Инвариант кривизны (общая теория относительности)

В общей теории относительности инварианты кривизны представляют собой набор скаляров, образованных из тензоров Римана , Вейля и Риччи , которые представляют кривизну , отсюда и название, а также возможные операции над ними, такие как сокращение , ковариантное дифференцирование и дуализация .

Определенные инварианты, образованные из этих тензоров кривизны, играют важную роль в классификации пространств-времен . Инварианты на самом деле менее эффективны для различения локально неизометричных лоренцевских многообразий , чем для римановых многообразий . Это означает, что они более ограничены в своих приложениях, чем для многообразий, наделенных положительно определенным метрическим тензором .

Главные инварианты

Основными инвариантами тензоров Римана и Вейля являются некоторые квадратичные полиномиальные инварианты (т. е. суммы квадратов компонент).

Главными инвариантами тензора Римана четырехмерного лоренцева многообразия являются

1. скаляр Кречмана ${\displaystyle K_{1}=R_{abcd}\,R^{abcd}}$
2. скаляр Черна –Понтрягина ${\displaystyle K_{2}={{}^{\star }R}_{abcd}\,R^{abcd}}$
3. скаляр Эйлера ${\displaystyle K_{3}={{}^{\star }R^{\star }}_{abcd}\,R^{abcd}}$

Это квадратичные полиномиальные инварианты (суммы квадратов компонент). (Некоторые авторы определяют скаляр Черна–Понтрягина, используя правый дуальный вместо левого дуального .)

Первое из них было введено Эрихом Кречманном . Вторые два названия несколько анахроничны, но поскольку интегралы последних двух связаны с числом инстантона и эйлеровой характеристикой соответственно, они имеют некоторое обоснование.

Главные инварианты тензора Вейля :

1. ${\displaystyle I_{1}=C_{abcd}\,C^{abcd}}$
2. ${\displaystyle I_{2}={{}^{\star }C}_{abcd}\,C^{abcd}}$

(Поскольку нет необходимости определять третий главный инвариант для тензора Вейля.) ${\displaystyle {{}^{\star }C^{\star }}_{abcd}=-C_{abcd}}$

Связь с разложением Риччи

Как и следовало ожидать из разложения Риччи тензора Римана на тензор Вейля и сумму тензоров четвертого ранга, построенных из тензора Риччи второго ранга и скаляра Риччи , эти два набора инвариантов связаны (при d=4):

${\displaystyle K_{1}=I_{1}+2\,R_{ab}\,R^{ab}-{\tfrac {1}{3}}\,R^{2}}$

${\displaystyle K_{3}=-I_{1}+2\,R_{ab}\,R^{ab}-{\tfrac {2}{3}}\,R^{2}}$

Связь с разложением Бела

В четырех измерениях разложение Бела тензора Римана относительно времениподобного единичного векторного поля , не обязательно геодезического или ортогонального к гиперповерхности, состоит из трех частей ${\displaystyle {\vec {X}}}$

1. электрогравитационный тензор ${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$
2. магнитогравитационный тензор ${\displaystyle B[{\vec {X}}]_{ab}={{}^{\star }R}_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$
3. топогравитационный тензор ${\displaystyle L[{\vec {X}}]_{ab}={{}^{\star }R^{\star }}_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$

Поскольку все они являются трансверсальными (т.е. проецируются на пространственные гиперплоскостные элементы, ортогональные нашему времениподобному единичному векторному полю), их можно представить как линейные операторы на трехмерных векторах или как вещественные матрицы размером три на три. Они соответственно симметричны, бесследовые и симметричны (6,8,6 линейно независимых компонентов, всего 20). Если мы запишем эти операторы как E , B , L соответственно, то главные инварианты тензора Римана получаются следующим образом:

• ${\displaystyle K_{1}/4}$является следом E ² + L ² - 2 B B ^T ,
• ${\displaystyle -K_{2}/8}$это след B ( E - L ),
• ${\displaystyle K_{3}/8}$является следом E L - B ² .

Выражение в формализме Ньюмена–Пенроуза

В терминах скаляров Вейля в формализме Ньюмена–Пенроуза главные инварианты тензора Вейля могут быть получены путем взятия действительной и мнимой частей выражения

${\displaystyle I_{1}-i\,I_{2}=16\,\left(3\Psi _{2}^{2}+\Psi _{0}\,\Psi _{4}-4\,\Psi _{1}\Psi _{3}\right)}$

(Но обратите внимание на знак минус!)

Главный квадратичный инвариант тензора Риччи , , может быть получен как более сложное выражение, включающее скаляры Риччи (см. статью Керубини и др., цитируемую ниже). ${\displaystyle R_{ab}\,R^{ab}}$

Различение лоренцевских многообразий

Важный вопрос, связанный с инвариантами кривизны, заключается в том, когда набор полиномиальных инвариантов кривизны может быть использован для (локального) различения многообразий. Чтобы иметь возможность сделать это, необходимо включить инварианты более высокого порядка, включая производные тензора Римана, но в лоренцевом случае известно, что существуют пространства-времена, которые невозможно различить; например, пространства-времена VSI, для которых все такие инварианты кривизны обращаются в нуль и, таким образом, их невозможно отличить от плоского пространства. Эта невозможность различения лоренцевских многообразий связана с тем, что группа Лоренца некомпактна.

Есть еще примеры случаев, когда мы можем различать лоренцевы многообразия, используя их инварианты. Примерами таких являются полностью общие пространства-времена Петрова типа I без векторов Киллинга, см. Coley et al. ниже. Действительно, здесь было обнаружено, что пространства-времена, которые не могут быть различены по их набору инвариантов кривизны, все являются пространствами-временами Кундта .

Смотрите также

• Тензор Баха , иногда полезный тензор, генерируемый с помощью вариационного принципа. ${\displaystyle I_{2}}$
• Инварианты Карминати-Макленагана — набор полиномиальных инвариантов тензора Римана четырехмерного лоренцева многообразия, который, как известно, является полным при некоторых обстоятельствах.
• Инвариант кривизны — для инвариантов кривизны в более общем контексте.

Ссылки

• Керубини, К.; Бини, Д.; Капоцциелло, С.; Руффини Р. (2002). «Скалярные инварианты второго порядка тензора Римана: приложения к пространству-времени черных дыр». Int. J. Mod. Phys. D . 11 (6): 827–841. arXiv : gr-qc/0302095 . Bibcode :2002IJMPD..11..827C. doi :10.1142/S0218271802002037. S2CID  14587539. См. также электронную версию.
• Coley, A.; Hervik, S.; Pelavas, N. (2009). "Пространства-времена, характеризуемые инвариантами скалярной кривизны". Класс. Quantum Grav . 26 (2): 025013. arXiv : 0901.0791 . Bibcode : 2009CQGra..26b5013C. doi : 10.1088/0264-9381/26/2/025013. S2CID  14678572.