В математике теории хаоса подковообразная карта — это любой член класса хаотических карт квадрата в себя. Это основной пример в изучении динамических систем . Карта была введена Стивеном Смейлом при изучении поведения орбит осциллятора Ван дер Поля . Действие карты определяется геометрически путем сжатия квадрата, затем растяжения результата в длинную полосу и, наконец, складывания полосы в форму подковы.
Большинство точек в конечном итоге покидают квадрат под действием карты. Они переходят в боковые крышки, где они при итерации сходятся к фиксированной точке в одной из крышек. Точки, которые остаются в квадрате при повторной итерации, образуют фрактальное множество и являются частью инвариантного множества карты.
Сплющивание, растяжение и складывание подковообразной карты типичны для хаотических систем, но не являются необходимыми или даже достаточными. [1]
В карте подковы сжатие и растяжение равномерны. Они компенсируют друг друга, так что площадь квадрата не меняется. Складывание выполняется аккуратно, так что орбиты, которые навсегда остаются в квадрате, можно просто описать.
Для карты-подковы:
Подковообразное отображение f — это диффеоморфизм , определенный из области S плоскости в себя. Область S — это квадрат, накрытый двумя полукругами. Область определения («подкова») — это собственное подмножество ее области определения . Действие f определяется посредством композиции трех геометрически определенных преобразований. Сначала квадрат сжимается вдоль вертикального направления на коэффициент a < 1/2 . Колпачки сжимаются так, чтобы оставаться полудисками, прикрепленными к полученному прямоугольнику. Сжимание в кратность, меньшую половины, гарантирует, что между ветвями подковы будет зазор. Затем прямоугольник растягивается горизонтально в кратность 1/а ; колпачки остаются неизменными. Наконец, полученная полоска складывается в подковообразную форму и помещается обратно в S .
Интересная часть динамики — это изображение квадрата в себя. Как только эта часть определена, отображение можно расширить до диффеоморфизма , определив его действие на колпачки. Колпачки сжимаются и в конечном итоге отображаются внутри одного из колпачков (левого на рисунке). Расширение f на колпачки добавляет неподвижную точку к неблуждающему множеству отображения. Чтобы сохранить класс подковообразных отображений простым, изогнутая область подковы не должна отображаться обратно в квадрат.
Подковообразное отображение является однозначным, что означает, что обратное f −1 существует при ограничении образом S под f .
Складывая сжатый и растянутый квадрат разными способами, можно получить другие типы подковообразных карт.
Чтобы гарантировать, что отображение остается однозначным, сжатый квадрат не должен перекрывать сам себя. Когда действие на квадрате расширяется до диффеоморфизма, расширение не всегда может быть выполнено в плоскости. Например, отображение справа необходимо расширить до диффеоморфизма сферы с помощью «шапки», которая оборачивается вокруг экватора.
Подковообразное отображение — это диффеоморфизм Аксиомы А , который служит моделью общего поведения в трансверсальной гомоклинической точке , где пересекаются устойчивое и неустойчивое многообразия периодической точки.
Подковообразная карта была разработана для воспроизведения хаотической динамики потока в окрестности заданной периодической орбиты. Окрестность выбирается как небольшой диск, перпендикулярный орбите . По мере развития системы точки в этом диске остаются близкими к заданной периодической орбите, вычерчивая орбиты, которые в конечном итоге снова пересекают диск. Другие орбиты расходятся.
Поведение всех орбит в диске можно определить, рассмотрев, что происходит с диском. Пересечение диска с данной периодической орбитой возвращается к себе каждый период орбиты, и то же самое делают точки в его окрестности. Когда эта окрестность возвращается, ее форма трансформируется. Среди точек, вернувшихся внутрь диска, есть некоторые точки, которые покинут окрестность диска, и другие, которые продолжат возвращаться. Набор точек, которые никогда не покидают окрестность данной периодической орбиты, образует фрактал.
Символическое имя может быть дано всем орбитам, которые остаются в соседстве. Первоначальный диск соседства может быть разделен на небольшое количество регионов. Знание последовательности, в которой орбита посещает эти регионы, позволяет точно определить орбиту. Последовательность посещения орбит обеспечивает символическое представление динамики, известной как символическая динамика .
Можно описать поведение всех начальных условий отображения подковы. Начальная точка u 0 = ( x , y ) отображается в точку u 1 = f ( u 0 ). Ее итерацией является точка u 2 = f ( u 1 ) = f 2 ( u 0 ), а повторная итерация генерирует орбиту u 0 , u 1 , u 2 , ...
