Интеграл Римана – Стилтьеса

Обобщение интеграла Римана

В математике интеграл Римана -Стилтьеса является обобщением интеграла Римана , названного в честь Бернхарда Римана и Томаса Джоаннеса Стилтьеса . Определение этого интеграла было впервые опубликовано в 1894 году Стилтьесом. ^[1] Он служит поучительным и полезным предшественником интеграла Лебега и бесценным инструментом в объединении эквивалентных форм статистических теорем, применимых к дискретной и непрерывной вероятности.

Формальное определение

Интеграл Римана – Стилтьеса вещественной функции действительной переменной на интервале по отношению к другой вещественной функции обозначается как ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \int _{x=a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x).}$

В его определении используется последовательность разбиений интервала ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle P=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}.}$

Таким образом, интеграл определяется как предел аппроксимирующей суммы по мере того, как сетка (длина самого длинного подинтервала) разделов приближается к . ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle S(P,f,g)=\sum _{i=0}^{n-1}f(c_{i})\left[g(x_{i+1})-g(x_{i})\right]}$

где находится в -ом подинтервале . Две функции и называются соответственно подынтегральной функцией и интегратором . Обычно считается монотонным (или, по крайней мере, имеющим ограниченную вариацию ) и полунепрерывным справа (однако последнее по сути является соглашением). Мы специально не требуем , чтобы они были непрерывными, что позволяет использовать интегралы, содержащие термины точечной массы. ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle [x_{i};x_{i+1}]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

Под «пределом» здесь понимается число A (значение интеграла Римана–Стилтьеса) такое, что для каждого ε  > 0 существует δ  > 0 такое, что для каждого разбиения P с нормой ( P ) <  δ и для каждого выбора точек c _i в [ x _i ,  x _{i +1} ],

${\displaystyle |S(P,f,g)-A|<\varepsilon .\,}$

Характеристики

Интеграл Римана–Стилтьеса допускает интегрирование по частям в виде

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} f(x)}$$

и существование одного интеграла влечет за собой существование другого. ^[2]

С другой стороны, классический результат ^[3] показывает, что интеграл корректно определен, если f является α - гельдеровской непрерывностью , а g является β -гельдеровской непрерывной с α + β > 1  .

Если ограничено , монотонно возрастает и интегрируемо по Риману, то интеграл Римана–Стилтьеса связан с интегралом Римана соотношением ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle g'(x)}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x}$$

Для ступенчатой ​​функции

$${\displaystyle g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\leq s\\1&{\text{if }}x>s\\\end{cases}}}$$

${\displaystyle a<s<b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=f(s)}$$

Приложение к теории вероятностей

Если g — кумулятивная функция распределения вероятностей случайной величины X , которая имеет функцию плотности вероятности относительно меры Лебега , а f — любая функция, для которой ожидаемое значение конечно, то функция плотности вероятности X является производной от g. и у нас есть ${\displaystyle \operatorname {E} \left[\,\left|f(X)\right|\,\right]}$

${\displaystyle \operatorname {E} [f(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x.}$

Но эта формула не работает, если X не имеет функции плотности вероятности относительно меры Лебега. В частности, это не работает, если распределение X дискретно (т. е. вся вероятность учитывается точечными массами), и даже если кумулятивная функция распределения g непрерывна, она не работает, если g не соответствует абсолютно непрерывна ( примером такой неудачи опять же может служить функция Кантора ). Но личность

${\displaystyle \operatorname {E} [f(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} g(x)}$

выполняется, если g — любая кумулятивная функция распределения вероятностей на действительной прямой, какой бы плохой она ни была. ^{В частности} , как бы плохо ни вела себя кумулятивная функция распределения g случайной величины X , если момент E( Xn ) существует, то он равен

${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,\mathrm {d} g(x).}$

Приложение к функциональному анализу

Интеграл Римана–Стилтьеса появляется в исходной формулировке теоремы Ф. Рисса , которая представляет двойственное пространство банахова пространства C [ a , b ] непрерывных функций в интервале [ a , b ] как интегралы Римана–Стилтьеса против функций ограниченных вариация . Позже эта теорема была переформулирована в терминах мер.

