Золотой треугольник (математика)

Равнобедренный треугольник, в котором удвоенная сторона находится в золотом отношении к стороне основания.

Золотой треугольник. Отношение a/b является золотым сечением φ. Угол при вершине равен . Углы при основании равны 72° каждый. ${\displaystyle \theta =36^{\circ }}$

Золотой гномон с длинами сторон 1, 1 и . ${\displaystyle \phi }$

Золотой треугольник , также называемый возвышенным треугольником , ^[1] представляет собой равнобедренный треугольник , в котором удвоенная сторона находится в золотом отношении к стороне основания : ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {a \over b}=\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}\approx 1.618034~.}$

Углы

• Угол при вершине равен : ^[2]

${\displaystyle \theta =2\arcsin {b \over 2a}=2\arcsin {1 \over 2\varphi }=2\arcsin {{{\sqrt {5}}-1} \over 4}={\pi \over 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.}$

Следовательно, золотой треугольник является остроугольным (равнобедренным).

• Поскольку сумма углов треугольника равна радианам , каждый из углов при основании (CBX и CXB) равен: ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \beta ={{\pi -{\pi \over 5}} \over 2}~{\text{rad}}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72^{\circ }.}$^[1]

Примечание:

${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)\,{\text{rad}}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72^{\circ }.}$

• Золотой треугольник однозначно идентифицируется как единственный треугольник, три угла которого находятся в соотношении 1 : 2 : 2 (36°, 72°, 72°). ^[3]

В других геометрических фигурах

Золотой треугольник в правильном десятиугольнике.

• Золотые треугольники можно найти в вершинах правильных пентаграмм .
• Золотые треугольники также можно найти в правильном десятиугольнике , равноугольном и равностороннем десятистороннем многоугольнике , соединив любые две смежные вершины с центром. Это потому, что: 180(10−2)/10 = 144° — внутренний угол, и проведя его через вершину к центру пополам: 144/2 = 72°. ^[1]
• Кроме того, золотые треугольники встречаются в развертках нескольких звёздчатых форм додекаэдров и икосаэдров .

Логарифмическая спираль

Золотые треугольники, вписанные в логарифмическую спираль .

Золотой треугольник используется для формирования некоторых точек логарифмической спирали . При делении пополам одного из углов основания создается новая точка, которая, в свою очередь, образует еще один золотой треугольник. ^[4] Процесс деления пополам можно продолжать бесконечно, создавая бесконечное количество золотых треугольников. Логарифмическую спираль можно провести через вершины. Эта спираль также известна как равноугольная спираль, термин, введенный Рене Декартом . «Если провести прямую линию от полюса до любой точки кривой, она пересечет кривую под точно таким же углом», отсюда и равноугольная . ^[5] Эта спираль отличается от золотой спирали : золотая спираль растет в пропорции золотого сечения за каждую четверть оборота, тогда как спираль через эти золотые треугольники требует угла 108°, чтобы вырасти в той же пропорции. ^[6]

Золотой гномон

Золотой треугольник, разделенный на треугольники Робинсона: золотой треугольник и золотой гномон.

Золотой треугольник (красный), а также большой (синий) и маленький (зеленый) золотые гномоны в правильной пентаграмме.

С золотым треугольником тесно связан золотой гномон , представляющий собой равнобедренный треугольник, в котором отношение длин равных сторон к длине основания является обратной величиной золотого сечения . ${\displaystyle {\tfrac {1}{\varphi }}}$ ${\displaystyle \varphi }$

«Золотой треугольник имеет отношение длины основания к длине стороны, равное золотому сечению φ, тогда как золотой гномон имеет отношение длины стороны к длине основания, равное золотому сечению φ». ^[7]

${\displaystyle {a' \over b'}={1 \over \varphi }={{{\sqrt {5}}-1} \over 2}\approx 0.618034.}$

Углы

(Расстояния AX и CX равны a ′ = a = φ, а расстояние AC равно b ′ = φ², как показано на рисунке.)

