Квантовая информация с самой высокой скоростью может быть отправлена через шумный квантовый канал.
В теории квантовой связи квантовая емкость — это наивысшая скорость, с которой квантовая информация может передаваться при многих независимых использованиях зашумленного квантового канала от отправителя к получателю. Он также равен максимальной скорости, с которой может возникнуть запутанность в канале, и прямая классическая связь не может ее улучшить. Теорема о квантовой емкости важна для теории квантовой коррекции ошибок и, в более широком смысле, для теории квантовых вычислений . Теорема, дающая нижнюю границу квантовой пропускной способности любого канала, в просторечии известна как теорема LSD, в честь авторов Ллойда , [1] Шора , [2] и Деветак [3] , которые доказали ее с возрастающими стандартами строгости. [4]
Хеширование для каналов Паули
Теорема LSD утверждает, что когерентная информация квантового канала — это достижимая скорость для надежной квантовой связи. Для канала Паули связная информация имеет простую форму , и доказательство ее достижимости также особенно просто. Мы [ кто? ] доказать теорему для этого особого случая, используя случайные коды стабилизатора и исправляя только вероятные ошибки, которые производит канал.
Теорема (ограничение хеширования). Существует стабилизирующий квантовый код исправления ошибок , который достигает предела хеширования для канала Паули следующей формы:![{\displaystyle R=1-H\left(\mathbf {p} \right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \rho \mapsto p_{I} \rho +p_{X}X\rho X+p_{Y}Y\rho Y+p_{Z}Z\rho Z,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{I},p_{X},p_{Y},p_{Z}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H\left(\mathbf {p} \right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Доказательство . Рассмотрите возможность исправления только типичных ошибок. То есть рассмотрим определение типичного набора ошибок следующим образом:
![{\displaystyle T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\equiv \left\{a^{n}:\left\vert - {\frac {1}{n}}\log _ {2}\left(\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\right)-H\left(\mathbf {p} \right)\right\vert \leq \delta \right \},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle а^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left\{I,X,Y,Z\right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E_{a^{n}}\equiv E_{a_{1}} \otimes \cdots \otimes E_{a_{n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\} \geq 1-\epsilon ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
[5]![{\displaystyle \epsilon >0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {S}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{E_{a^{n}}:a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\notin N\left({\mathcal {S}}\right)\обратная косая черта {\mathcal {S}}, }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
нормализатор![{\displaystyle E_{a^{n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E_{b^{n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N({\mathcal {S}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {S}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Действуйте следующим образом:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} _ {\mathcal {S}}\left\{p_{e}\right\}&=\mathbb {E} _{\mathcal {S}}\ left\{\sum _{a^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{ \text{не подлежит исправлению при }}{\mathcal {S}}\right)\right\}\\&\leq \mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{\sum _{a^ {n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}{\mathcal {I}}\left (E_{a^{n}}{\text{ не подлежит исправлению при }}{\mathcal {S}}\right)\right\}+\epsilon \\&=\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\mathbb {E} _{\mathcal {S}}\ left\{{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{\text{ неисправимо при }}{\mathcal {S}}\right)\right\}+\epsilon \\& =\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}{\text{ не подлежит исправлению при }}{\mathcal {S}}\right\}+\epsilon .\end{aligned}} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {I}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E_{a^{n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {S}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Продолжая, мы имеем:
![{\displaystyle =\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\ }\Pr _{\mathcal {S}}\left\{\exists E_{b^{n}}:b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}} ,\ b^{n}\neq a^{n},\ E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}} \right)\обратная косая черта {\mathcal {S}}\right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \leq \sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{A^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _ {\mathcal {S}}\left\{\exists E_{b^{n}}:b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b ^{n}\neq a^{n},\ E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right) \верно\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle =\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\ }\Pr _{\mathcal {S}}\left\{\bigcup \limits _{b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{ n}\neq a^{n}}E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\ }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \leq \sum _{a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^ {n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}^{\dagger }E_ {b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \leq \sum _{a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^ {n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}2^{-\left(nk\right)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \leq 2^{2n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}2^{-n\left[H\left(\mathbf {p} \right) )+\delta \right]}2^{-\left(nk\right)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle =2^{-n\left[1-H\left(\mathbf {p} \right)-k/n-3\delta \right]}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Первое равенство следует из условий исправления ошибок для кода квантового стабилизатора, где – нормализатор . Первое неравенство следует из игнорирования любого потенциального вырождения в коде: мы считаем ошибку неисправимой, если она лежит в нормализаторе, а вероятность может быть больше только потому, что . Второе равенство следует из осознания того, что вероятности критерия существования и объединения событий эквивалентны. Второе неравенство получается путем применения оценки объединения. Третье неравенство следует из того факта, что вероятность для фиксированного оператора, не равного тождеству, коммутирующего с операторами стабилизатора случайного стабилизатора, может быть ограничена сверху следующим образом:
Аргументация здесь состоит в том, что случайный выбор кода стабилизатора эквивалентен фиксация операторов , ... и выполнение равномерно случайного унитарного метода Клиффорда. Вероятность того, что фиксированный оператор коммутирует с , ..., равна просто числу нетождественных операторов в нормализаторе ( ), делённому на общее количество нетождественных операторов ( ). После применения приведенной выше оценки мы затем используем следующие границы типичности:![{\displaystyle N\left({\mathcal {S}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {S}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N\left({\mathcal {S}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N\left({\mathcal {S}}\right)\обратная косая черта {\mathcal {S}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S} }\right)\right\}={\frac {2^{n+k}-1}{2^{2n}-1}}\leq 2^{-\left(nk\right)}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Z_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Z_{nk}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\overline {Z}}_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\overline {Z}}_{nk}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 2^{n+k}-1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 2^{2n}-1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \forall a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}:\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\leq 2^{-n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left\vert T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\right\vert \leq 2^{n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+ \delta \right]}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k/n=1-H\left(\mathbf {p} \right)-4\delta }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Сет Ллойд (1997). «Пропускная способность шумного квантового канала». Физический обзор А. 55 (3): 1613–1622. arXiv : Quant-ph/9604015 . Бибкод : 1997PhRvA..55.1613L. doi :10.1103/PhysRevA.55.1613. S2CID 5555850.
- ^ Питер Шор (2002). «Пропускная способность квантового канала и когерентная информация» (PDF) . Конспект лекций, Семинар ИИГС по квантовым вычислениям .
- ^ Игорь Деветак (2005). «Частная классическая пропускная способность и квантовая пропускная способность квантового канала». Транзакции IEEE по теории информации . 51 : 44–55. arXiv : Quant-ph/0304127 . дои : 10.1109/TIT.2004.839515. S2CID 12246393.
- ^ Уайльд, Марк М. (2017). Квантовая теория информации (2-е изд.). Кембридж, Великобритания. ISBN 978-1-316-80997-6. ОКЛК 972292559.
{{cite book}}
: CS1 maint: location missing publisher (link) - ^ Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак Л. (2000), Квантовые вычисления и квантовая информация , издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-63503-5.