Действие Эйнштейна–Гильберта

Концепция общей теории относительности

Действие Эйнштейна–Гильберта в общей теории относительности — это действие , которое приводит к уравнениям поля Эйнштейна через принцип стационарного действия . С метрической сигнатурой (− + + +) гравитационная часть действия задается как ^[1]

${\displaystyle S={1 \over 2\kappa }\int R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x,}$

где — определитель матрицы метрического тензора , — скаляр Риччи , — гравитационная постоянная Эйнштейна ( — гравитационная постоянная , — скорость света в вакууме). Если сходится, то интеграл берется по всему пространству-времени . Если не сходится, то уже не является хорошо определенным, но модифицированное определение, в котором интегрирование выполняется по произвольно большим, относительно компактным областям, все еще дает уравнение Эйнштейна как уравнение Эйлера–Лагранжа действия Эйнштейна–Гильберта. Действие было предложено ^[2] Дэвидом Гильбертом в 1915 году как часть его применения вариационного принципа к комбинации гравитации и электромагнетизма. ^{[3] : 119} ${\displaystyle g=\det(g_{\mu \nu })}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \kappa =8\pi Gc^{-4}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S}$

Обсуждение

Вывод уравнений движения из действия имеет несколько преимуществ. Во-первых, он позволяет легко объединить общую теорию относительности с другими классическими теориями поля (такими как теория Максвелла ), которые также формулируются в терминах действия. В процессе вывод определяет естественного кандидата на исходный член, связывающий метрику с полями материи. Более того, симметрии действия позволяют легко идентифицировать сохраняющиеся величины с помощью теоремы Нётер .

В общей теории относительности действие обычно предполагается функционалом метрики (и полей материи), а связь задается связью Леви-Чивиты . Формулировка Палатини общей теории относительности предполагает, что метрика и связь независимы и изменяются относительно обеих независимо, что позволяет включать фермионные поля материи с нецелым спином.

Уравнения Эйнштейна в присутствии материи получаются путем добавления действия материи к действию Эйнштейна–Гильберта.

Вывод уравнений поля Эйнштейна

Предположим, что полное действие теории задается членом Эйнштейна–Гильберта плюс членом, описывающим любые поля материи, появляющиеся в теории. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$

Принцип стационарного действия тогда говорит нам, что для восстановления физического закона мы должны потребовать, чтобы вариация этого действия относительно обратной метрики была равна нулю, что дает

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\delta S\\&=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}{\frac {\delta \left({\sqrt {-g}}R\right)}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {\delta \left({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right)}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}\left({\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\right)+{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta \left({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right)}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}}$.

Поскольку это уравнение должно выполняться для любой вариации , это означает, что ${\displaystyle \delta g^{\mu \nu }}$

— уравнение движения метрического поля. Правая часть этого уравнения (по определению) пропорциональна тензору энергии-импульса , ^[4]

${\displaystyle T_{\mu \nu }:={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$.

Для вычисления левой части уравнения нам нужны вариации скаляра Риччи и определителя метрики. Их можно получить с помощью стандартных вычислений из учебника, таких как приведенное ниже, которое в значительной степени основано на приведенном в Кэрролле (2004). ^[5] ${\displaystyle R}$

Вариация скаляра Риччи

Изменение скаляра Риччи следует из изменения тензора кривизны Римана , а затем тензора кривизны Риччи .

Первый шаг зафиксирован в идентичности Палатини

${\displaystyle \delta R_{\sigma \nu }\equiv \delta {R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }=\nabla _{\rho }\left(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }\right)-\nabla _{\nu }\left(\delta \Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }\right)}$.

Используя правило произведения, вариация скаляра Риччи становится ${\displaystyle R=g^{\sigma \nu }R_{\sigma \nu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta R&=R_{\sigma \nu }\delta g^{\sigma \nu }+g^{\sigma \nu }\delta R_{\sigma \nu }\\&=R_{\sigma \nu }\delta g^{\sigma \nu }+\nabla _{\rho }\left(g^{\sigma \nu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-g^{\sigma \rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\mu }\right),\end{aligned}}}$

где мы также использовали метрическую совместимость и переименовали индексы суммирования в последнем члене. ${\displaystyle \nabla _{\sigma }g^{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle (\rho ,\nu )\rightarrow (\mu ,\rho )}$

При умножении на этот член становится полной производной , поскольку для любого вектора и любой плотности тензора мы имеем ${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$ ${\displaystyle \nabla _{\rho }\left(g^{\sigma \nu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-g^{\sigma \rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\mu }\right)}$ ${\displaystyle A^{\lambda }}$ ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,A^{\lambda }}$

${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,A_{;\lambda }^{\lambda }=\left({\sqrt {-g}}\,A^{\lambda }\right)_{;\lambda }=\left({\sqrt {-g}}\,A^{\lambda }\right)_{,\lambda }}$или . ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,\nabla _{\mu }A^{\mu }=\nabla _{\mu }\left({\sqrt {-g}}\,A^{\mu }\right)=\partial _{\mu }\left({\sqrt {-g}}\,A^{\mu }\right)}$

По теореме Стокса это дает только граничный член при интегрировании. Граничный член в общем случае не равен нулю, поскольку подынтегральное выражение зависит не только от , но и от его частных производных ; подробности см. в статье Гиббонса–Хокинга–Йорка граничный член . Однако, когда вариация метрики исчезает в окрестности границы или когда границы нет, этот член не вносит вклад в вариацию действия. Таким образом, мы можем забыть об этом члене и просто получить ${\displaystyle \delta g^{\mu \nu },}$ ${\displaystyle \partial _{\lambda }\,\delta g^{\mu \nu }\equiv \delta \,\partial _{\lambda }g^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \delta g^{\mu \nu }}$

на мероприятиях, не связанных с закрытием границы.

