Квантовая информация

Информация, хранящаяся в состоянии квантовой системы

В оптических решетках используются лазеры для разделения атомов рубидия (красный) для использования в качестве информационных битов в квантовых процессорах с нейтральными атомами — прототипах устройств, из которых дизайнеры пытаются превратить в полноценные квантовые компьютеры.

Квантовая информация – это информация о состоянии квантовой системы . Это основной объект исследования в квантовой теории информации , ^{[1] [2] [3]} , и им можно манипулировать с помощью методов квантовой обработки информации . Квантовая информация относится как к техническому определению в терминах энтропии фон Неймана , так и к общему вычислительному термину.

Это междисциплинарная область, которая включает в себя квантовую механику , информатику , теорию информации , философию и криптографию , а также другие области. ^{[4] [5] [6]} Его изучение также актуально для таких дисциплин, как когнитивная наука , психология и нейробиология . ^{[7] [8] [9] [10]} Основное внимание уделяется извлечению информации из материи на микроскопическом уровне. Наблюдение в науке является одним из наиболее важных способов получения информации, и для количественной оценки наблюдения необходимы измерения, что делает его решающим для научного метода . В квантовой механике из-за принципа неопределенности некоммутирующие наблюдаемые не могут быть точно измерены одновременно, поскольку собственное состояние в одном базисе не является собственным состоянием в другом базисе. Согласно связи собственное состояние – собственное значение, наблюдаемая является четко определенной (определенной), когда состояние системы является собственным состоянием наблюдаемой. ^[11] Поскольку любые две некоммутирующие наблюдаемые не являются одновременно четко определенными, квантовое состояние никогда не может содержать точную информацию об обеих некоммутирующих наблюдаемых. ^[8]

Информация — это нечто физическое, закодированное в состоянии квантовой системы. ^[12] В то время как квантовая механика занимается изучением свойств материи на микроскопическом уровне, ^{[13] [8]} квантовая информатика фокусируется на извлечении информации из этих свойств, ^[8] а квантовые вычисления манипулируют и обрабатывают информацию – выполняют логические операции – используя квантовые методы обработки информации. ^[14]

Квантовая информация, как и классическая информация, может обрабатываться с помощью цифровых компьютеров , передаваться из одного места в другое, обрабатываться с помощью алгоритмов и анализироваться с помощью информатики и математики . Точно так же, как основной единицей классической информации является бит, квантовая информация имеет дело с кубитами . ^[15] Квантовую информацию можно измерить с помощью энтропии фон Неймана.

В последнее время область квантовых вычислений стала активной областью исследований из-за возможности разрушить современные вычисления, связь и криптографию . ^{[14] [16]}

История и развитие

Развитие фундаментальной квантовой механики

История квантовой теории информации началась на рубеже 20-го века, когда классическая физика совершила революцию в квантовой физике . Теории классической физики предсказывали абсурдные явления, такие как ультрафиолетовая катастрофа или спиральное движение электронов в ядро. Сначала эти проблемы были отброшены путем добавления к классической физике специальных гипотез. Вскоре стало очевидно, что необходимо создать новую теорию, чтобы разобраться в этих абсурдах, и родилась теория квантовой механики. ^[2]

Квантовая механика была сформулирована Шредингером с использованием волновой механики и Гейзенбергом с использованием матричной механики. ^[17] Эквивалентность этих методов была доказана позднее. ^[18] Их формулировки описывали динамику микроскопических систем, но имели ряд неудовлетворительных аспектов при описании процессов измерения. Фон Нейман сформулировал квантовую теорию, используя операторную алгебру, таким образом, что она описывала не только динамику, но и измерение. ^[19] В этих исследованиях особое внимание уделялось философским аспектам измерения, а не количественному подходу к извлечению информации посредством измерений.

См.: Динамические изображения.