• Угол при вершине AXC равен:

${\displaystyle \theta '=2\arcsin {b' \over {2a'}}=2\arcsin {{\varphi ^{2}} \over {2\varphi }}=2\arcsin {{1+{\sqrt {5}}} \over 4}={3\pi \over 5}~{\text{rad}}=108^{\circ }.}$

Следовательно, золотой гномон представляет собой тупоугольный (равнобедренный) треугольник.

${\displaystyle (}$Примечание: ${\displaystyle \theta '=\arccos \left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{4}}\right)\,{\text{rad}}={3\pi \over 5}~{\text{rad}}=108^{\circ }.)}$

• Поскольку сумма углов треугольника AXC равна радианам, каждый из углов при основании CAX и ACX равен: ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \beta '=\theta ={\pi -{3\pi \over 5} \over 2}~{\text{rad}}={\pi \over 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.}$

Примечание: ${\displaystyle \beta '=\theta =\arccos \left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\right)\,{\text{rad}}={\pi \over 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.}$

• Золотой гномон однозначно идентифицируется как треугольник, три угла которого находятся в соотношении 1 : 1 : 3 (36°, 36°, 108°). Его углы основания составляют 36° каждый, что совпадает с вершиной золотого треугольника.

Бисекции

• Разделив пополам один из углов основания, золотой треугольник можно разделить на золотой треугольник и золотой гномон.
• Путем трисекции угла при вершине золотой гномон можно разделить на золотой треугольник и золотой гномон.
• Золотой гномон и золотой треугольник, у которых равные стороны соответствуют друг другу по длине, также называются тупоугольным и остроугольным треугольниками Робинсона. ^[3]

Плитка

• Золотой треугольник и два золотых гномона образуют правильный пятиугольник . ^[8]
• Эти равнобедренные треугольники можно использовать для создания мозаик Пенроуза . Плитки Пенроуза сделаны из воздушных змеев и дротиков. Воздушный змей сделан из двух золотых треугольников, а дротик — из двух гномонов.

Смотрите также

• Золотой прямоугольник
• Золотой ромб
• Золотой треугольник Кимберлинга
• Треугольник Кеплера
• Лютня Пифагора
• Пентаграмма
• Золотой треугольник (композиция)

Ссылки

1. Элам, Кимберли (2001). Геометрия дизайна . Нью-Йорк: Princeton Architectural Press. ISBN 1-56898-249-6.
2. Weisstein, Eric W. "Золотой треугольник". mathworld.wolfram.com . Получено 26.12.2019 .
3. Tilings Encyclopedia. 1970. Архивировано из оригинала 24.05.2009.
4. Хантли, Х. Э. (1970). Божественная пропорция: исследование математической красоты . Нью-Йорк: Dover Publications Inc. ISBN 0-486-22254-3.
5. Ливио, Марио (2002). Золотое сечение: История Фи, самого удивительного числа в мире. Нью-Йорк: Broadway Books. ISBN 0-7679-0815-5.
6. Лёб, Артур Л.; Варни, Уильям (март 1992 г.). «Существует ли золотая спираль, и если нет, то где ее центр?». В Hargittai, Иштван; Пиковер, Клиффорд А. (ред.). Спиральная симметрия . World Scientific. стр. 47–61. doi :10.1142/9789814343084_0002.
7. Лёб, Артур (1992). Концепции и изображения: Визуальная математика. Бостон: Birkhäuser Boston. стр. 180. ISBN 0-8176-3620-X.
8. Weisstein, Eric W. "Golden Gnomon". mathworld.wolfram.com . Получено 26.12.2019 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Золотой треугольник». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Золотой гномон». MathWorld .
• Треугольники Робинсона в Tilings Encyclopedia
• Золотой треугольник по Евклиду
• Необычайная взаимность золотых треугольников в Тартапелаге Джорджо Пьетрокола