Алгебра Каца–Муди

Алгебра Ли, которая может быть определена генераторами и соотношениями через обобщенную матрицу Картана

В математике алгебра Каца–Муди (названная в честь Виктора Каца и Роберта Муди , которые независимо и одновременно открыли их в 1968 году ^[1] ) — это алгебра Ли , обычно бесконечномерная, которая может быть определена генераторами и соотношениями через обобщенную матрицу Картана . Эти алгебры образуют обобщение конечномерных полупростых алгебр Ли , и многие свойства, связанные со структурой алгебры Ли, такие как ее корневая система , неприводимые представления и связь с многообразиями флагов , имеют естественные аналоги в задании Каца–Муди.

Класс алгебр Каца–Муди, называемых аффинными алгебрами Ли, имеет особое значение в математике и теоретической физике , особенно в двумерной конформной теории поля и теории точно решаемых моделей . Кац открыл элегантное доказательство некоторых комбинаторных тождеств, тождеств Макдональда , которое основано на теории представлений аффинных алгебр Каца–Муди. Говард Гарленд и Джеймс Леповски продемонстрировали, что тождества Роджерса–Рамануджана могут быть выведены аналогичным образом. ^[2]

История алгебр Каца–Муди

Первоначальное построение Эли Картаном и Вильгельмом Киллингом конечномерных простых алгебр Ли из целых чисел Картана зависело от типа. В 1966 году Жан-Пьер Серр показал, что соотношения Клода Шевалле и Хариш-Чандры [ ^3] с упрощениями Натана Якобсона ^[4] дают определяющее представление для алгебры Ли ^[5] . Таким образом, можно было бы описать простую алгебру Ли в терминах генераторов и соотношений, используя данные из матрицы целых чисел Картана, которая, естественно, положительно определена .

«Почти одновременно в 1967 году Виктор Кац в СССР и Роберт Муди в Канаде разработали то, что впоследствии стало алгеброй Каца–Муди. Кац и Муди заметили, что если бы условия Вильгельма Киллинга были ослаблены, то все равно можно было бы связать с матрицей Картана алгебру Ли, которая, по необходимости, была бы бесконечномерной». – А. Дж. Коулман ^[6]

В своей диссертации 1967 года Роберт Муди рассмотрел алгебры Ли, матрица Картана которых больше не является положительно определенной. ^{[7] [8]} Это все еще привело к появлению алгебры Ли, но теперь уже бесконечномерной. Одновременно в Москве изучались Z - градуированные алгебры Ли , где И. Л. Кантор ввел и изучил общий класс алгебр Ли, включая то, что в конечном итоге стало известно как алгебры Каца–Муди. ^[9] Виктор Кац также изучал простые или почти простые алгебры Ли с полиномиальным ростом. Развилась богатая математическая теория бесконечномерных алгебр Ли. Изложение предмета, которое также включает работы многих других, дано в (Kac 1990). ^[10] См. также (Seligman 1987). ^[11]

Введение

Для обобщенной матрицы Картана размером n × n можно построить алгебру Ли, определяемую генераторами , и и соотношениями, заданными формулами: ${\displaystyle C={\begin{pmatrix}c_{ij}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}'(C)}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle h_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}\left(i\in \{1,\ldots ,n\}\right)}$

• ${\displaystyle \left[h_{i},h_{j}\right]=0\ }$для всех ; ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$
• ${\displaystyle \left[h_{i},e_{j}\right]=c_{ij}e_{j}}$;
• ${\displaystyle \left[h_{i},f_{j}\right]=-c_{ij}f_{j}}$;
• ${\displaystyle \left[e_{i},f_{j}\right]=\delta _{ij}h_{i}}$, где — дельта Кронекера; ${\displaystyle \delta _{ij}}$
• Если (так что ), то и , где — сопряженное представление . ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle c_{ij}\leq 0}$ ${\displaystyle {\textrm {ad}}(e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y],}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

При предположении «симметризуемости» отождествляется с производной подалгеброй аффинной алгебры Каца-Муди, определенной ниже. ^[12] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}'(C)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}'(C)=[{\mathfrak {g}}(C),{\mathfrak {g}}(C)]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}(C)}$

Определение

Предположим, что нам дана обобщенная матрица Картана C = ( c _ij ) ранга r . Для каждого такого существует единственная с точностью до изоморфизма реализация , т.е. тройка ), где — комплексное векторное пространство, — подмножество элементов , а — подмножество сопряженного пространства, удовлетворяющее следующим трем условиям: ^[13] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {h}},\{\alpha _{i}\}_{i=1}^{n},\{\alpha _{i}^{\vee }\}_{i=1}^{n},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \{\alpha _{i}^{\vee }\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$