Развитие от общения

В 1960-х годах Стратонович , Хелстром и Гордон ^[20] предложили формулировку оптической связи с использованием квантовой механики. Это было первое историческое появление квантовой теории информации. В основном они изучали вероятности ошибок и пропускную способность каналов связи. ^{[20] [21] [22]} Позже Александр Холево получил верхнюю границу скорости связи при передаче классического сообщения через квантовый канал. ^{[23] [24]}

Развитие атомной физики и теории относительности

В 1970-х годах начали разрабатываться методы манипулирования одноатомными квантовыми состояниями, такие как атомная ловушка и сканирующий туннельный микроскоп , позволяющие изолировать отдельные атомы и располагать их в массивы. До этих разработок точный контроль над отдельными квантовыми системами был невозможен, и в экспериментах использовался более грубый одновременный контроль над большим количеством квантовых систем. ^[2] Развитие жизнеспособных методов манипулирования одним состоянием привело к увеличению интереса к области квантовой информации и вычислений.

В 1980-х годах возник интерес к тому, можно ли использовать квантовые эффекты для опровержения теории относительности Эйнштейна . Если бы можно было клонировать неизвестное квантовое состояние, можно было бы использовать запутанные квантовые состояния для передачи информации со скоростью, превышающей скорость света, что опровергло бы теорию Эйнштейна. Однако теорема о запрете клонирования показала, что такое клонирование невозможно. Эта теорема была одним из первых результатов квантовой теории информации. ^[2]

Развитие криптографии

Несмотря на весь ажиотаж и интерес к изучению изолированных квантовых систем и попыткам найти способ обойти теорию относительности, исследования в области квантовой теории информации в 1980-х годах застопорились. Однако примерно в то же время в квантовой информации и вычислениях начал заниматься другой путь: криптография . В общем смысле криптография — это проблема взаимодействия или вычислений с участием двух или более сторон, которые могут не доверять друг другу. ^[2]

Беннетт и Брассар разработали канал связи, подслушивать который невозможно, не будучи обнаруженным, способ тайной связи на больших расстояниях с использованием квантового криптографического протокола BB84 . ^[25] Ключевой идеей было использование фундаментального принципа квантовой механики, согласно которому наблюдение нарушает наблюдаемое, а введение подслушивающего устройства в защищенную линию связи немедленно позволит двум сторонам, пытающимся общаться, узнать о присутствии подслушивающего.

Развитие информатики и математики

С появлением революционных идей Алана Тьюринга о программируемом компьютере, или машине Тьюринга , он показал, что любые реальные вычисления можно перевести в эквивалентные вычисления с участием машины Тьюринга. ^{[26] [27]} Это известно как тезис Чёрча-Тьюринга .

Вскоре были созданы первые компьютеры, и компьютерное оборудование росло такими быстрыми темпами, что этот рост, благодаря опыту производства, был систематизирован в эмпирическую зависимость, названную законом Мура . Этот «закон» представляет собой проективную тенденцию, которая гласит, что количество транзисторов в интегральной схеме удваивается каждые два года. ^[28] Поскольку транзисторы стали становиться все меньше и меньше, чтобы обеспечить большую мощность на площадь поверхности, в электронике начали проявляться квантовые эффекты, приводящие к непреднамеренным помехам. Это привело к появлению квантовых вычислений, которые использовали квантовую механику для разработки алгоритмов.

На данный момент квантовые компьютеры обещали быть намного быстрее классических компьютеров в решении некоторых конкретных задач. Один из таких примеров задачи был разработан Дэвидом Дойчем и Ричардом Джозой и известен как алгоритм Дойча-Джозы . Однако эта проблема практически не имела практического применения. ^[2] Питер Шор в 1994 году придумал очень важную и практическую задачу — найти простые множители целого числа. Проблема дискретного логарифма , как ее называли, могла быть эффективно решена на квантовом компьютере, но не на классическом компьютере, что показывает, что квантовые компьютеры более мощны, чем машины Тьюринга.

Развитие теории информации

Примерно в то время, когда компьютерная наука совершала революцию, то же самое произошло и с теорией информации и коммуникацией, благодаря Клоду Шеннону . ^{[29] [30] [31]} Шеннон разработал две фундаментальные теоремы теории информации: теорему о бесшумном канальном кодировании и теорему о шумном канальном кодировании. Он также показал, что коды исправления ошибок можно использовать для защиты отправляемой информации.

