В геометрии мозаика размерности 2 (плоская мозаика) или выше, или многогранник размерности 3 ( многогранник ) или выше является изоэдральной или гране-транзитивной , если все его грани одинаковы. Более конкретно, все грани должны быть не просто конгруэнтными , но и транзитивными , т. е. должны лежать в пределах одной и той же орбиты симметрии . Другими словами, для любых двух граней A и B должна быть симметрия всей фигуры относительно переносов , вращений и/или отражений , которая отображает A на B. По этой причине выпуклые изоэдральные многогранники являются формами, которые будут делать честные игральные кости . [1]
Равногранные многогранники называются изоэдрами . Их можно описать конфигурацией граней . Равногранник имеет четное число граней.
Двойственный многограннику изоэдральный многогранник вершинно-транзитивен , т. е. изогонален. Каталоновые тела , бипирамиды и трапецоэдры являются изоэдральными. Они являются двойственными (изогональным) архимедовым телам , призмам и антипризмам соответственно. Платоновы тела , которые являются либо самодвойственными, либо двойственными с другим Платоновым телом, вершинно-, рёберно- и гранно-транзитивны (т. е. изогональны, изотоксальны и изоэдральны).
Форма, которая является изоэдральной, имеет регулярные вершины и также является транзитивной по ребрам (т. е. изотоксальной), называется квазирегулярной дуальной. Некоторые теоретики считают эти фигуры истинно квазирегулярными, поскольку они разделяют те же симметрии, но это не является общепринятым.
Многогранник, который является равногранным и изогональным, называется благородным .
Не все изозоноэдры [2] являются изоэдрическими. [3] Например, ромбический икосаэдр является изозоноэдром, но не изоэдром. [4]
Многогранник (или многогранник в общем случае) является k -изоэдральным , если он содержит k граней в пределах своих фундаментальных областей симметрии. [5] Аналогично, k -изоэдральная мозаика имеет k отдельных орбит симметрии (она может содержать m различных форм граней, для m = k или только для некоторых m < k ). [6] («1-изоэдральный» то же самое, что и «изоэдральный».)
Моноэдральный многогранник или моноэдральная мозаика ( m = 1) имеет конгруэнтные грани, либо прямо, либо зеркально, которые встречаются в одном или нескольких положениях симметрии. M - гранный многогранник или мозаика имеет m различных форм граней (« двугранный », « трехгранный »... то же самое, что «2-гранный», «3-гранный»... соответственно). [7]
Вот несколько примеров k -равногранных многогранников и мозаик, грани которых окрашены в соответствии с их k- симметрическими позициями:
Ячеечно -транзитивная или изохорная фигура — это n - политоп ( n ≥ 4) или n - сота ( n ≥ 3), ячейки которой конгруэнтны и транзитивны друг другу. В 3 измерениях катоптрические соты , двойственные однородным сотам, являются изохорными. В 4 измерениях изохорные многогранники были пронумерованы до 20 ячеек. [8]
Фасетно -транзитивная или изотопная фигура — это n -мерный многогранник или сота с конгруэнтными и транзитивными гранями (( n −1)- гранями ). Двойственный к изотопу многогранник — это изогональный многогранник. По определению, это изотопное свойство является общим для двойственных к однородным многогранникам многогранников .