Плотность тензора

Обобщение тензорных полей

В дифференциальной геометрии тензорная плотность или относительный тензор является обобщением концепции тензорного поля . Тензорная плотность преобразуется как тензорное поле при переходе из одной системы координат в другую (см. тензорное поле ), за исключением того, что она дополнительно умножается или взвешивается на степень W определителя Якоби функции перехода координат или ее абсолютного значения. Тензорная плотность с одним индексом называется векторной плотностью . Различают (подлинные) тензорные плотности, псевдотензорные плотности, четные тензорные плотности и нечетные тензорные плотности. Иногда тензорные плотности с отрицательным весом W называют тензорной емкостью. ^{[1] [2] [3]} Тензорную плотность можно также рассматривать как сечение тензорного произведения тензорного расслоения на расслоение плотности .

Мотивация

В физике и смежных областях часто бывает полезно работать с компонентами алгебраического объекта, а не с самим объектом. Примером может служить разложение вектора на сумму базисных векторов, взвешенных некоторыми коэффициентами, например, где — вектор в трехмерном евклидовом пространстве , — обычные стандартные базисные векторы в евклидовом пространстве. Обычно это необходимо для вычислительных целей и часто может быть полезным, когда алгебраические объекты представляют собой сложные абстракции, но их компоненты имеют конкретные интерпретации. Однако при такой идентификации нужно внимательно отслеживать изменения базиса, в котором разлагается величина; в ходе вычисления может оказаться целесообразным изменить базис , в то время как вектор остается фиксированным в физическом пространстве. В более общем смысле, если алгебраический объект представляет собой геометрический объект, но выражается в терминах определенного базиса, то необходимо при изменении базиса также изменить представление. Физики часто называют это представление геометрического объекта тензором , если он преобразуется под действием последовательности линейных отображений при линейном изменении базиса (хотя, что сбивает с толку, другие называют базовый геометрический объект, который не изменился при преобразовании координат, «тензором», соглашение, которого эта статья строго избегает). В общем, существуют представления, которые преобразуются произвольным образом в зависимости от того, как геометрический инвариант реконструируется из представления. В некоторых особых случаях удобно использовать представления, которые преобразуются почти как тензоры, но с дополнительным нелинейным фактором в преобразовании. Прототипическим примером является матрица, представляющая векторное произведение (площадь натянутого параллелограмма) на Представление задается в стандартном базисе по формуле $${\displaystyle {\vec {v}}=c_{1}{\vec {e}}_{1}+c_{2}{\vec {e}}_{2}+c_{3}{\vec {e}}_{3}}$$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} ^{1}{\text{ and }}{\vec {e}}_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ $${\displaystyle {\vec {u}}\times {\vec {v}}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}=u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}$$

Если мы теперь попытаемся выразить это же выражение в базисе, отличном от стандартного, то компоненты векторов изменятся, скажем, в соответствии с , где — некоторая матрица действительных чисел размером 2 на 2. Учитывая, что площадь натянутого параллелограмма является геометрическим инвариантом, она не могла измениться при изменении базиса, и поэтому новое представление этой матрицы должно быть: которое при расширении является просто исходным выражением, но умноженным на определитель которого также является Фактически это представление можно было бы рассматривать как преобразование тензора с двумя индексами, но вместо этого вычислительно проще рассматривать правило преобразования тензора как умножение на, а не как 2 умножения матриц (На самом деле в более высоких измерениях естественным расширением этого являются умножения матриц, что для больших является совершенно неосуществимым). Объекты, которые преобразуются таким образом, называются тензорными плотностями , потому что они естественным образом возникают при рассмотрении задач, касающихся площадей и объемов, и поэтому часто используются при интегрировании. ${\textstyle {\begin{bmatrix}u'_{1}&u'_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}=A{\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \left(A^{-1}\right)^{\textsf {T}}{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}A^{-1}}$$ ${\displaystyle A^{-1},}$ ${\textstyle {\frac {1}{\det A}}.}$ ${\textstyle {\frac {1}{\det A}},}$ ${\displaystyle n,n\times n}$ ${\displaystyle n}$

Определение

Некоторые авторы классифицируют тензорные плотности на два типа, называемые в этой статье (подлинными) тензорными плотностями и псевдотензорными плотностями. Другие авторы классифицируют их по-другому, на типы, называемые четными тензорными плотностями и нечетными тензорными плотностями. Когда вес тензорной плотности является целым числом, между этими подходами существует эквивалентность, которая зависит от того, является ли целое число четным или нечетным.