Квантовая теория информации также пошла по аналогичной траектории: Бен Шумахер в 1995 году сделал аналог теоремы Шеннона о бесшумном кодировании, используя кубит . Также была разработана теория исправления ошибок, которая позволяет квантовым компьютерам выполнять эффективные вычисления независимо от шума и обеспечивать надежную связь по зашумленным квантовым каналам. ^[2]

Кубиты и теория информации

Квантовая информация сильно отличается от классической информации, воплощенной битом , многими поразительными и незнакомыми способами. В то время как фундаментальной единицей классической информации является бит , самой базовой единицей квантовой информации является кубит . Классическая информация измеряется с помощью энтропии Шеннона , а квантово-механический аналог — энтропия фон Неймана . Учитывая статистический ансамбль квантово-механических систем с матрицей плотности , он определяется как ^[2] Многие из тех же мер энтропии в классической теории информации также могут быть обобщены на квантовый случай, такие как энтропия Холево ^[32] и условный квантовый случай . энтропия . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle S(\rho )=-\operatorname {Tr} (\rho \ln \rho ).}$

В отличие от классических цифровых состояний (которые дискретны), кубит имеет непрерывное значение и описывается направлением на сфере Блоха . Несмотря на то, что кубит оценивается таким образом непрерывно, он является наименьшей возможной единицей квантовой информации, и, несмотря на то, что состояние кубита имеет непрерывное значение, невозможно точно измерить это значение. Пять знаменитых теорем описывают пределы манипулирования квантовой информацией. ^[2]

1. теорема об отсутствии телепортации , которая утверждает, что кубит не может быть (полностью) преобразован в классические биты; то есть его нельзя полностью «прочитать».
2. теорема о запрете клонирования , которая предотвращает копирование произвольного кубита.
3. Теорема о запрете удаления , которая предотвращает удаление произвольного кубита.
4. теорема о запрете трансляции , которая предотвращает доставку произвольного кубита множеству получателей, хотя его можно транспортировать с места на место ( например , посредством квантовой телепортации ).
5. теорема о несокрытии , которая демонстрирует сохранение квантовой информации.

Эти теоремы доказываются на основе унитарности , которая, по мнению Леонарда Саскинда, является техническим термином, обозначающим утверждение о том, что квантовая информация во Вселенной сохраняется. ^{[33] :  94} Пять теорем открывают возможности квантовой обработки информации.

Квантовая обработка информации

Состояние кубита содержит всю его информацию. Это состояние часто выражают в виде вектора на сфере Блоха . Это состояние можно изменить, применив к ним линейные преобразования или квантовые вентили . Эти унитарные преобразования описываются как вращения сферы Блоха. В то время как классические вентили соответствуют знакомым операциям булевой логики , квантовые вентили являются физическими унитарными операторами .

