Жорданова матрица

В математической дисциплине теории матриц , йордановая матрица , названная в честь Камиллы Джордана , представляет собой блочную диагональную матрицу над кольцом $R$ ( тождества которой — ноль 0 и единица 1), где каждый блок по диагонали, называемый жордановым блоком, имеет следующую форму:

{\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\ лямбда \end{bmatrix}}.

Определение

Каждый жордановый блок задается размерностью n и собственным значением и обозначается как $J$ $λ,$ $n$ . Это матрица нулей всюду, кроме диагонали, которая заполнена, и супердиагонали , состоящей из единиц. $\lambda \in R$ $n\times n$ $\lambda$

Любая блочная диагональная матрица, блоки которой являются жордановыми блоками, называется жордановой матрицей . Эта $(n 1 + \dots + n r) \times (n 1 + \dots + n r)$ квадратная матрица, состоящая из $r$ диагональных блоков, может быть компактно обозначена как или , где i -й жордановский блок равен $J$ $λ$ $i$ $,$ $n$ $i$ . $J_{\lambda _{1},n_{1}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{r},n_{r}}$ $\mathrm {diag} \left (J_ {\lambda _ {1}, n_ {1}}, \ ldots, J_ {\lambda _ {r}, n_ {r}} \ right)$

Например, матрица

J=\left[{\begin{array}{ccc|cc|cc|ccc}0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&i&1&0&0&0&0&0\\0&0&0& 0&i&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&i&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&i&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&7&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&7&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&7\end{array}}\right]

10 \times 10

3 \times 3

собственным значением

0

2 \times 2 с собственным значением

мнимой единицы

i

3 \times 3

Diag (

Дж

0,3

,

Дж

я

,2

,

Дж

я

,2

,

Дж

7,3

)

J_{0,3}\oplus J_{i,2}\oplus J_{i,2}\oplus J_{7,3}

Линейная алгебра

Любая квадратная матрица $A размера$ $n \times n$ , элементы которой находятся в алгебраически замкнутом поле $K$ , аналогична йордановой матрице $J$ , также в , которая уникальна с точностью до перестановки самих ее диагональных блоков. $J$ называется жордановой нормальной формой A $и$ соответствует обобщению процедуры диагонализации. ^[1]^[2]^[3]Диагонализуемая матрица фактически аналогична частному случаю жордановой матрицы: матрице, все блоки которой имеют размер $1 \times 1$ . ^[4]^[5]^[6] $\mathbb {M} _{n}(K)$

В более общем смысле, для данной йордановой матрицы , то есть чей $k$ - й диагональный блок , является йордановым блоком $J$ $λ$ $k$ $,$ $m$ $k$ и не все диагональные элементы могут быть различными, геометрическая кратность матрицы $J$ , обозначенная как , соответствует числу жордановых блоков, собственное значение которых равно $λ$ . Принимая во внимание, что индекс собственного значения для $J$ , обозначенный как , определяется как размерность наибольшего жорданового блока, связанного с этим собственным значением. $J=J_{\lambda _{1},m_{1}}\oplus J_{\lambda _{2},m_{2}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{N},m_{N}}$ $1\leq k\leq N$ $\lambda _{k}$ $\lambda \in K$ $\operatorname {gmul} _{J}\lambda$ $\lambda$ $\operatorname {idx} _{J}\lambda$

То же самое касается всех матриц $A,$ подобных $J$ , поэтому их можно определить соответствующим образом относительно жордановой нормальной формы A $для$ любого из ее собственных значений . В этом случае можно проверить $,$ что индекс для $A$ равен его кратности как корня минимального многочлена A (в то время как по определению его алгебраическая кратность для $A$ , , есть его кратность как корня характеристического многочлена A $А$ ; то есть ). Эквивалентное необходимое и достаточное условие для того, чтобы $A$ было диагонализуемым в $K,$ состоит в том, что все его собственные значения имеют индекс, равный $1$ ; то есть его минимальный полином имеет только простые корни. $\operatorname {idx} _{A}\lambda$ $\lambda \in \operatorname {spec} A$ $\lambda$ $\operatorname {mul} _{A}\lambda$ $\det(A-xI)\in K[x]$

Обратите внимание, что знание спектра матрицы со всеми ее алгебраическими/геометрическими кратностями и индексами не всегда позволяет вычислить ее жордановую нормальную форму (это может быть достаточным условием только для спектрально простых, обычно малоразмерных матриц). Действительно, определение жордановой нормальной формы обычно представляет собой сложную вычислительную задачу. С точки зрения векторного пространства , жордановая нормальная форма эквивалентна нахождению ортогонального разложения (то есть через прямые суммы собственных пространств, представленных жордановыми блоками) области, основу которой составляют соответствующие обобщенные собственные векторы .