Обратите внимание, что эти классификации проливают свет на различные способы, которыми тензорные плотности могут трансформироваться несколько патологически при преобразованиях координат, обращающих ориентацию . Независимо от их классификации по этим типам, существует только один способ, которым тензорные плотности трансформируются при преобразованиях координат, сохраняющих ориентацию .

В этой статье мы выбрали соглашение, которое присваивает вес +2 , определителю метрического тензора, выраженному с помощью ковариантных индексов. При таком выборе классические плотности, такие как плотность заряда, будут представлены тензорными плотностями веса +1. Некоторые авторы используют соглашение о знаках для весов, которое является отрицанием представленного здесь. ^[4] ${\displaystyle g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)}$

В отличие от значения, используемого в этой статье, в общей теории относительности « псевдотензор » иногда означает объект, который не преобразуется как тензор или относительный тензор любого веса.

Тензорные и псевдотензорные плотности

Например, смешанная тензорная плотность веса второго ранга (подлинная) преобразуется как: ^{[5] [6]} ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,,}$     ((подлинная) тензорная плотность (целого) веса W )

где — плотность тензора второго ранга в системе координат, — преобразованная плотность тензора в системе координат; и мы используем определитель Якоби . Поскольку определитель может быть отрицательным, что является таковым для преобразования координат, меняющего ориентацию, эта формула применима только тогда, когда — целое число. (Однако см. четные и нечетные плотности тензора ниже.) ${\displaystyle {\bar {\mathfrak {T}}}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ ${\displaystyle {x}}$ ${\displaystyle W}$

Мы говорим, что тензорная плотность является псевдотензорной плотностью, когда есть дополнительная смена знака при изменении ориентации координат. Смешанная псевдотензорная плотность веса второго ранга преобразуется как ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\operatorname {sgn} \left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)\left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,,}$     (псевдотензорная плотность (целого) веса W )

где sgn ( ) ${\displaystyle \cdot }$ — функция, которая возвращает +1, если ее аргумент положительный, или −1, если ее аргумент отрицательный.

Четные и нечетные плотности тензоров

Преобразования для четных и нечетных тензорных плотностей имеют то преимущество, что они хорошо определены даже когда не является целым числом. Таким образом, можно говорить, скажем, о нечетной тензорной плотности веса +2 или четной тензорной плотности веса −1/2. ${\displaystyle W}$

Когда — четное целое число, приведенную выше формулу для (подлинной) тензорной плотности можно переписать как ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,.}$     (четная тензорная плотность веса W )

Аналогично, когда — нечетное целое число, формулу для (подлинной) плотности тензора можно переписать как ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\operatorname {sgn} \left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,.}$     (нечетная тензорная плотность веса W )

Веса нуля и единицы

Тензорная плотность любого типа, имеющая нулевой вес, также называется абсолютным тензором . (Четная) аутентичная тензорная плотность нулевого веса также называется обычным тензором .

Если вес не указан, но в контексте, где требуется конкретный вес, используются слова «относительный» или «плотность», обычно предполагается, что вес равен +1.

Алгебраические свойства

1. Линейная комбинация (также известная как взвешенная сумма ) тензорных плотностей одного типа и веса снова является тензорной плотностью этого типа и веса. ${\displaystyle W}$
2. Произведение двух тензорных плотностей любых типов, а также с весами и , есть тензорная плотность веса ${\displaystyle W_{1}}$ ${\displaystyle W_{2}}$ ${\displaystyle W_{1}+W_{2}.}$

   Произведение аутентичных тензорных плотностей и псевдотензорных плотностей будет аутентичной тензорной плотностью, когда четное число факторов являются псевдотензорными плотностями; это будет псевдотензорная плотность, когда нечетное число факторов являются псевдотензорными плотностями. Аналогично, произведение четных тензорных плотностей и нечетных тензорных плотностей будет четной тензорной плотностью, когда четное число факторов являются нечетными тензорными плотностями; это будет нечетная тензорная плотность, когда нечетное число факторов являются нечетными тензорными плотностями.