• Из-за нестабильности квантовых систем и невозможности копирования состояний хранить квантовую информацию гораздо сложнее, чем хранить классическую информацию. Тем не менее, с использованием квантовой коррекции ошибок квантовая информация в принципе все же может надежно храниться. Существование квантовых кодов, исправляющих ошибки, также привело к возможности отказоустойчивых квантовых вычислений .
• Классические биты могут быть закодированы и впоследствии извлечены из конфигураций кубитов с помощью квантовых вентилей. Сам по себе один кубит может передать не более одного бита доступной классической информации о своем приготовлении. Это теорема Холево . Однако при сверхплотном кодировании отправитель, воздействуя на один из двух запутанных кубитов, может передать получателю два бита доступной информации об их совместном состоянии.
• Квантовая информация может перемещаться по квантовому каналу , аналогичному концепции классического канала связи . Квантовые сообщения имеют конечный размер, измеряемый в кубитах; квантовые каналы имеют конечную пропускную способность , измеряемую в кубитах в секунду.
• Квантовую информацию и изменения в квантовой информации можно количественно измерить с помощью аналога энтропии Шеннона , называемого энтропией фон Неймана .
• В некоторых случаях квантовые алгоритмы могут использоваться для выполнения вычислений быстрее, чем любой известный классический алгоритм. Самым известным примером этого является алгоритм Шора , который может факторизовать числа за полиномиальное время по сравнению с лучшими классическими алгоритмами, которые требуют субэкспоненциального времени. Поскольку факторизация является важной частью безопасности шифрования RSA , алгоритм Шора положил начало новой области постквантовой криптографии , которая пытается найти схемы шифрования, которые остаются безопасными даже при использовании квантовых компьютеров. Другие примеры алгоритмов, демонстрирующих квантовое превосходство, включают алгоритм поиска Гровера , где квантовый алгоритм дает квадратичное ускорение по сравнению с лучшим из возможных классических алгоритмов. Класс сложности задач, которые эффективно решает квантовый компьютер , известен как BQP .
• Квантовое распределение ключей (QKD) позволяет безоговорочно безопасно передавать классическую информацию, в отличие от классического шифрования, которое всегда можно взломать в принципе, если не на практике. Обратите внимание, что некоторые тонкие моменты, касающиеся безопасности QKD, до сих пор горячо обсуждаются.

Изучение всех вышеперечисленных тем и различий составляет квантовую теорию информации.

Связь с квантовой механикой

Квантовая механика — это исследование того, как микроскопические физические системы динамически изменяются в природе. В области квантовой теории информации изучаемые квантовые системы абстрагируются от любых аналогов в реальном мире. Кубит может, например, физически быть фотоном в линейном оптическом квантовом компьютере , ионом в квантовом компьютере с захваченными ионами или большой совокупностью атомов, как в сверхпроводящем квантовом компьютере . Независимо от физической реализации, ограничения и особенности кубитов, подразумеваемые квантовой теорией информации, сохраняются, поскольку все эти системы математически описываются одним и тем же аппаратом матриц плотности над комплексными числами . Другое важное отличие от квантовой механики заключается в том, что, хотя квантовая механика часто изучает бесконечномерные системы, такие как гармонический осциллятор , квантовая теория информации занимается как системами с непрерывными переменными ^[34] , так и конечномерными системами. ^{[8] [35] [36]}

Энтропия и информация

Энтропия измеряет неопределенность состояния физической системы. ^[2] Энтропию можно изучать с точки зрения как классической, так и квантовой теории информации.

Классическая теория информации

Классическая информация основана на концепциях информации, изложенных Клодом Шенноном . Классическая информация, в принципе, может храниться в виде двоичных строк. Любая система, имеющая два состояния, является дееспособным битом. ^[37]

Энтропия Шеннона

Энтропия Шеннона — это количественная оценка информации, полученной путем измерения значения случайной величины. Другой способ подумать об этом — рассмотреть неопределенность системы до начала измерений. В результате энтропию, как ее представлял Шеннон, можно рассматривать либо как меру неопределенности до проведения измерения, либо как меру информации, полученной после проведения указанного измерения. ^[2]

Энтропию Шеннона, записанную как функционал дискретного распределения вероятностей, связанного с событиями , можно рассматривать как среднюю информацию, связанную с этим набором событий, в единицах битов: ${\displaystyle P(x_{1}),P(x_{2}),...,P(x_{n})}$ ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$

$${\displaystyle H(X)=H[P(x_{1}),P(x_{2}),...,P(x_{n})]=-\sum _{i=1}^{n}P(x_{i})\log _{2}P(x_{i})}$$

Это определение энтропии можно использовать для количественной оценки физических ресурсов, необходимых для хранения выходных данных источника информации. Обсужденные выше способы интерпретации энтропии Шеннона обычно имеют смысл только тогда, когда количество выборок эксперимента велико. ^[35]

