В топологии дискретное пространство является особенно простым примером топологического пространства или подобной структуры, в которой точки образуют прерывистую последовательность , то есть они в определенном смысле изолированы друг от друга. Дискретная топология — это лучшая топология, которая может быть задана на множестве. Каждое подмножество открыто в дискретной топологии, так что, в частности, каждое одноэлементное подмножество является открытым множеством в дискретной топологии.
Учитывая набор :
Метрическое пространство называется равномерно дискретным, если существуетрадиус упаковки такой, что для любого изних имеется либоили[1] Топология, лежащая в основе метрического пространства, может быть дискретной, при этом метрика не является равномерно дискретной: например, обычная метрика на множестве
Рассмотрим это множество, используя обычную метрику действительных чисел. Тогда это дискретное пространство, поскольку для каждой точки мы можем окружить его открытым интервалом , где Пересечение, следовательно, тривиально является одноэлементным. Поскольку пересечение открытого набора действительных чисел и открыто для индуцированной топологии, отсюда следует, что open, поэтому синглтоны открыты и представляют собой дискретное пространство.
Однако не может быть равномерно дискретным. Чтобы понять, почему, предположим, что существует такое, что всякий раз, когда достаточно показать, что существует по крайней мере две точки , которые находятся ближе друг к другу, чем Поскольку расстояние между соседними точками и есть, нам нужно найти, которое удовлетворяет этому неравенству:
Поскольку всегда существует большее, чем любое данное действительное число, из этого следует, что всегда будет как минимум две точки, которые находятся ближе друг к другу, чем любое положительное число, поэтому не являются равномерно дискретными.
Основная однородность дискретного метрического пространства — это дискретная однородность, а основная топология дискретного равномерного пространства — это дискретная топология. Таким образом, различные понятия дискретного пространства совместимы друг с другом. С другой стороны, основная топология недискретного равномерного или метрического пространства может быть дискретной; примером является метрическое пространство (с метрикой, унаследованной от реальной строки и заданной ). Это не дискретная метрика; кроме того, это пространство не является полным и, следовательно, не дискретным как однородное пространство. Тем не менее оно дискретно как топологическое пространство. Мы говорим, что оно топологически дискретно , но не является равномерно дискретным или метрически дискретным .
Кроме того:
Любая функция из дискретного топологического пространства в другое топологическое пространство непрерывна , а любая функция из дискретного равномерного пространства в другое равномерное пространство равномерно непрерывна . То есть дискретное пространство свободно на множестве в категории топологических пространств и непрерывных отображений или в категории равномерных пространств и равномерно непрерывных отображений. Эти факты являются примерами гораздо более широкого явления, при котором дискретные структуры обычно свободны на множествах.
С метрическими пространствами дела обстоят сложнее, поскольку существует несколько категорий метрических пространств в зависимости от того, что выбрано для морфизмов . Конечно, дискретное метрическое пространство является свободным, когда все морфизмы являются равномерно непрерывными отображениями или всеми непрерывными отображениями, но это не говорит ничего интересного о метрической структуре , а только о равномерной или топологической структуре. Категории, более соответствующие метрической структуре, можно найти, ограничив морфизмы липшицевыми непрерывными отображениями или короткими отображениями ; однако в этих категориях нет свободных объектов (более чем в одном элементе). Однако дискретное метрическое пространство свободно в категории ограниченных метрических пространств и липшицевых непрерывных отображений, а также свободно в категории метрических пространств, ограниченных единицей, и коротких отображений. То есть любая функция из дискретного метрического пространства в другое ограниченное метрическое пространство является непрерывной по Липшицу, а любая функция из дискретного метрического пространства в другое метрическое пространство, ограниченное единицей, является короткой.
В другом направлении функция из топологического пространства в дискретное пространство непрерывна тогда и только тогда, когда она локально постоянна в том смысле, что каждая точка в имеет постоянную окрестность .
Каждый ультрафильтр на непустом множестве может быть связан с топологией со свойством, что каждое непустое собственное подмножество является либо открытым подмножеством , либо закрытым подмножеством , но никогда и тем, и другим. Другими словами, каждое подмножество является открытым или закрытым, но (в отличие от дискретной топологии) единственными подмножествами , которые являются одновременно открытыми и закрытыми (т.е. clopen ), являются и . Для сравнения, каждое подмножество является открытым и закрытым в дискретной топологии.
Дискретная структура часто используется как «структура по умолчанию» в наборе, который не несет в себе никакой другой естественной топологии, однородности или метрики; дискретные структуры часто могут использоваться в качестве «крайних» примеров для проверки конкретных предположений. Например, любую группу можно рассматривать как топологическую группу , если придать ей дискретную топологию, подразумевая, что теоремы о топологических группах применимы ко всем группам. Действительно, аналитики могут называть обычные нетопологические группы, изучаемые алгебраистами, « дискретными группами ». В некоторых случаях это можно с пользой применить, например в сочетании с двойственностью Понтрягина . 0-мерное многообразие (или дифференцируемое или аналитическое многообразие) — это не что иное, как дискретное и счетное топологическое пространство (несчетное дискретное пространство не является счетным по второй раз). Поэтому мы можем рассматривать любую дискретную счетную группу как 0-мерную группу Ли .
Произведение счетных бесконечных копий дискретного пространства натуральных чисел гомеоморфно пространству иррациональных чисел с гомеоморфизмом, заданным разложением в цепную дробь . Произведение счетных бесконечных копий дискретного пространства гомеоморфно канторову множеству ; и фактически равномерно гомеоморфно множеству Кантора, если мы используем однородность произведения. Такой гомеоморфизм задается с помощью троичной записи чисел. (См. Канторово пространство .) Каждый слой локально инъективной функции обязательно является дискретным подпространством своей области определения .
В основах математики изучение свойств компактности произведений занимает центральное место в топологическом подходе к лемме об ультрафильтре (эквивалентно булевой теореме о простых идеалах ), которая является слабой формой аксиомы выбора .
В некотором смысле противоположностью дискретной топологии является тривиальная топология (также называемая недискретной топологией ), которая имеет наименьшее количество открытых множеств (только пустое множество и само пространство). Если дискретная топология является начальной или свободной, то недискретная топология является конечной или косвободной : каждая функция из топологического пространства в недискретное пространство непрерывна и т. д.