Карл Георг Христиан фон Штаудт (24 января 1798 г. — 1 июня 1867 г.) — немецкий математик , который использовал синтетическую геометрию для создания основы арифметики.
Жизнь и влияние
Карл родился в Вольном имперском городе Ротенбурге, который сейчас называется Ротенбург-об-дер-Таубер в Германии. С 1814 года он учился в гимназии в Аусбахе. Он посещал Гёттингенский университет с 1818 по 1822 год, где учился у Гаусса , который был директором обсерватории. Штаудт предоставил эфемериды для орбит Марса и астероида Паллада . Когда в 1821 году была обнаружена комета Николе-Понса, он предоставил элементы ее орбиты . Эти достижения в астрономии принесли ему докторскую степень в Эрлангенском университете в 1822 году.
Профессиональная карьера Штаудта началась с должности преподавателя средней школы в Вюрцбурге до 1827 года, а затем в Нюрнберге до 1835 года. В 1832 году он женился на Жанетте Дрешлер. У них были сын Эдуард и дочь Матильда, но Жанетта умерла в 1848 году.
Книга Geometrie der Lage (1847) стала вехой в проективной геометрии . Как писал Бурау (1976):
Штаудт был первым, кто принял полностью строгий подход. Все его предшественники без исключения говорили о расстояниях, перпендикулярах, углах и других сущностях, которые не играют никакой роли в проективной геометрии. [1]
Действительно, в 1889 году Марио Пьери перевел фон Штаудта, прежде чем написать свои I Principii della Geometrie di Posizione Composti в un Systema Logico-deduttivo (1898). В 1900 году Шарлотта Скотт из колледжа Брин-Мор перефразировала большую часть работы фон Штаудта на английском языке для The Mathematical Gazette . [2] Когда Вильгельм Блашке опубликовал свой учебник Projective Geometry в 1948 году, портрет молодого Карла был помещен напротив Vorwort .
Штаудт вышел за рамки реальной проективной геометрии и занялся сложным проективным пространством в трех томах своего труда «Beiträge zur Geometrie der Lage», издававшегося с 1856 по 1860 год.
В 1922 году Х. Ф. Бейкер писал о работе фон Штаудта:
Именно для фон Штаудта устранение идей расстояния и конгруэнтности было осознанной целью, хотя, также, признание важности этого могло бы быть значительно отсрочено, если бы не работа Кэли и Клейна по проективной теории расстояния. Обобщенные и объединенные с последующей диссертацией Римана, тома Штаудта должны считаться основой того, чем, с ее геометрической стороны, может стать Теория относительности в физике. [3]
Фон Штаудт сделал важное открытие, что связь, которую коника устанавливает между полюсами и полярами, на самом деле более фундаментальна, чем сама коника, и может быть установлена независимо. Эта «полярность» затем может быть использована для определения коники способом, который является совершенно симметричным и непосредственно самодвойственным: коника — это просто геометрическое место точек, которые лежат на их полярах, или огибающая линий, которые проходят через их полюса. Трактовка фон Штаудта квадрик является аналогичной, в трех измерениях. [4]
Алгебра бросков
В 1857 году во втором Beiträge фон Штаудт предложил путь к числу через геометрию, названный алгеброй бросков ( нем . Wurftheorie ). Он основан на проективном ряде и отношении проективных гармонических сопряженных . С помощью операций сложения точек и умножения точек получается «алгебра точек», как в главе 6 учебника Веблена и Янга по проективной геометрии. Обычное представление опирается на перекрестное отношение ( CA,BD ) четырех коллинеарных точек. Например, Кулидж писал: [5]
Как нам сложить два расстояния? Мы даем им одну и ту же начальную точку, находим точку посередине между их конечными точками, то есть гармоническое сопряжение бесконечности относительно их конечных точек, а затем находим гармоническое сопряжение начальной точки относительно этой средней точки и бесконечности. Обобщая это, если мы хотим сложить броски ( CA,BD ) и ( CA,BD' ), мы находим M гармоническое сопряжение C относительно D и D' , а затем S гармоническое сопряжение A относительно C и M :
Таким же образом мы можем найти определение произведения двух бросков. Поскольку произведение двух чисел имеет такое же отношение к одному из них, как другое к единице, отношение двух чисел есть перекрестное отношение, которое они как пара имеют к бесконечности и нулю, поэтому фон Штаудт в предыдущей записи определяет произведение двух бросков как
Эти определения включают в себя длинную серию шагов, чтобы показать, что алгебра, определенная таким образом, подчиняется обычным коммутативным, ассоциативным и дистрибутивным законам и что делителей нуля не существует.