Энтропия Реньи

Энтропия Реньи является обобщением энтропии Шеннона, определенной выше. Энтропия Реньи порядка r, записанная как функция дискретного распределения вероятностей, связанного с событиями , определяется как: ^[37] ${\displaystyle P(a_{1}),P(a_{2}),...,P(a_{n})}$ ${\displaystyle a_{1},...,a_{n}}$

$${\displaystyle H_{r}(A)={1 \over 1-r}\log _{2}\sum _{i=1}^{n}P^{r}(a_{i})}$$

для и . ${\displaystyle 0<r<\infty }$ ${\displaystyle r\neq 1}$

Мы приходим к определению энтропии Шеннона из Реньи, когда , энтропии Хартли (или максимальной энтропии) , когда и минимальной энтропии, когда . ${\displaystyle r\rightarrow 1}$ ${\displaystyle r\rightarrow 0}$ ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$

Квантовая теория информации

Квантовая теория информации во многом является расширением классической теории информации на квантовые системы. Классическая информация создается при измерении квантовых систем. ^[37]

Энтропия фон Неймана

Одной из интерпретаций энтропии Шеннона была неопределенность, связанная с распределением вероятностей. Когда мы хотим описать информацию или неопределенность квантового состояния, распределения вероятностей просто заменяются операторами плотности : ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle S(\rho )\equiv -\mathrm {tr} (\rho \ \log _{2}\ \rho )=-\sum _{i}\lambda _{i}\ \log _{2}\ \lambda _{i},}$$

где собственные значения . ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \rho }$

Энтропия фон Неймана играет роль в квантовой информации, аналогичную роли энтропии Шеннона в классической информации.

Приложения

Квантовая связь

Квантовая связь — одно из приложений квантовой физики и квантовой информации. Есть несколько известных теорем, таких как теорема о запрете клонирования, которые иллюстрируют некоторые важные свойства квантовой коммуникации. Плотное кодирование и квантовая телепортация также являются приложениями квантовой коммуникации. Это два противоположных способа общения с использованием кубитов. В то время как телепортация передает один кубит от Алисы и Боба путем передачи двух классических битов в предположении, что Алиса и Боб имеют заранее общее состояние Белла, плотное кодирование передает два классических бита от Алисы к Бобу с использованием одного кубита, опять же при том же предположении. что у Алисы и Боба есть предварительно общее состояние Bell.

Квантовое распределение ключей

Одним из наиболее известных применений квантовой криптографии является квантовое распределение ключей, которое обеспечивает теоретическое решение проблемы безопасности классического ключа. Преимущество квантового распределения ключей состоит в том, что квантовый ключ невозможно скопировать из-за теоремы о запрете клонирования . Если кто-то попытается прочитать закодированные данные, передаваемое квантовое состояние изменится. Это может быть использовано для обнаружения подслушивания.

ББ84

Первая схема распределения квантовых ключей, BB84 , была разработана Чарльзом Беннетом и Жилем Брассаром в 1984 году. Обычно ее объясняют как метод безопасной передачи закрытого ключа от третьей стороны к другой для использования в одноразовом шифровании. ^[2]

Е91

E91 был создан Артуром Экертом в 1991 году. В его схеме используются запутанные пары фотонов. Эти два фотона могут быть созданы Алисой, Бобом или третьей стороной, включая подслушивающую Еву. Один из фотонов передается Алисе, а другой — Бобу, так что в каждом из них оказывается по одному фотону из пары.

Эта схема основана на двух свойствах квантовой запутанности:

1. Запутанные состояния идеально коррелированы, что означает, что если Алиса и Боб измеряют свои частицы, имеющие либо вертикальную, либо горизонтальную поляризацию, они всегда получают один и тот же ответ со 100% вероятностью. То же самое верно, если они оба измеряют любую другую пару дополнительных (ортогональных) поляризаций. Это требует, чтобы две удаленные стороны имели точную синхронизацию направления. Однако, согласно теории квантовой механики, квантовое состояние является полностью случайным, поэтому Алиса не может предсказать, получит ли она результаты вертикальной или горизонтальной поляризации.
2. Любая попытка Евы подслушать разрушает эту квантовую запутанность, которую могут обнаружить Алиса и Боб.