Вариация определителя

Формула Якоби , правило дифференцирования определителя , дает:

${\displaystyle \delta g=\delta \det(g_{\mu \nu })=gg^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }}$,

или можно преобразовать в систему координат, где диагональ, а затем применить правило произведения для дифференциации произведения факторов на главной диагонали. Используя это, мы получаем ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle \delta {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2{\sqrt {-g}}}}\delta g={\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}\left(g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }\right)=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}\left(g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }\right)}$

В последнем равенстве мы использовали тот факт, что

${\displaystyle g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }}$

что следует из правила дифференцирования обратной матрицы

${\displaystyle \delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \alpha }\left(\delta g_{\alpha \beta }\right)g^{\beta \nu }}$.

Таким образом, мы приходим к выводу, что

Уравнение движения

Теперь, когда в нашем распоряжении есть все необходимые вариации, мы можем вставить ( 3 ) и ( 4 ) в уравнение движения ( 2 ) для метрического поля, чтобы получить

что является уравнениями поля Эйнштейна , и

${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$

был выбран таким образом, что нерелятивистский предел приводит к обычной форме закона тяготения Ньютона , где — гравитационная постоянная ( подробности см. здесь ). ${\displaystyle G}$

Космологическая постоянная

Когда космологическая постоянная Λ включена в лагранжиан , действие:

${\displaystyle S=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right]{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$

Принимая во внимание вариации относительно обратной метрики:

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S&=\int \left[{\frac {\sqrt {-g}}{2\kappa }}{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{2\kappa }}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}-{\frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\sqrt {-g}}{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{2\kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}-{\frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}}$

Используя принцип действия :

${\displaystyle 0=\delta S={\frac {1}{2\kappa }}{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{2\kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}-{\frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}}$

Объединяя это выражение с полученными ранее результатами:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}&=R_{\mu \nu }\\{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}&={\frac {-g_{\mu \nu }}{2}}\\T_{\mu \nu }&={\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }g_{\mu \nu }-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}\end{aligned}}}$

Мы можем получить:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2\kappa }}R_{\mu \nu }+{\frac {R}{2\kappa }}{\frac {-g_{\mu \nu }}{2}}-{\frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {-g_{\mu \nu }}{2}}+\left({\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }{\frac {-g_{\mu \nu }}{2}}\right)&=0\\R_{\mu \nu }-{\frac {R}{2}}g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }+\kappa \left(2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}-{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }g_{\mu \nu }\right)&=0\\R_{\mu \nu }-{\frac {R}{2}}g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }-\kappa T_{\mu \nu }&=0\end{aligned}}}$

При этом выражение становится уравнениями поля с космологической постоянной : ${\textstyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }.}$

Смотрите также

• Тензор Белинфанте–Розенфельда
• Теория Бранса–Дикке (в которой константа k заменяется скалярным полем).
• Теория Эйнштейна–Картана
• f(R) гравитация (в которой скаляр Риччи заменяется функцией кривизны Риччи)
• Пограничный термин Гиббонса–Хокинга–Йорка
• Теория Калуцы–Клейна
• суперпотенциал Комара
• Действие Палатини
• Телепараллелизм
• Действие тетрадического Палатини
• Вариационные методы в общей теории относительности
• Теорема Вермейля

Примечания

1. Фейнман, Ричард П. (1995). Лекции Фейнмана по гравитации . Эддисон-Уэсли. стр. 136, ур. (10.1.2). ISBN 0-201-62734-5.
2. Гильберт, Дэвид (1915), «Die Grundlagen der Physik» [Основы физики], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse (на немецком языке), 3 : 395–407
3. Mehra, Jagdish (1987). "Эйнштейн, Гильберт и теория гравитации". В Mehra, Jagdish (ред.). Концепция природы физика (переиздание ред.). Dordrecht: Reidel. ISBN 978-90-277-2536-3.
4. Блау, Маттиас (27 августа 2024 г.), Конспект лекций по общей теории относительности (PDF) , стр. 207
5. Кэрролл, Шон М. (2004), Пространство-время и геометрия: Введение в общую теорию относительности , Сан-Франциско: Addison-Wesley, ISBN 978-0-8053-8732-2

Библиография

• Мизнер, Чарльз В .; Торн, Кип. С.; Уиллер , Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
• Уолд, Роберт М. (1984), Общая теория относительности , Издательство Чикагского университета, ISBN 978-0-226-87033-5
• Кэрролл, Шон М. (2004), Пространство-время и геометрия: Введение в общую теорию относительности , Сан-Франциско: Addison-Wesley, ISBN 978-0-8053-8732-2
• Гильберт, Д. (1915) Die Grundlagen der Physik (немецкий оригинал бесплатно) (английский перевод за 25 долларов), Konigl. Гезелл. д. Висс. Геттинген, Нахр. Матем.-Физ. кл. 395-407
• Соколов, ДД (2001) [1994], "Космологическая постоянная", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Фейнман, Ричард П. (1995), Лекции Фейнмана по гравитации , Эддисон-Уэсли, ISBN 0-201-62734-5
• Лекция 33 Кристофера М. Хираты: Лагранжева формулировка ОТО (27 апреля 2012 г.).