Интеграл Римана – Стилтьеса также появляется в формулировке спектральной теоремы для (некомпактных) самосопряженных (или, в более общем смысле, нормальных) операторов в гильбертовом пространстве. В этой теореме интеграл рассматривается по спектральному семейству проекторов. ^[4]

Существование интеграла

Наилучшая простая теорема существования утверждает, что если f непрерывен и g имеет ограниченную вариацию на [ a , b ], то интеграл существует. ^{[5] [6] [7]} Благодаря интегрированию по формуле частей интеграл существует также, если условия на f и g обратны, то есть если f имеет ограниченную вариацию и g непрерывна.

Функция g имеет ограниченную вариацию тогда и только тогда, когда она представляет собой разность двух (ограниченных) монотонных функций. Если g не имеет ограниченной вариации, то найдутся непрерывные функции, которые нельзя проинтегрировать по g . В общем, интеграл не является четко определенным, если f и g имеют какие-либо точки разрыва , но есть и другие случаи.

Геометрическая интерпретация

Трехмерный график с , и по всем ортогональным осям приводит к геометрической интерпретации интеграла Римана – Стилтьеса. ^[8] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$

Основная геометрия интеграла Римана-Стильеса.

Если плоскость - горизонтальна, а направление - направлено вверх, то рассматриваемая поверхность похожа на изогнутый забор. Забор следует кривой, обозначенной , а высота забора определяется . Ограждение — это часть -листа (т.е. кривая, вытянутая вдоль оси), ограниченная между -плоскостью и -листом. Интеграл Римана-Стильеса — это площадь проекции этого забора на плоскость — по сути, его «тень». Наклон весов влияет на площадь проекции. Значения для которых имеет самый крутой наклон, соответствуют областям ограждения с большей выступающей частью и, таким образом, имеют наибольший вес в интеграле. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle g'(x)}$

Влияние кривизны на геометрию интеграла Римана-Стильеса. ${\displaystyle g(x)}$

Когда является ступенчатой ​​функцией ${\displaystyle g}$

$${\displaystyle g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\leq s\\1&{\text{if }}x>s\\\end{cases}}}$$

забор имеет прямоугольные «ворота» шириной 1 и высотой, равной . Таким образом, ворота и их проекция имеют площадь, равную значению интеграла Римана-Стильеса. ${\displaystyle f(s)}$ ${\displaystyle f(s)}$

Влияние ступенчатой ​​функции на геометрию интеграла Римана-Стильеса. ${\displaystyle g(x)}$

Обобщение

Важным обобщением является интеграл Лебега-Стилтьеса , который обобщает интеграл Римана-Стилтьеса способом, аналогичным тому, как интеграл Лебега обобщает интеграл Римана. Если разрешены несобственные интегралы Римана–Стилтьеса, то интеграл Лебега не является строго более общим, чем интеграл Римана–Стилтьеса.

Интеграл Римана-Стилтьеса также обобщает ^{[ нужна ссылка ]} на случай, когда либо подынтегральная функция ƒ , либо интегратор g принимают значения в банаховом пространстве . Если g  : [ a , b ] → X принимает значения в банаховом пространстве X , то естественно предположить, что она имеет сильно ограниченную вариацию , а это означает, что

${\displaystyle \sup \sum _{i}\|g(t_{i-1})-g(t_{i})\|_{X}<\infty }$

верхняя грань берется по всем конечным разбиениям

${\displaystyle a=t_{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq t_{n}=b}$

интервала [ a , b ]. Это обобщение играет роль при изучении полугрупп посредством преобразования Лапласа – Стилтьеса .

Интеграл Ито расширяет интеграл Римана – Ститджеса, включив в него подынтегральные выражения и интеграторы, которые представляют собой случайные процессы , а не простые функции; см. также стохастическое исчисление .