Б92

B92 — это более простая версия BB84. ^[38]

Основное отличие B92 от BB84:

• B92 нужно только два состояния
• BB84 нужно 4 состояния поляризации

Как и BB84, Алиса передает Бобу строку фотонов, закодированную случайно выбранными битами, но на этот раз Алиса сама выбирает основания, которые она должна использовать. Боб по-прежнему случайным образом выбирает основу для измерения, но если он выберет неверную основу, он не сможет измерить ничего, что гарантируется теориями квантовой механики. Боб может просто сообщать Алисе после каждого отправленного ею бита, правильно ли он его измерил. ^[39]

Квантовые вычисления

Наиболее широко используемой моделью в квантовых вычислениях является квантовая схема , основанная на квантовом бите « кубит ». Кубит в некоторой степени аналогичен биту в классических вычислениях. Кубиты могут находиться в квантовом состоянии 1 или 0 или в суперпозиции состояний 1 и 0. Однако при измерении кубитов результатом измерения всегда является либо 0, либо 1; вероятности этих двух результатов зависят от квантового состояния , в котором находились кубиты непосредственно перед измерением.

Любой алгоритм квантовых вычислений можно представить как сеть квантовых логических элементов .

Квантовая декогеренция

Если бы квантовая система была идеально изолирована, она бы прекрасно сохраняла когерентность, но было бы невозможно протестировать всю систему. Если он не полностью изолирован, например, во время измерения, когерентность передается окружающей среде и со временем теряется; этот процесс называется квантовой декогеренцией. В результате этого процесса, по-видимому, теряется квантовое поведение, точно так же, как энергия теряется при трении в классической механике.

Квантовая коррекция ошибок

QEC используется в квантовых вычислениях для защиты квантовой информации от ошибок из-за декогеренции и другого квантового шума . Квантовая коррекция ошибок необходима, если мы хотим добиться отказоустойчивых квантовых вычислений, способных справиться не только с шумом в хранимой квантовой информации, но также с неисправными квантовыми вентилями, ошибочной квантовой подготовкой и ошибочными измерениями.

Питер Шор первым обнаружил этот метод формулирования квантового кода исправления ошибок путем сохранения информации одного кубита в сильно запутанном состоянии вспомогательных кубитов . Код квантовой коррекции ошибок защищает квантовую информацию от ошибок.

Журналы

Многие журналы публикуют исследования в области квантовой информатики , хотя этой области посвящены лишь немногие. Среди них:

• Международный журнал квантовой информации
• npj Квантовая информация
• Квантовый
• Квантовая информация и вычисления
• Квантовая обработка информации
• Квантовая наука и технологии

Смотрите также

• Категорическая квантовая механика
• Мысленные эксперименты Эйнштейна
• Интерпретации квантовой механики
• Положительная операторно-оценочная мера (POVM)
• Квантовые часы
• Квантовая запутанность
• Квантовые основы
• Квантовая информатика
• Квантовая статистическая механика
• Кубит
• Кутрит
• Типичное подпространство