1. Вектор пространства имеет размерность 2n  −  r ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$
2. Множества и линейно независимы и ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle \{\alpha _{i}^{\vee }\}_{i=1}^{n}}$
3. Для каждого . ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n,\alpha _{i}\left(\alpha _{j}^{\vee }\right)=C_{ji}}$

Являются аналогами простых корней полупростой алгебры Ли, а — простым кокорням. ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}^{\vee }}$

Затем мы определяем алгебру Каца-Муди, связанную с алгеброй Ли, определяемой генераторами и и элементами и соотношениями ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}:={\mathfrak {g}}(C)}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}\left(i\in \{1,\ldots ,n\}\right)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

• ${\displaystyle \left[h,h'\right]=0\ }$для ; ${\displaystyle h,h'\in {\mathfrak {h}}}$
• ${\displaystyle \left[h,e_{i}\right]=\alpha _{i}(h)e_{i}}$, для ; ${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$
• ${\displaystyle \left[h,f_{i}\right]=-\alpha _{i}(h)f_{i}}$, для ; ${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$
• ${\displaystyle \left[e_{i},f_{j}\right]=\delta _{ij}\alpha _{i}^{\vee }}$, где — дельта Кронекера; ${\displaystyle \delta _{ij}}$
• Если (так что ), то и , где — сопряженное представление . ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle c_{ij}\leq 0}$ ${\displaystyle {\textrm {ad}}(e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y],}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Действительная (возможно , бесконечномерная) алгебра Ли также считается алгеброй Каца–Муди, если ее комплексификация является алгеброй Каца–Муди.

Разложение корневого пространства алгебры Каца–Муди

${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$является аналогом подалгебры Картана для алгебры Каца–Муди . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Если есть элемент такой , что ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \forall h\in {\mathfrak {h}},[h,x]=\lambda (h)x}$

для некоторого , то называется корневым вектором и является корнем . (Нулевой функционал не считается корнем по соглашению.) Множество всех корней часто обозначается , а иногда и . Для заданного корня обозначается корневое пространство ; то есть, ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\backslash \{0\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}:\forall h\in {\mathfrak {h}},[h,x]=\lambda (h)x\}}$.

Из определяющих соотношений следует, что и . Также, если и , то по тождеству Якоби . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle e_{i}\in {\mathfrak {g}}_{\alpha _{i}}}$ ${\displaystyle f_{i}\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha _{i}}}$ ${\displaystyle x_{1}\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}}}$ ${\displaystyle x_{2}\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}}}$ ${\displaystyle \left[x_{1},x_{2}\right]\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}$

Фундаментальным результатом теории является то, что любая алгебра Каца–Муди может быть разложена в прямую сумму и ее корневых пространств, то есть ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\lambda \in \Delta }{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$,

и что каждый корень можно записать так, где все являются целыми числами одного знака . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}z_{i}\alpha _{i}}$ ${\displaystyle z_{i}}$

Типы алгебр Каца–Муди

Свойства алгебры Каца–Муди контролируются алгебраическими свойствами ее обобщенной матрицы Картана C. Для классификации алгебр Каца–Муди достаточно рассмотреть случай неразложимой матрицы C , то есть предположить, что не существует разложения множества индексов I в несвязное объединение непустых подмножеств I ₁ и I ₂ такого, что C _ij = 0 для всех i из I ₁ и j из I _2. Любое разложение обобщенной матрицы Картана приводит к разложению в прямую сумму соответствующей алгебры Каца–Муди:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}(C)\simeq {\mathfrak {g}}\left(C_{1}\right)\oplus {\mathfrak {g}}\left(C_{2}\right),}$

где две алгебры Каца–Муди в правой части связаны с подматрицами C, соответствующими индексным множествам I ₁ и I ₂ .

Важный подкласс алгебр Каца–Муди соответствует симметризуемым обобщенным матрицам Картана C , которые могут быть разложены как DS , где D — диагональная матрица с положительными целыми элементами, а S — симметричная матрица . При предположениях, что C симметризуема и неразложима, алгебры Каца–Муди делятся на три класса:

• Положительно определенная матрица S порождает конечномерную простую алгебру Ли .
• Положительно полуопределенная матрица S порождает бесконечномерную алгебру Каца–Муди аффинного типа или аффинную алгебру Ли .
• Неопределенная матрица S порождает алгебру Каца–Муди неопределенного типа .
• Поскольку диагональные элементы C и S положительны, S не может быть отрицательно определенным или отрицательно полуопределенным.

Симметризуемые неразложимые обобщенные матрицы Картана конечного и аффинного типа были полностью классифицированы. Они соответствуют диаграммам Дынкина и аффинным диаграммам Дынкина . Мало что известно об алгебрах Каца–Муди неопределенного типа, хотя группы, соответствующие этим алгебрам Каца–Муди, были построены над произвольными полями Жаком Титсом. ^[14]

Среди алгебр Каца–Муди неопределенного типа большинство работ было сосредоточено на гиперболических типах , для которых матрица S неопределена, но для каждого собственного подмножества I соответствующая подматрица является положительно определенной или положительно полуопределенной. Гиперболические алгебры Каца–Муди имеют ранг не более 10, и они были полностью классифицированы. ^[15] Существует бесконечно много алгебр ранга 2 и 238 рангов от 3 до 10 .