Обобщенный интеграл Римана – Стилтьеса

Небольшое обобщение ^[9] заключается в рассмотрении в приведенном выше определении разбиений _P , которые уточняют другое разбиение Pε , что означает, что _P возникает из Pε путем добавления точек, а не из разбиений с более мелкой сеткой. В частности, обобщенный интеграл Римана–Стилтьеса от f по g представляет собой число A такое, что для каждого ε  > 0 существует разбиение P _ε такое, что для каждого разбиения P , уточняющего P _ε ,

${\displaystyle |S(P,f,g)-A|<\varepsilon \,}$

для каждого выбора точек c _i в [ x _i ,  x _{i +1} ].

Это обобщение показывает интеграл Римана–Стилтьеса как предел Мура–Смита на направленном множестве разбиений [ a ,  b ]. ^{[10] [11]}

Следствием этого является то, что с помощью этого определения интеграл все еще можно определить в тех случаях, когда f и g имеют общую точку разрыва. ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)}$

Суммы Дарбу

Интеграл Римана – Стилтьеса можно эффективно решить, используя соответствующее обобщение сумм Дарбу . Для разбиения P и неубывающей функции g на [ a ,  b ] определите верхнюю сумму Дарбу f относительно g по формуле

$${\displaystyle U(P,f,g)=\sum _{i=1}^{n}\,\,[\,g(x_{i})-g(x_{i-1})\,]\,\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)}$$

и нижняя сумма на

$${\displaystyle L(P,f,g)=\sum _{i=1}^{n}\,\,[\,g(x_{i})-g(x_{i-1})\,]\,\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x).}$$

Тогда обобщенный вариант Римана–Стилтьеса функции f относительно g существует тогда и только тогда, когда для каждого ε > 0 существует разбиение P такое, что

${\displaystyle U(P,f,g)-L(P,f,g)<\varepsilon .}$

Более того, f интегрируема по Риману–Стилтьесу относительно g (в классическом смысле), если

${\displaystyle \lim _{\operatorname {mesh} (P)\to 0}[\,U(P,f,g)-L(P,f,g)\,]=0.\quad }$^[12]

Примеры и особые случаи

Дифференцируемый g ( x )

Учитывая непрерывно дифференцируемое по нему число , можно показать, что существует равенство ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x}$

где интеграл в правой части представляет собой стандартный интеграл Римана в предположении, что его можно проинтегрировать с помощью интеграла Римана – Стилтьеса. ${\displaystyle f}$

В более общем смысле, интеграл Римана равен интегралу Римана – Стилтьеса, если он является интегралом Лебега от его производной; в этом случае говорят, что он абсолютно непрерывен . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

Это может быть случай, когда имеются скачкообразные разрывы, или может иметься нулевая производная почти всюду, но при этом оставаться непрерывной и возрастающей (например, это может быть функция Кантора или «лестница дьявола»), и в любом из этих случаев интеграл Римана – Стилтьеса равен не охвачено каким-либо выражением, включающим производные от g . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

Интеграл Римана

Стандартный интеграл Римана является частным случаем интеграла Римана – Стилтьеса, где . ${\displaystyle g(x)=x}$

выпрямитель

Рассмотрим функцию, используемую при исследовании нейронных сетей , называемую выпрямленной линейной единицей (ReLU) . Тогда коэффициент Римана–Стилтьеса можно оценить как ${\displaystyle g(x)=\max\{0,x\}}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,\mathrm {d} x}$

где интеграл в правой части представляет собой стандартный интеграл Римана.