Рекомендации

1. Ведрал, Влатко (2006). Введение в квантовую информатику . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. doi :10.1093/acprof:oso/9780199215706.001.0001. ISBN 9780199215706. ОСЛК  822959053.
2. Нильсен, Майкл А.; Чуанг, Исаак Л. (2010). Квантовые вычисления и квантовая информация (изд. к 10-летию). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9780511976667. ISBN 9780511976667. OCLC  665137861. S2CID  59717455.
3. Хаяси, Масахито (2006). Квантовая информация: Введение . Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/3-540-30266-2. ISBN 978-3-540-30266-7. ОСЛК  68629072.
4. Бокулич, Алиса; Джагер, Грегг (2010). Философия квантовой информации и запутанности. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511676550. ISBN 9780511676550.
5. Бенатти, Фабио; Фаннес, Марк; Флореанини, Роберто; Петритис, Дмитрий (2010). Квантовая информация, вычисления и криптография: вводный обзор теории, технологий и экспериментов. Конспект лекций по физике. Том. 808. Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-642-11914-9. ISBN 978-3-642-11914-9.
6. Бенатти, Фабио (2009). «Квантовая теория информации». Квантовая энтропия . Теоретическая и математическая физика. Дордрехт: Спрингер. стр. 255–315. дои : 10.1007/978-1-4020-9306-7_6. ISBN 978-1-4020-9306-7.
7. Хаяси, Масахито; Ишизака, Сатоши; Кавачи, Акинори; Кимура, генерал; Огава, Томохиро (2015). Введение в квантовую информатику . Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-662-43502-1. ISBN 978-3-662-43502-1.
8. Хаяси, Масахито (2017). Квантовая теория информации: математический фундамент . Тексты для аспирантов по физике. Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-662-49725-8. ISBN 978-3-662-49725-8.
9. Георгиев, Данко Д. (06 декабря 2017 г.). Квантовая информация и сознание: нежное введение. Бока-Ратон: CRC Press. дои : 10.1201/9780203732519. ISBN 9781138104488. OCLC  1003273264. Збл  1390.81001.
10. Георгиев, Данко Д. (2020). «Квантовый информационный подход к проблеме разума и мозга». Прогресс биофизики и молекулярной биологии . 158 : 16–32. arXiv : 2012.07836 . doi :10.1016/j.pbiomolbio.2020.08.002. PMID  32822698. S2CID  221237249.
11. Гилтон, Мэриан-младший (2016). «Откуда связь собственное состояние – собственное значение?». Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 55 : 92–100. дои :10.1016/j.shpsb.2016.08.005.
12. Прескилл, Джон. Квантовые вычисления (Физика 219/Информатика 219). Пасадена, Калифорния: Калифорнийский технологический институт.
13. Фейнман, Ричард Филлипс ; Лейтон, Роберт Бенджамин ; Сэндс, Мэтью Линзи (2013). «Квантовое поведение». Фейнмановские лекции по физике. Том III. Квантовая механика. Пасадена, Калифорния: Калифорнийский технологический институт.
14. Ло, Хой-Квонг; Попеску, Санду; Спиллер, Тим (1998). Введение в квантовые вычисления и информацию. Сингапур: World Scientific. дои : 10.1142/3724. ISBN 978-981-4496-35-3. ОСЛК  52859247.
15. Беннетт, Чарльз Х .; Шор, Питер Уиллистон (1998). «Квантовая теория информации». Транзакции IEEE по теории информации . 44 (6): 2724–2742. CiteSeerX 10.1.1.89.1572 . дои : 10.1109/18.720553. 
16. Гарлингхаус, Том (2020). «Квантовые вычисления: открытие новых возможностей». Открытие: исследования в Принстоне : 12–17.
17. Махан, Джеральд Д. (2009). Квантовая механика в двух словах . Принстон: Издательство Принстонского университета. дои : 10.2307/j.ctt7s8nw. ISBN 978-1-4008-3338-2. JSTOR  j.ctt7s8nw.
18. Перлман, HS (1964). «Эквивалентность картин Шрёдингера и Гейзенберга». Природа . 204 (4960): 771–772. Бибкод : 1964Natur.204..771P. дои : 10.1038/204771b0. S2CID  4194913.
19. Нойман, Джон фон (27 февраля 2018 г.). Математические основы квантовой механики: Новое издание. Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-17856-1.