3. Свертка индексов по тензорной плотности с весом снова дает тензорную плотность веса ^[7] ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W.}$
4. Используя (2) и (3), можно увидеть, что повышение и понижение индексов с использованием метрического тензора (вес 0) оставляет вес неизменным. ^[8]

Обращение матрицы и определитель матрицы тензорных плотностей

Если — невырожденная матрица и тензорная плотность веса ранга два с ковариантными индексами, то ее обратная матрица будет тензорной плотностью веса ранга два − с контравариантными индексами. Аналогичные утверждения применимы, когда два индекса контравариантны или смешанно ковариантны и контравариантны. ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

Если — тензорная плотность веса второго ранга с ковариантными индексами, то определитель матрицы будет иметь вес , где — число измерений пространства-времени. Если — тензорная плотность веса второго ранга с контравариантными индексами, то определитель матрицы будет иметь вес Определитель матрицы будет иметь вес ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \det {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle NW+2,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {T}}^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \det {\mathfrak {T}}^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle NW-2.}$ ${\displaystyle \det {\mathfrak {T}}_{~\beta }^{\alpha }}$ ${\displaystyle NW.}$

Общая теория относительности

Связь определителя Якоби и метрического тензора

Любой невырожденный обыкновенный тензор преобразуется как ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ $${\displaystyle T_{\mu \nu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\kappa }}{\partial {x}^{\mu }}}{\bar {T}}_{\kappa \lambda }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\lambda }}{\partial {x}^{\nu }}}\,,}$$

где правая часть может рассматриваться как произведение трех матриц. Взяв определитель обеих сторон уравнения (используя то, что определитель произведения матриц является произведением определителей), разделив обе стороны на и извлекая их квадратный корень, получаем ${\displaystyle \det \left({\bar {T}}_{\kappa \lambda }\right),}$ $${\displaystyle \left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ={\sqrt {\frac {\det({T}_{\mu \nu })}{\det \left({\bar {T}}_{\kappa \lambda }\right)}}}\,.}$$

Когда тензор является метрическим тензором , и является локально инерциальной системой координат, где diag(−1,+1,+1,+1), метрикой Минковского , то −1 и так далее. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {g}_{\kappa \lambda },}$ ${\displaystyle {\bar {x}}^{\iota }}$ ${\displaystyle {\bar {g}}_{\kappa \lambda }=\eta _{\kappa \lambda }=}$  ${\displaystyle \det \left({\bar {g}}_{\kappa \lambda }\right)=\det(\eta _{\kappa \lambda })=}$  $${\displaystyle \left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ={\sqrt {-{g}}}\,,}$$

где — определитель метрического тензора ${\displaystyle {g}=\det \left({g}_{\mu \nu }\right)}$ ${\displaystyle {g}_{\mu \nu }.}$

Использование метрического тензора для манипулирования тензорными плотностями

Следовательно, четную плотность тензора веса W можно записать в виде ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots },}$ $${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,,}$$

где — обычный тензор. В локально-инерциальной системе координат, где будет иметь место, что и будут представлены теми же числами. ${\displaystyle T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,}$ ${\displaystyle g_{\kappa \lambda }=\eta _{\kappa \lambda },}$ ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }}$ ${\displaystyle T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,}$

При использовании метрической связи ( связи Леви-Чивиты ) ковариантная производная четной тензорной плотности определяется как $${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots ;\alpha }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}T_{\nu \dots ;\alpha }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}\left({\sqrt {-g}}\;^{-W}{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }\right)_{;\alpha }\,.}$$

Для произвольной связи ковариантная производная определяется путем добавления дополнительного члена, а именно к выражению, которое было бы уместно для ковариантной производной обычного тензора. $${\displaystyle -W\,\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }\,{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }}$$

Эквивалентно, правило произведения соблюдается $${\displaystyle \left({\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }{\mathfrak {S}}_{\tau \dots }^{\sigma \dots }\right)_{;\alpha }=\left({\mathfrak {T}}_{\nu \dots ;\alpha }^{\mu \dots }\right){\mathfrak {S}}_{\tau \dots }^{\sigma \dots }+{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }\left({\mathfrak {S}}_{\tau \dots ;\alpha }^{\sigma \dots }\right)\,,}$$

где для метрической связи ковариантная производная любой функции всегда равна нулю, ${\displaystyle g_{\kappa \lambda }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\kappa \lambda ;\alpha }&=0\\\left({\sqrt {-g}}\;^{W}\right)_{;\alpha }&=\left({\sqrt {-g}}\;^{W}\right)_{,\alpha }-W\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }{\sqrt {-g}}\;^{W}={\frac {W}{2}}g^{\kappa \lambda }g_{\kappa \lambda ,\alpha }{\sqrt {-g}}\;^{W}-W\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }{\sqrt {-g}}\;^{W}=0\,.\end{aligned}}}$$