Функции матриц

Пусть (то есть комплексная матрица размера $n$ $\times$ $n$ ) и — замена базисной матрицы на жорданову нормальную форму $A$ ; то есть $A$ $=$ $C$ $-1$ $JC$ . Теперь пусть $f$ $($ $z$ $)$ — голоморфная функция на открытом множестве такая, что ; то есть спектр матрицы содержится внутри области голоморфности f $.$ Позволять $A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )$ $C\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ $\Omega$ $\mathrm {spec} A\subset \Omega \subseteq \mathbb {C}$

f(z)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}(z-z_{0})^{h}

f в

степенной ряд

f

(

A

)

формальный степенной ряд

z_{0}\in \Omega \setminus \operatorname {spec} A

f(A)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}A^{h}

абсолютно сходится евклидовой

f

(

A

)

спектральный радиус радиуса сходимости

0,

и

сходится матричной топологии группы Ли

\mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )

\mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )

Жорданова нормальная форма позволяет вычислять функции матриц без явного вычисления бесконечного ряда , что является одним из главных достижений жордановых матриц. Используя тот факт, что $k$ -я степень ( ) диагональной блочной матрицы является диагональной блочной матрицей, блоки которой являются $k$ -ми степенями соответствующих блоков; то есть , и что $A$ $k$ $=$ $C$ $-1$ $J$ $k$ $C$ , приведенный выше матричный степенной ряд становится $k\in \mathbb {N} _{0}$ $\left(A_{1}\oplus A_{2}\oplus A_{3}\oplus \cdots \right)^{k}=A_{1}^{k}\oplus A_{2}^{k}\oplus A_{3}^{k}\oplus \cdots$

f(A)=C^{-1}f(J)C=C^{-1}\left(\bigoplus _{k=1}^{N}f\left(J_{\lambda _{k},m_{k}}\right)\right)C

где последний ряд не обязательно вычислять явно через степенной ряд каждого жорданового блока. Фактически, если , любая голоморфная функция жордана блока имеет конечный степенной ряд вокруг, потому что . Здесь – нильпотентная часть и имеет все 0, кроме 1, вдоль супердиагонали. Таким образом, это следующая верхняя треугольная матрица : $\lambda \in \Omega$ $f(J_{\lambda ,n})=f(\lambda I+Z)$ $\lambda I$ $Z^{n}=0$ $Z$ $J$ $Z^{k}$ $k^{\text{th}}$

f(J_{\lambda ,n})=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(\lambda )Z^{k}}{k!}}={\begin{bmatrix}f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&{\frac {f^{\prime \prime }(\lambda )}{2}}&\cdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}&{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}&{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\0&0&f(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-4)}(\lambda )}{(n-4)!}}&{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )\\0&0&0&\cdots &0&f(\lambda )\\\end{bmatrix}}.

Как следствие этого, вычисление любой функции матрицы является простым, если известны ее жорданова нормальная форма и матрица замены базиса. Например, при использовании обратным является: $f(z)=1/z$ $J_{\lambda ,n}$

J_{\lambda ,n}^{-1}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-Z)^{k}}{\lambda ^{k+1}}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}&\,\,\,\lambda ^{-3}&\cdots &-(-\lambda )^{1-n}&\,-(-\lambda )^{-n}\\0&\;\;\;\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}&\cdots &-(-\lambda )^{2-n}&-(-\lambda )^{1-n}\\0&0&\,\,\,\lambda ^{-1}&\cdots &-(-\lambda )^{3-n}&-(-\lambda )^{2-n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}\\0&0&0&\cdots &0&\lambda ^{-1}\\\end{bmatrix}}.

Кроме того, $spec f (A) = f (spec A)$ ; то есть каждому собственному значению соответствует собственное значение , но оно имеет, вообще говоря, разную алгебраическую кратность , геометрическую кратность и индекс. Однако алгебраическую кратность можно вычислить следующим образом: $\lambda \in \mathrm {spec} A$ $f(\lambda )\in \operatorname {spec} f(A)$

{\text{mul}}_{f(A)}f(\lambda )=\sum _{\mu \in {\text{spec}}A\cap f^{-1}(f(\lambda ))}~{\text{mul}}_{A}\mu .