Смотрите также

• Формула характера Вейля–Каца
• Обобщенная алгебра Каца–Муди
• Интегрируемый модуль
• Чудовищный самогон

Цитаты

1. Чжэ-сянь 1991, Предисловие.
2. (?) Гарланд, Х.; Леповски, Дж. (1976). «Гомологии алгебры Ли и формулы Макдональда–Каца». Invent. Math. 34 (1): 37–76. Bibcode :1976InMat..34...37G. doi :10.1007/BF01418970. S2CID  122385055.
3. Хариш-Чандра (1951). «О некоторых приложениях универсальной обертывающей алгебры полупростой алгебры Ли». Trans. Amer. Math. Soc. 70 (1): 28–96. doi : 10.1090/S0002-9947-1951-0044515-0 . JSTOR  1990524.
4. Якобсон, Н. (1962). Алгебры Ли . Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics. Том 10. Нью-Йорк-Лондон: Interscience Publishers (подразделение John Wiley & Sons).
5. Серр, Ж.-П. (1966). Полупростые комплексы Алгебры де Ли (на французском языке). Нью-Йорк-Амстердам: WA Бенджамин.
6. Коулмен, А. Джон, «Величайшая математическая работа всех времен», The Mathematical Intelligencer, т. 11, № 3, стр. 29–38.
7. Moody, RV (1967). "Алгебры Ли, связанные с обобщенными матрицами Картана" (PDF) . Bull. Amer. Math. Soc . 73 (2): 217–222. doi : 10.1090/S0002-9904-1967-11688-4 .
8. Муди 1968, Новый класс алгебр Ли
9. Кантор, ИЛ (1970). «Градуированные алгебры Ли». Труды семинара «Вектор. Тензор. Анал ». 15 : 227–266.
10. Кац, 1990
11. Селигман, Джордж Б. (1987). «Обзор книги: Бесконечномерные алгебры Ли». Bull. Amer. Math. Soc . NS 16 (1): 144–150. doi : 10.1090/S0273-0979-1987-15492-9 .
12. Кац 1990, Бесконечномерные алгебры Ли, третье издание
13. Кац 1990, Бесконечномерные алгебры Ли , Предложение 1.1
14. Титс, Дж. (1987). «Уникальность и представление групп Каца–Муди над полями». Журнал алгебры . 105 (2): 542–573. doi : 10.1016/0021-8693(87)90214-6 .
15. Carbone, L.; Chung, S.; Cobbs, C.; McRae, R.; Nandi, D.; Naqvi, Y.; Penta, D. (2010). «Классификация гиперболических диаграмм Дынкина, длины корней и орбиты группы Вейля». J. Phys. A: Math. Theor. 43 (15): 155–209. arXiv : 1003.0564 . Bibcode :2010JPhA...43o5209C. doi :10.1088/1751-8113/43/15/155209. S2CID  16946456.

Ссылки

• Берман, Стивен; Паршалл, Карен Хангер (13 января 2002 г.). «Виктор Кац и Роберт Муди: их пути к алгебрам Ли Каца-Муди». The Mathematical Intelligencer . 24 : 50–60. doi :10.1007/BF03025312. S2CID  120670625.
• Роберт В. Муди , Новый класс алгебр Ли , Журнал алгебры , 10 (1968), 211–230. doi :10.1016/0021-8693(68)90096-3 MR 0229687
• Виктор Кац , Бесконечномерные алгебры Ли , 3-е издание, Cambridge University Press (1990) ISBN 0-521-46693-8 [1] 
• Энтони Вассерманн , Конспект лекций по алгебрам Каца–Муди и Вирасоро
• «Алгебра Каца–Муди», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Виктор Г. Кац, Простые неприводимые градуированные алгебры Ли конечного роста, Изв. матем. наук СССР, 2 (1968) стр. 1271–1311, Изв. АН СССР, Сер. матем., 32 (1968) стр. 1923–1967
• Sthanumoorthy, N.; Misra, Kailash C., ред. (2004). Алгебры Ли Каца-Муди и смежные темы . AMS . ISBN 0-8218-3337-5.
• Шраван Кумар , Группы Каца–Муди, их разновидности флагов и теория представления , 1-е издание, Биркхойзер (2002). ISBN 3-7643-4227-7 . 
• Чжэ-сянь, Ван (1991). Введение в алгебру Каца-Муди . World Scientific . ISBN 981-02-0224-5.

Внешние ссылки

• SIGMA: Специальный выпуск по алгебрам Каца–Муди и их приложениям