20. Гордон, JP (1962). «Квантовые эффекты в системах связи». Труды ИРЭ . 50 (9): 1898–1908. дои : 10.1109/jrproc.1962.288169. S2CID  51631629.
21. Хелстром, Карл В. (1969). «Квантовая теория обнаружения и оценки». Журнал статистической физики . 1 (2): 231–252. дои : 10.1007/bf01007479. hdl : 2060/19690016211 . S2CID  121571330.
22. Хелстром, Карл В. (1976). Квантовое обнаружение и теория оценки . Математика в науке и технике. Том. 123. Нью-Йорк: Академик Пресс. дои : 10.1016/s0076-5392(08)x6017-5. hdl : 2060/19690016211. ISBN 9780080956329. ОКЛК  2020051.
23. Холево, Александр С. (1973). «Границы количества информации, передаваемой по квантовому каналу связи». Проблемы передачи информации . 9 (3): 177–183. МР  0456936. Збл  0317.94003.
24. Холево, Александр С. (1979). «О пропускной способности квантового канала связи». Проблемы передачи информации . 15 (4): 247–253. МР  0581651. Збл  0433.94008.
25. Беннетт, Чарльз Х .; Брассар, Жиль (2014). «Квантовая криптография: распределение открытых ключей и подбрасывание монеты». Теоретическая информатика . 560 (1): 7–11. arXiv : 2003.06557 . дои : 10.1016/j.tcs.2014.05.025. S2CID  27022972.
26. Вайсштейн, Эрик В. «Тезис Черча – Тьюринга». mathworld.wolfram.com . Проверено 13 ноября 2020 г.
27. Дойч, Дэвид (1985). «Квантовая теория, принцип Чёрча – Тьюринга и универсальный квантовый компьютер». Труды Лондонского королевского общества А: Математические и физические науки . 400 (1818): 97–117. Бибкод : 1985RSPSA.400...97D. дои : 10.1098/rspa.1985.0070. S2CID  1438116.
28. Мур, Гордон Эрл (1998). «Втиснение большего количества компонентов в интегральные схемы». Труды IEEE . 86 (1): 82–85. дои : 10.1109/jproc.1998.658762. S2CID  6519532.
29. Шеннон, Клод Э. (1948). «Математическая теория связи». Технический журнал Bell System . 27 (3): 379–423. doi :10.1002/j.1538-7305.1948.tb01338.x.
30. Шеннон, Клод Э. (1948). «Математическая теория связи». Технический журнал Bell System . 27 (4): 623–656. doi :10.1002/j.1538-7305.1948.tb00917.x.
31. Шеннон, Клод Э.; Уивер, Уоррен (1964). Математическая теория связи. Урбана: Издательство Университета Иллинойса. hdl : 11858/00-001M-0000-002C-4314-2.
32. "Александр С. Холево". Ми.рас.ру. _ Проверено 4 декабря 2018 г.
33. Сасскинд, Леонард ; Фридман, Искусство (2014). Квантовая механика: теоретический минимум. Что нужно знать, чтобы начать заниматься физикой. Нью-Йорк: Основные книги. ISBN 978-0-465-08061-8. ОСЛК  1038428525.
34. Видбрук, Кристиан; Пирандола, Стефано; Гарсиа-Патрон, Рауль; Серф, Николас Дж .; Ральф, Тимоти С .; Шапиро, Джеффри Х .; Ллойд, Сет (2012). «Гауссова квантовая информация». Обзоры современной физики . 84 (2): 621–669. arXiv : 1110.3234 . Бибкод : 2012RvMP...84..621W. doi : 10.1103/RevModPhys.84.621. S2CID  119250535.
35. Уотрус, Джон (2018). Теория квантовой информации. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/9781316848142. ISBN 9781316848142. ОСЛК  1034577167.
36. Уайльд, Марк М. (2017). Квантовая теория информации (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. arXiv : 1106.1445 . дои : 10.1017/9781316809976. ISBN 9781316809976.
37. Jaeger, Грегг (2007). Квантовая информация: обзор. Нью-Йорк: Спрингер. дои : 10.1007/978-0-387-36944-0. ISBN 978-0-387-36944-0. ОСЛК  255569451.
38. Беннетт, Чарльз Х. (1992). «Квантовая криптография с использованием любых двух неортогональных состояний». Письма о физических отзывах . 68 (21): 3121–3124. Бибкод : 1992PhRvL..68.3121B. doi : 10.1103/PhysRevLett.68.3121. PMID  10045619. S2CID  19708593.
39. Хайтьема, Март (2007). Обзор известных протоколов распределения квантовых ключей. Вашингтонский университет в Сент-Луисе. S2CID  18346434.