Функция $f (T)$ линейного преобразования $T$ между векторными пространствами может быть определена аналогичным образом в соответствии с голоморфным функциональным исчислением , где теории банахового пространства и римановой поверхности играют фундаментальную роль. В случае конечномерных пространств обе теории прекрасно совпадают.

Динамические системы

Теперь предположим, что (сложная) динамическая система просто определяется уравнением

{\begin{aligned}{\dot {\mathbf {z} }}(t)&=A(\mathbf {c} )\mathbf {z} (t),\\\mathbf {z} (0)&=\mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n},\end{aligned}}

где – ( $n$ -мерная) кривая параметризации орбиты на римановой поверхности динамической системы, тогда как $A$ $($ $c$ $)$ – комплексная матрица размера $n$ $\times$ $n$ , элементы которой являются комплексными функциями $d$ -мерного параметра . $\mathbf {z} :\mathbb {R} _{+}\to {\mathcal {R}}$ ${\mathcal {R}}$ $\mathbf {c} \in \mathbb {C} ^{d}$

Даже если (т. е. $A$ непрерывно зависит от параметра $c$ ) жордановая нормальная форма матрицы непрерывно деформируется почти всюду , но, вообще говоря, не всюду: существует некоторое критическое подмногообразие, на котором жордановая форма резко меняет свою структуру всякий раз, когда параметр пересекает или просто «путешествует» вокруг него ( монодромия ). Такие изменения означают, что несколько жордановых блоков (принадлежащих либо разным собственным значениям, либо нет) объединяются в уникальный жордановый блок, или наоборот (то есть один жордановый блок распадается на два или более разных). Многие аспекты теории бифуркаций как для непрерывных, так и для дискретных динамических систем можно интерпретировать с помощью анализа функциональных жордановых матриц. $A\in \mathbb {M} _{n}\left(\mathrm {C} ^{0}\left(\mathbb {C} ^{d}\right)\right)$ $\mathbb {C} ^{d}$ $\mathbb {C} ^{d}$

С точки зрения динамики касательного пространства это означает, что ортогональная декомпозиция фазового пространства динамической системы изменяется и, например, различные орбиты приобретают периодичность, теряют ее или переходят от одного вида периодичности к другому (например, удвоению периода , см. логистическую карту ).

Одним словом, качественное поведение такой динамической системы может существенно измениться при версальной деформации жордановой нормальной формы $A (c)$ .

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения

Простейшим примером динамической системы является система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами; то есть пусть и : $A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )$ $\mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n}$

{\begin{aligned}{\dot {\mathbf {z} }}(t)&=A\mathbf {z} (t),\\\mathbf {z} (0)&=\mathbf {z} _{0},\end{aligned}}

матричной экспоненты

\mathbf {z} (t)=e^{tA}\mathbf {z} _{0}.

Другой способ, при условии, что решение ограничено локальным пространством Лебега n $-$ мерных векторных полей , состоит в использовании преобразования Лапласа . В этом случае $\mathbf {z} \in \mathrm {L} _{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} _{+})^{n}$ $\mathbf {Z} (s)={\mathcal {L}}[\mathbf {z} ](s)$

\mathbf {Z} (s)=\left(sI-A\right)^{-1}\mathbf {z} _{0}.

Матрица-функция $(A - sI) -1$ называется резольвентной матрицей дифференциального оператора . Он мероморфен по комплексному параметру, поскольку его матричные элементы являются рациональными функциями, знаменатель которых для всех равен $det($ $A$ $-$ $sI$ $)$ . Его полярные особенности — это собственные значения оператора $A$ , порядок которых равен для него их индексу; то есть, . ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}-A}$ $s\in \mathbb {C}$ $\mathrm {ord} _{(A-sI)^{-1}}\lambda =\mathrm {idx} _{A}\lambda$

Смотрите также

Примечания

^ Борегар и Фрели (1973, стр. 310–316)
^ Голуб и Ван Лоан (1996, стр. 317)
^ Неринг (1970, стр. 118–127)
^ Борегар и Фрели (1973, стр. 270–274)
^ Голуб и Ван Лоан (1996, стр. 316)
^ Неринг (1970, стр. 113–118)