${\displaystyle w(n_{i},g_{i})={\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}\ .}$

Например, распределение двух частиц по трем подуровням даст число популяций 110, 101 или 011, всего тремя способами, что равно 3!/(2!1!).

Число способов реализации набора чисел заполнения n _i является произведением способов заполнения каждого отдельного энергетического уровня:

${\displaystyle W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}.}$

Следуя той же процедуре, которая использовалась при выводе статистики Максвелла-Больцмана , мы хотим найти набор n _i , для которого W максимизируется, при условии, что существует фиксированное число частиц и фиксированная энергия. Мы ограничиваем наше решение, используя множители Лагранжа , образующие функцию:

${\displaystyle f(n_{i})=\ln(W)+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right).}$

Используя приближение Стирлинга для факториалов, беря производную по n _i , устанавливая результат равным нулю и решая для ni _, получаем числа населения Ферми – Дирака:

${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}+1}}.}$

С помощью процесса, аналогичного тому, который описан в статье о статистике Максвелла – Больцмана , можно термодинамически показать, что и , так что, наконец, вероятность того, что состояние будет занято, равна: ${\textstyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}}$ ${\textstyle \alpha =-{\frac {\mu }{k_{\rm {B}}T}}}$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {n_{i}}{g_{i}}}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}.}$

Смотрите также

• Большой канонический ансамбль
• Принцип исключения Паули
• Полный интеграл Ферми-Дирака
• уровень Ферми
• Ферми-газ
• Статистика Максвелла – Больцмана
• Статистика Бозе – Эйнштейна
• Парастатистика
• Логистическая функция

Примечания

1. Распределение FD — это тип математической функции, называемой логистической функцией или сигмовидной функцией .
2. Обратите внимание, что это также вероятность того, что состояние занято, поскольку не более одного фермиона может одновременно занимать одно и то же состояние и . ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 0<{\bar {n}}_{i}<1}$
3. Эти распределения по энергиям, а не по состояниям, иногда также называют распределением Ферми – Дирака, но эта терминология не будет использоваться в этой статье.