При повторной итерации отображения подковы большинство орбит заканчиваются в неподвижной точке в левой шапке. Это происходит потому, что подкова отображает левую шапку в себя с помощью аффинного преобразования , которое имеет ровно одну неподвижную точку. Любая орбита, которая приземляется на левую шапку, никогда не покидает ее и сходится к неподвижной точке в левой шапке при итерации. Точки в правой шапке отображаются в левую шапку при следующей итерации, и большинство точек в квадрате отображаются в шапки. При итерации большинство точек будут частью орбит, которые сходятся к неподвижной точке в левой шапке, но некоторые точки квадрата никогда не покидают ее.
При прямых итерациях подковообразной карты исходный квадрат отображается в ряд горизонтальных полос. Точки в этих горизонтальных полосах берутся из вертикальных полос в исходном квадрате. Пусть S 0 будет исходным квадратом, отобразите его вперед n раз и рассмотрите только те точки, которые попадают обратно в квадрат S 0 , который является набором горизонтальных полос
Точки в горизонтальных полосах произошли от вертикальных полос.
которые представляют собой горизонтальные полосы H n , отображенные назад n раз. То есть, точка в V n при n итерациях подковы окажется в наборе H n вертикальных полос.
Если точка должна оставаться в квадрате неопределенно долго, то она должна принадлежать множеству Λ , которое отображается в себя. Необходимо определить, является ли это множество пустым или нет. Вертикальные полосы V 1 отображаются в горизонтальные полосы H 1 , но не все точки V 1 отображаются обратно в V 1 . Только точки на пересечении V 1 и H 1 могут принадлежать Λ , что можно проверить , следуя точкам вне пересечения для еще одной итерации .
Пересечение горизонтальных и вертикальных полос, H n ∩ V n , представляет собой квадраты, которые в пределе n → ∞ сходятся к инвариантному множеству Λ (это множество является пересечением множества Кантора вертикальных линий с множеством Кантора горизонтальных линий [2] ). Структуру этого множества можно лучше понять, введя систему меток для всех пересечений — символическую динамику.
Так как H n ∩ V n ⊂ V 1 , любая точка, которая находится в Λ при итерации, должна попасть в левую вертикальную полосу A V 1 , или в правую вертикальную полосу B . Нижняя горизонтальная полоса H 1 является образом A , а верхняя горизонтальная полоса является образом B , поэтому H 1 = f(A) ∪ f (B) . Полосы A и B можно использовать для маркировки четырех квадратов на пересечении V 1 и H 1 :
Множество Λ B•A состоит из точек из полосы A , которые в предыдущей итерации были в полосе B. Точка используется для отделения области, в которой находится точка орбиты, от области, из которой пришла точка.
Обозначение может быть расширено до более высоких итераций карты подковы. Вертикальные полосы могут быть названы в соответствии с последовательностью посещений полосы A или полосы B. Например, множество ABB ⊂ V 3 состоит из точек из A , которые все попадут в B в одной итерации и останутся в B в итерации после этого:
Двигаясь назад от этой траектории, определяем небольшую область, множество ABB , внутри V 3 .
Горизонтальные полосы названы по их вертикальным прообразам. В этой нотации пересечение V 2 и H 2 состоит из 16 квадратов, один из которых
Все точки в Λ AB•BB находятся в B и будут оставаться в B по крайней мере еще одну итерацию. Их предыдущая траектория до приземления в BB была A , за которой следовал B.
Любое из пересечений Λ P•F горизонтальной полосы с вертикальной полосой, где P и F — последовательности A s и B s, является аффинным преобразованием небольшой области в V 1 . Если P имеет k символов в себе, и если f − k (Λ P•F ) и Λ P•F пересекаются, область Λ P•F будет иметь неподвижную точку. Это происходит, когда последовательность P совпадает с F . Например, Λ ABAB•ABAB ⊂ V 4 ∩ H 4 имеет по крайней мере одну неподвижную точку. Эта точка также совпадает с неподвижной точкой в Λ AB•AB . Включая все больше и больше AB s в часть P и F метки пересечения, область пересечения можно сделать сколь угодно малой. Она сходится к точке, которая является частью периодической орбиты отображения подковы. Периодическую орбиту можно обозначить простейшей последовательностью букв A и B , которая обозначает одну из областей, которые посещает периодическая орбита.
Для каждой последовательности A и B существует периодическая орбита.
