Парадокс интересных чисел — это юмористический парадокс , который возникает из попытки классифицировать каждое натуральное число как «интересное» или «неинтересное». Парадокс утверждает, что каждое натуральное число является интересным. [1] « Доказательство » — от противного : если существует непустое множество неинтересных натуральных чисел, то должно быть наименьшее неинтересное число — но наименьшее неинтересное число само по себе интересно, потому что оно является наименьшим неинтересным числом, таким образом создавая противоречие .
«Интересность» чисел не является формальной концепцией в обычных терминах, но врожденное понятие «интересности», похоже, распространено среди некоторых теоретиков чисел . Известно, что в дискуссии между математиками Г. Х. Харди и Шринивасой Рамануджаном об интересных и неинтересных числах Харди заметил, что число 1729 такси, в котором он ехал, показалось ему «довольно скучным», и Рамануджан немедленно ответил, что оно интересно, поскольку является наименьшим числом, которое является суммой двух кубов двумя различными способами . [2] [3]
Попытка классифицировать все числа таким образом приводит к парадоксу или антиномии [4] определения. Любое гипотетическое разбиение натуральных чисел на интересные и неинтересные множества, похоже, терпит неудачу. Поскольку определение интересного обычно является субъективным, интуитивным понятием, его следует понимать как полушутливое применение самореференции с целью получения парадокса.
Парадокс смягчается, если вместо этого «интересный» определяется объективно: например, наименьшее натуральное число, которое не появляется в записи Он-лайн энциклопедии целочисленных последовательностей (OEIS), было первоначально обнаружено как 11630 12 июня 2009 года. [5] Число, соответствующее этому определению, позже стало 12407 с ноября 2009 года по крайней мере до ноября 2011 года, затем 13794 по состоянию на апрель 2012 года, пока оно не появилось в последовательности OEIS : A218631 по состоянию на 3 ноября 2012 года. С ноября 2013 года это число было 14228, по крайней мере до 14 апреля 2014 года. [5] В мае 2021 года это число было 20067. (Такое определение неинтересного возможно только потому, что OEIS перечисляет только конечное число терминов для каждой записи. [6] Например, OEIS : A000027 — это последовательность всех натуральных чисел , и если ее продолжать до бесконечности, она будет содержать все положительные целые числа. В ее нынешнем виде последовательность записана в ее записи только до 77.) В зависимости от источников, используемых для списка интересных чисел, множество других чисел можно охарактеризовать как неинтересные таким же образом. [7] Например, математик и философ Алекс Беллос предположил в 2014 году, что кандидатом на самое низкое неинтересное число будет 224 , потому что в то время это было «самое низкое число, не имеющее собственной страницы в [англоязычной версии] Википедии ». [8] По состоянию на август 2024 года это число равно 315 .
Однако, поскольку в математике существует множество значимых результатов, использующих самореференцию (например, теоремы Гёделя о неполноте ), парадокс иллюстрирует некоторую силу самореференции [nb 1] и, таким образом, затрагивает серьезные вопросы во многих областях изучения. Парадокс может быть напрямую связан с теоремами Гёделя о неполноте, если определить «интересное» число как число, которое может быть вычислено программой, содержащей меньше бит, чем само число. [9] Аналогично, вместо того, чтобы пытаться количественно оценить субъективное чувство интересности, можно рассмотреть длину фразы, необходимой для указания числа. Например, фраза «наименьшее число, не выразимое менее чем одиннадцатью словами» звучит так, как будто она должна идентифицировать уникальное число, но сама фраза содержит всего десять слов, и поэтому число, идентифицированное фразой, в конце концов будет иметь выражение менее чем одиннадцатью словами. Это известно как парадокс Берри . [10]
В 1945 году Эдвин Ф. Бекенбах опубликовал короткое письмо в The American Mathematical Monthly, в котором предположил, что
Можно предположить, что существует интересный факт относительно каждого из положительных целых чисел. Вот «доказательство по индукции», что это так. Конечно, 1, которое является множителем каждого положительного целого числа, квалифицируется, как и 2, наименьшим простым числом; 3, наименьшим нечетным простым числом; 4, числом Бибербаха; и т. д . Предположим, что множество S положительных целых чисел, относительно каждого из которых нет интересных фактов, не является пустым, и пусть k будет наименьшим членом S. Но это наиболее интересный факт относительно k ! Следовательно, S не имеет наименьшего члена и, следовательно, является пустым. Является ли доказательство верным? [11]
Констанс Рид включила парадокс в первое издание своей популярной математической книги « От нуля до бесконечности » 1955 года , но удалила его из более поздних изданий. [12] Мартин Гарднер представил парадокс как «заблуждение» в своей колонке в Scientific American в 1958 году, включив его вместе с шестью другими «поразительными утверждениями», чьи предполагаемые доказательства также были слегка ошибочными. [1] В письме 1980 года в The Mathematics Teacher упоминается шутливое доказательство того, что «все натуральные числа интересны», которое обсуждалось три десятилетия назад. [13] В 1977 году Грег Хайтин сослался на утверждение Гарднера о парадоксе и указал на его связь с более ранним парадоксом Бертрана Рассела о существовании наименьшего неопределимого ординала (несмотря на то, что все множества ординалов имеют наименьший элемент и что «наименьший неопределимый ординал», по-видимому, является определением). [4] [14]
В «Словаре любопытных и интересных чисел» издательства Penguin (1987) Дэвид Уэллс заметил, что число 39 «кажется первым неинтересным числом», что делает его «особенно интересным», и поэтому число 39 должно быть одновременно интересным и скучным. [15]