Примеры

Выражение представляет собой скалярную плотность. По правилам этой статьи оно имеет вес +1. ${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$

Плотность электрического тока (например, это количество электрического заряда, пересекающего элемент объёма 3, делённое на этот элемент — не используйте метрику в этом вычислении) является контравариантной векторной плотностью веса +1. Её часто записывают как или где и дифференциальная форма — абсолютные тензоры, а где — символ Леви-Чивиты ; см. ниже. ${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{\mu }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{2}}$ ${\displaystyle dx^{3}\,dx^{4}\,dx^{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{\mu }=J^{\mu }{\sqrt {-g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{\mu }=\varepsilon ^{\mu \alpha \beta \gamma }{\mathcal {J}}_{\alpha \beta \gamma }/3!,}$ ${\displaystyle J^{\mu }\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{\alpha \beta \gamma }}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{\mu \alpha \beta \gamma }}$

Плотность силы Лоренца (то есть линейный импульс, переданный от электромагнитного поля материи в пределах элемента объёма 4, делённый на этот элемент — не используйте метрику в этом расчёте) является ковариантной векторной плотностью веса +1. ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{\mu }}$ ${\displaystyle dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}\,dx^{4}}$

В N -мерном пространстве-времени символ Леви-Чивиты можно рассматривать либо как ковариантную (нечетную) аутентичную тензорную плотность ранга N веса −1 ( ε _{α 1 ⋯ α N} ), либо как контравариантную (нечетную) аутентичную тензорную плотность ранга N веса +1 ( ε ^{α ₁ ⋯ α _N} ). Обратите внимание, что символ Леви-Чивиты (рассматриваемый таким образом) не подчиняется обычному соглашению о повышении или понижении индексов с метрическим тензором. То есть верно, что но в общей теории относительности, где всегда отрицательно, это никогда не равно $${\displaystyle \varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\,g_{\alpha \kappa }\,g_{\beta \lambda }\,g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }\,=\,\varepsilon _{\kappa \lambda \mu \nu }\,g\,,}$$ ${\displaystyle g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\kappa \lambda \mu \nu }.}$

Определитель метрического тензора — это (четная) аутентичная скалярная плотность веса +2, являющаяся сверткой произведения двух (нечетных) аутентичных тензорных плотностей веса +1 и четырех (четных) аутентичных тензорных плотностей веса 0. $${\displaystyle g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)={\frac {1}{4!}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }\,,}$$

Смотрите также

• Действие (физика)  – Физическая величина размерности энергия × время
• Закон сохранения  – Научный закон, касающийся сохранения физического свойства.
• Теорема Нётер  – Утверждение, связывающее дифференцируемые симметрии с сохраняющимися величинами.
• Псевдотензор  – Тип физической величины
• Относительный скаляр
• Вариационный принцип  – Научные принципы, позволяющие использовать вариационное исчисление.

Примечания

1. Вайнрайх, Габриэль (6 июля 1998 г.). Геометрические векторы . Издательство Чикагского университета. С. 112, 115. ISBN 978-0226890487.
2. Папаставридис, Джон Г. (18 декабря 1998 г.). Тензорное исчисление и аналитическая динамика . CRC Press . ISBN 978-0849385148.
3. Руис-Толоса, Кастильо, Хуан Р., Энрике (30 марта 2006 г.). От векторов к тензорам . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3540228875.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Например, Вайнберг 1972, стр. 98. Выбранное соглашение включает в формулы ниже определитель Якоби обратного перехода x → x , в то время как противоположное соглашение рассматривает прямой переход x → x, приводящий к изменению знака веса.
5. MR Spiegel; S. Lipcshutz; D. Spellman (2009). Векторный анализ (2-е изд.). Нью-Йорк: Schaum's Outline Series. стр. 198. ISBN 978-0-07-161545-7.
6. CB Parker (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2-е изд.). McGraw-Hill. стр. 1417. ISBN 0-07-051400-3.
7. Вайнберг 1972 стр. 100.
8. Вайнберг 1972 стр. 100.

Ссылки

• Спивак, Майкл (1999), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию, т. I (3-е изд.), стр. 134.
• Купцов, Л.П. (2001) [1994], «Тензорная плотность», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС.
• Чарльз Мизнер ; Кип С. Торн и Джон Арчибальд Уилер (1973). Гравитация . WH Freeman . стр. 501ff. ISBN 0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Вайнберг, Стивен (1972), Гравитация и космология, John Wiley & sons, Inc, ISBN 0-471-92567-5