Кавальери интеграция

Визуализация интеграла Кавальера для функции ${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}}$

Принцип Кавальери можно использовать для расчета площадей, ограниченных кривыми, с использованием интегралов Римана – Стилтьеса. ^[13] Полосы интегрирования Римана заменяются полосами непрямоугольной формы. Метод состоит в том, чтобы преобразовать «регион Кавалера» с помощью преобразования или использовать его в качестве подынтегральной функции. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g=h^{-1}}$

Для данной функции на интервале «поступательная функция» должна пересекаться ровно один раз при любом сдвиге в интервале. Тогда «область Кавальера» ограничивается , -осью и . Тогда площадь региона составит ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a(y)}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle f(x),a(y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b(y)=a(y)+(b-a)}$

${\displaystyle \int _{a(y)}^{b(y)}f(x)\,dx\ =\ \int _{a'}^{b'}f(x)\,dg(x),}$

где и - значения , где и пересекаются . ${\displaystyle a'}$ ${\displaystyle b'}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a(y)}$ ${\displaystyle b(y)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Примечания

1. Стилтьес (1894), стр. 68–71.
2. Хилле и Филлипс (1974), §3.3.
3. Янг (1936).
4. См. Рисс и Сз. Надь (1990) подробнее.
5. Джонсонбо и Пфаффенбергер (2010), стр. 219.
6. Рудин (1964), стр. 121–122.
7. Колмогоров и Фомин (1975), с. 368.
8. Буллок (1988)
9. Представлено Поллардом (1920) и теперь является стандартом для анализа.
10. МакШейн (1952).
11. Хильдебрандт (1938) называет это интегралом Полларда-Мура-Стилтьеса .
12. Грейвс (1946), Глава. XII, §3.
13. Интеграция Т.Л. Гроблера, Э.Р. Акерманна, А.Дж. ван Зила и Дж.К. Оливье Кавальера из Совета по научным и промышленным исследованиям

Рекомендации

• Буллок, Грегори Л. (май 1988 г.). «Геометрическая интерпретация интеграла Римана-Стилтьеса». Американский математический ежемесячник . Математическая ассоциация Америки. 95 (5): 448–455. дои : 10.1080/00029890.1988.11972030. JSTOR  2322483.{{cite journal}}: CS1 maint: date and year (link)
• Грейвс, Лоуренс (1946). Теория функций действительных переменных. Международная серия по чистой и прикладной математике. МакГроу-Хилл.через HathiTrust
• Хильдебрандт, TH (1938). «Определения интегралов Стилтьеса типа Римана». Американский математический ежемесячник . 45 (5): 265–278. дои : 10.1080/00029890.1938.11990804. ISSN  0002-9890. JSTOR  2302540. МР  1524276.
• Хилле, Эйнар ; Филлипс, Ральф С. (1974). Функциональный анализ и полугруппы . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . МР  0423094.
• Джонсонбо, Ричард Ф .; Пфаффенбергер, Уильям Элмер (2010). Основы математического анализа . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47766-4.
• Колмогоров Андрей ; Фомин, Сергей В. (1975) [1970]. Вводный реальный анализ . Перевод Сильвермана, Ричарда А. (пересмотренное английское издание). Дувр Пресс. ISBN 0-486-61226-0.
• МакШейн, EJ (1952). «Частичные заказы и предел Мура-Смита» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 59 : 1–11. дои : 10.2307/2307181. JSTOR  2307181 . Проверено 2 ноября 2010 г.
• Поллард, Генри (1920). «Интеграл Стилтьеса и его обобщения». Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики . 49 .
• Рисс, Ф.; Сз. Надь, Б. (1990). Функциональный анализ . Дуврские публикации. ISBN 0-486-66289-6.
• Рудин, Вальтер (1964). Принципы математического анализа (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.
• Шилов, Г.Е.; Гуревич, Б.Л. (1978). Интеграл, мера и производная: единый подход . Перевод Сильвермана, Ричарда А. Довера. Бибкод : 1966imdu.book.....S. ISBN 0-486-63519-8.
• Стилтьес, Томас Ян (1894). «Исследования фракций продолжаются». Анна. Фак. наук. Тулуза . VIII : 1–122. МР  1344720.
• Струк, Дэниел В. (1998). Краткое введение в теорию интеграции (3-е изд.). Биркгаузер. ISBN 0-8176-4073-8.
• Янг, LC (1936). «Неравенство типа Гёльдера, связанное с интегрированием Стилтьеса». Акта Математика . 67 (1): 251–282. дои : 10.1007/bf02401743 .