Итоговое утверждение дано Вебленом и Янгом [6] в виде теоремы 10: «Множество точек на прямой, если удалить, образует поле относительно ранее определенных операций». Как отмечает Фройденталь [7] : 199
...вплоть до Гильберта не было другого примера такого прямого вывода алгебраических законов из геометрических аксиом, как в «Beiträge» фон Штаудта .
Другое подтверждение работы фон Штаудта с гармоническими сопряжениями представлено в форме теоремы:
Единственное взаимно-однозначное соответствие между действительными точками на прямой, которое сохраняет гармоническую связь между четырьмя точками, — это несингулярная проективность. [8]
Алгебра бросков была описана как «проективная арифметика» Джоном Стиллвеллом (2005). [9]
В разделе под названием «Проективная арифметика» он говорит:
Настоящая трудность в том, что конструкция a + b , например, отличается от конструкции b + a , поэтому это «совпадение», если a + b = b + a . Аналогично это «совпадение», если ab = ba , или выполняется любой другой закон алгебры. К счастью, мы можем показать, что требуемые совпадения действительно происходят, поскольку они подразумеваются определенными геометрическими совпадениями, а именно теоремами Паппуса и Дезарга.
Чтобы иметь возможность рассматривать подход фон Штаудта как строгую основу проективной геометрии, нужно только явно добавить топологические аксиомы, которые молчаливо используются фон Штаудтом. ... как можно сформулировать топологию проективного пространства без поддержки метрики? Фон Штаудт был еще далек от постановки этого вопроса, который четверть века спустя станет актуальным. ... Феликс Клейн заметил пробел в подходе фон Штаудта; он осознавал необходимость формулировать топологию проективного пространства независимо от евклидова пространства... итальянцы были первыми, кто нашел действительно удовлетворительные решения для проблемы чисто проективной основы проективной геометрии, которую фон Штаудт пытался решить. [7]
Одним из итальянских математиков был Джованни Вайлати , который изучал свойство кругового порядка действительной проективной прямой. Наука об этом порядке требует кватернарного отношения, называемого отношением разделения . Используя это отношение, можно обратиться к концепциям монотонной последовательности и предела в циклической «прямой». Предполагая, что каждая монотонная последовательность имеет предел, [10] прямая становится полным пространством . Эти разработки были вдохновлены выводами фон Штаудта аксиом поля как инициативой в выводе свойств из аксиом в проективной геометрии.
Работы
Геометрия лёжа , 1847
1831: Über die Kurven, 2. Ordnung . Нюрнберг
1845: De numeris Bernoullianis: commentationem alteram pro loco in facultate philosophica rite obtinendo , Кэрол. Г. Хр. де Штаудт. Эрланге: Юнге.
1845: De numeris Bernoullianis: loci in senatu Academic rite obtinendi causa commentatus est, Кэрол. Г. Хр. де Штаудт. Эрланге: Юнге.
^ ab Hans Freudenthal (1974) "The Impact of Von Staudt's Foundations of Geometry", в For Dirk Struik , RS Cohen editor, D. Reidel . Также найдено в Geometry – von Staudt's Point of View , Peter Plaumann & Karl Strambach editors, Proceedings of NATO Advanced Study Institute, Bad Windsheim, July/August 1980, D. Reidel, ISBN 90-277-1283-2
^ Дирк Штруик (1953) Лекции по аналитической и проективной геометрии , стр. 22, «теорема фон Штаудта»
^ Стиллвелл, Джон (2005). Четыре столпа геометрии . Springer. стр. 128. doi :10.1007/0-387-29052-4_6.
^ HSM Coxeter (1949) Действительная проективная плоскость , Глава 10: Непрерывность, McGraw Hill
