Инвариант Ямабэ

В математике , в области дифференциальной геометрии , инвариант Ямабэ , также называемый сигма-константой , — это действительный числовой инвариант, связанный с гладким многообразием , который сохраняется при диффеоморфизмах . Впервые он был записан независимо О. Кобаяши и Р. Шоеном и получил свое название от Х. Ямабэ . Использовался Винсентом Монкриефом и Артуром Фишером для изучения редуцированного гамильтониана для уравнений Эйнштейна.

Определение

Пусть — компактное гладкое многообразие (без границы) размерности . Нормализованный функционал Эйнштейна–Гильберта сопоставляет каждой римановой метрике на действительном числе следующим образом: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(g)={\frac {\int _{M}R_{g}\,dV_{g}}{\left(\int _{M}\,dV_{g}\right)^{\frac {n-2}{n}}}},}$

где — скалярная кривизна , а — объёмная плотность , связанная с метрикой . Показатель степени в знаменателе выбран так, чтобы функционал был масштабно-инвариантным: для каждой положительной действительной константы он удовлетворяет . Мы можем думать об измерении средней скалярной кривизны по . Ямабэ предположил, что каждый конформный класс метрик содержит метрику постоянной скалярной кривизны (так называемая проблема Ямабэ ); Ямабэ, Трудингер , Обин и Шён доказали , что минимальное значение достигается в каждом конформном классе метрик, и, в частности, этот минимум достигается метрикой постоянной скалярной кривизны. ${\displaystyle R_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle dV_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(cg)={\mathcal {E}}(g)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(g)}$

Мы определяем

${\displaystyle Y(g)=\inf _{f}{\mathcal {E}}(e^{2f}g),}$

где инфимум берется по гладким действительным функциям на . Этот инфимум конечен (не ): неравенство Гёльдера подразумевает . Число иногда называют конформной энергией Ямабе (и оно постоянно на конформных классах). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle Y(g)\geq -\left(\textstyle \int _{M}|R_{g}|^{n/2}\,dV_{g}\right)^{2/n}}$ ${\displaystyle Y(g)}$ ${\displaystyle g}$

Сравнительный аргумент, предложенный Обином, показывает, что для любой метрики , ограничено сверху , где — стандартная метрика на -сфере . Отсюда следует, что если мы определим ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Y(g)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(g_{0})}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$

${\displaystyle \sigma (M)=\sup _{g}Y(g),}$

где супремум берется по всем метрикам на , тогда (и, в частности, конечно). Действительное число называется инвариантом Ямабэ для . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \sigma (M)\leq {\mathcal {E}}(g_{0})}$ ${\displaystyle \sigma (M)}$ ${\displaystyle M}$

Инвариант Ямабэ в двух измерениях

В случае , когда (так что M является замкнутой поверхностью ), функционал Эйнштейна–Гильберта задается выражением ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(g)=\int _{M}R_{g}\,dV_{g}=\int _{M}2K_{g}\,dV_{g},}$

где — гауссова кривизна g . Однако по теореме Гаусса–Бонне интеграл гауссовой кривизны определяется выражением , где — эйлерова характеристика M . В частности, это число не зависит от выбора метрики. Поэтому для поверхностей заключаем , что ${\displaystyle K_{g}}$ ${\displaystyle 2\pi \chi (M)}$ ${\displaystyle \chi (M)}$

${\displaystyle \sigma (M)=4\pi \chi (M).}$

Например, 2-сфера имеет инвариант Ямабэ, равный , а 2-тор имеет инвариант Ямабэ, равный нулю. ${\displaystyle 8\pi }$

Примеры

В конце 1990-х годов инвариант Ямабе был вычислен для больших классов 4-многообразий Клодом Лебреном и его коллегами. В частности, было показано, что большинство компактных комплексных поверхностей имеют отрицательный, точно вычислимый инвариант Ямабе, и что любая метрика Кэлера–Эйнштейна отрицательной скалярной кривизны реализует инвариант Ямабе в размерности 4. Было также показано, что инвариант Ямабе реализуется метрикой Фубини–Штуди и, таким образом, меньше, чем у 4-сферы. Большинство этих аргументов связаны с теорией Зайберга–Виттена и, таким образом, специфичны для размерности 4. ${\displaystyle CP^{2}}$

Важный результат Питана гласит, что если односвязно и имеет размерность , то . В свете решения Перельмана гипотезы Пуанкаре следует, что односвязное -многообразие может иметь отрицательный инвариант Ямабе, только если . С другой стороны, как уже было указано, односвязные -многообразия на самом деле часто имеют отрицательные инварианты Ямабе. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n\geq 5}$ ${\displaystyle \sigma (M)\geq 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle 4}$

Ниже приведена таблица некоторых гладких многообразий размерности три с известным инвариантом Ямабэ. В размерности 3 число равно и часто обозначается . ${\displaystyle {\mathcal {E}}(g_{0})}$ ${\displaystyle 6(2\pi ^{2})^{2/3}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$

Согласно аргументу Андерсона, результаты Перельмана о потоке Риччи подразумевают, что метрика постоянной кривизны на любом гиперболическом 3-многообразии реализует инвариант Ямабе. Это дает нам бесконечно много примеров 3-многообразий, для которых инвариант одновременно отрицателен и точно вычислим.

Топологическое значение

Знак инварианта Ямабэ содержит важную топологическую информацию. Например, является положительным тогда и только тогда, когда допускает метрику положительной скалярной кривизны. ^[2] Значимость этого факта в том, что многое известно о топологии многообразий с метриками положительной скалярной кривизны. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \sigma (M)}$ ${\displaystyle M}$

Смотрите также

• Ямабэ поток
• проблема Ямабэ
• Теорема Обаты

Примечания

1. См. Шен, стр. 135.
2. Акутагава и др., стр. 73

Ссылки

• MT Anderson , «Канонические метрики на 3-многообразиях и 4-многообразиях», Asian J. Math. 10 127–163 (2006).
• К. Акутагава, М. Ишида и К. Лебрен, «Инвариант Перельмана, поток Риччи и инварианты Ямабэ гладких многообразий», Arch. Math. 88 , 71–76 (2007).
• Х. Брей и А. Невес, «Классификация простых 3-многообразий с инвариантом Ямабэ, большим, чем », Ann. of Math. 159 , 407–424 (2004). ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{3}}$
• М. Дж. Гурски и К. Лебрен, «Инварианты и структуры Ямабэ», Geom. Funct. Anal. 8 965–977 (1998). ${\displaystyle Spin^{c}}$
• О. Кобаяши, «Скалярная кривизна метрики с единичным объемом», Math. Ann. 279 , 253–265, 1987.
• C. LeBrun, «Четырехмерные многообразия без метрик Эйнштейна», Math. Res. Lett. 3 133–147 (1996).
• К. Лебрен, «Измерение Кодайры и проблема Ямабе», Сообщение. Анальный. Геом. 7 133–156 (1999).
• J. Petean, «Инвариант Ямабе односвязных многообразий», J. Reine Angew. Math. 523 225–231 (2000).
• Р. Шен, «Вариационная теория для функционала полной скалярной кривизны для римановых метрик и смежные темы», Темы вариационного исчисления , Lect. Notes Math. 1365 , Springer, Berlin, 120–154, 1989.