Рекомендации

1. Ферми, Энрико (1926). «Sulla quantizzazione del gas perfetto monoatomico». Рендиконти Линчеи (на итальянском языке). 3 : 145–9., переведено как Заннони, Альберто (14 декабря 1999 г.). «О квантовании одноатомного идеального газа». arXiv : cond-mat/9912229 .
2. Дирак, Поль AM (1926). «К теории квантовой механики». Труды Королевского общества А. 112 (762): 661–77. Бибкод : 1926RSPSA.112..661D. дои : 10.1098/rspa.1926.0133 . JSTOR  94692.
3. (Киттель 1971, стр. 249–50)
4. «История науки: загадка встречи Бора и Гейзенберга в Копенгагене». Неделя науки . 4 (20). 19 мая 2000 г. OCLC  43626035. Архивировано из оригинала 11 апреля 2009 г. Проверено 20 января 2009 г.
5. Шюкинг (1999). «Джордан, Паули, Политика, Брехт и переменная гравитационная постоянная». Физика сегодня . 52 (10): 26. Бибкод : 1999PhT....52j..26S. дои : 10.1063/1.882858 .
6. Элерс; Шюкинг (2002). «Абер Джордан, война дер Эрсте». Физический журнал (на немецком языке). 1 (11): 71–72. hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5513-D.
7. Дирак, Поль AM (1967). Принципы квантовой механики (переработанное 4-е изд.). Лондон: Издательство Оксфордского университета. стр. 210–1. ISBN 978-0-19-852011-5.
8. Фаулер, Ральф Х. (декабрь 1926 г.). «О плотной материи». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 87 (2): 114–22. Бибкод : 1926MNRAS..87..114F. дои : 10.1093/mnras/87.2.114 .
9. Зоммерфельд, Арнольд (14 октября 1927). «Zur Elektronentheorie der Metalle» [К электронной теории металлов]. Naturwissenschaften (на немецком языке). 15 (41): 824–32. Бибкод : 1927NW.....15..825S. дои : 10.1007/BF01505083. S2CID  39403393.
10. Фаулер, Ральф Х .; Нордхейм, Лотар В. (1 мая 1928 г.). «Эмиссия электронов в интенсивных электрических полях». Труды Королевского общества А. 119 (781): 173–81. Бибкод : 1928RSPSA.119..173F. дои : 10.1098/rspa.1928.0091 . JSTOR  95023.
11. (Рейф 1965, стр. 341)
12. Ландау, Л.Д., и Лифшиц, Э.М. (2013). Статистическая физика: Том 5 (Том 5). Эльзевир.
13. (Блейкмор 2002, стр. 11)
14. Киттель, Чарльз ; Кремер, Герберт (1980). Теплофизика (2-е изд.). Сан-Франциско: WH Freeman. п. 357. ИСБН 978-0-7167-1088-2.
15. (Рейф 1965, стр. 340–342)
16. (Киттель 1971, стр. 245, рис. 4 и 5)
17. Пирсолл, Томас (2020). Квантовая фотоника, 2-е издание. Тексты для аспирантов по физике. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-030-47325-9. ISBN 978-3-030-47324-2.
18. (Рейф 1965, стр. 351) Уравнение. 9.7.7 где . ${\displaystyle \beta =1/k_{\rm {B}}T,\quad \alpha =-\mu /k_{\rm {B}}T,\quad {\frac {\partial {\bar {n}}_{i}}{\partial \epsilon _{i}}}=-{\frac {\partial {\bar {n}}_{i}}{\partial \mu }}}$
19. Лейтон, Роберт Б. (1959). Принципы современной физики . МакГроу-Хилл. п. 340. ИСБН 978-0-07-037130-9.Обратите внимание, что в уравнении (1) и соответствуют соответственно и в этой статье. См. также уравнение. (32) на стр. 339. ${\displaystyle n(\varepsilon )}$ ${\displaystyle n_{s}}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ ${\displaystyle {\bar {n}}(\varepsilon _{i})}$
20. (Блейкмор 2002, стр. 8)
21. (Рейф 1965, стр. 389)
22. (Рейф 1965, стр. 246–8)
23. Мукаи, Кодзи; Джим Лохнер (1997). «Спроси астрофизика». НАСА «Представьте Вселенную» . Центр космических полетов имени Годдарда НАСА. Архивировано из оригинала 18 января 2009 г.
24. Шривастава, РК; Ашок, Дж. (2005). "Глава 6". Статистическая механика . Нью-Дели : PHI Learning Pvt. ООО ISBN 9788120327825.
25. Катлер, М.; Мотт, Н. (1969). «Наблюдение локализации Андерсона в электронном газе». Физический обзор . 181 (3): 1336. Бибкод : 1969PhRv..181.1336C. дои : 10.1103/PhysRev.181.1336.
26. (Рейф 1965, стр. 203–6)
27. См., например, «Производная — определение через разностные коэффициенты» , которая дает аппроксимацию f(a+h) ≈ f(a) + f '(a) h .
28. (Рейф 1965, стр. 341–2). См. уравнение. 9.3.17 и Замечание относительно справедливости приближения .
29. По определению, антилог по основанию e числа A равен e ^A .
30. Мюллер-Кирстен, HJW (2013). Основы статистической физики (2-е изд.). Всемирная научная. ISBN 978-981-4449-53-3.
31. (Блейкмор 2002, стр. 343–5)

дальнейшее чтение

• Рейф, Ф. (1965). Основы статистической и теплофизики . МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-051800-1.
• Блейкмор, Дж. С. (2002). Статистика полупроводников. Дувр. ISBN 978-0-486-49502-6.
• Киттель, Чарльз (1971). Введение в физику твердого тела (4-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-14286-7. ОСЛК  300039591.