Китаевская цепь

Модель топологических сверхпроводников в физике

В физике конденсированного состояния цепь Китаева является упрощенной моделью топологического сверхпроводника . Она моделирует одномерную решетку с майорановскими связанными состояниями . Цепь Китаева использовалась в качестве игрушечной модели полупроводниковых нанопроводов для разработки топологических квантовых компьютеров . ^{[1] [2]} Модель была впервые предложена Алексеем Китаевым в 2000 году. ^[3]

Описание

Гамильтониан

Гамильтониан сильной связи в цепи Китаева рассматривает одномерную решетку с N узлами и бесспиновыми частицами при нулевой температуре, подверженную взаимодействиям ближайших соседей, заданным в формализме вторичного квантования как ^[4]

${\displaystyle H=-\mu \sum _{j=1}^{N}\left(c_{j}^{\dagger }c_{j}-{\frac {1}{2}}\right)+\sum _{j=1}^{N-1}\left[-t\left(c_{j+1}^{\dagger }c_{j}+c_{j}^{\dagger }c_{j+1}\right)+|\Delta |\left(c_{j+1}^{\dagger }c_{j}^{\dagger }+c_{j}c_{j+1}\right)\right]}$

где - химический потенциал , - операторы рождения и уничтожения , - энергия, необходимая для того, чтобы частица перескочила из одного места решетки в другое, - индуцированная сверхпроводящая щель (спаривание p-волн), - когерентная сверхпроводящая фаза. Этот гамильтониан имеет симметрию частица-дырка, а также симметрию обращения времени . ^[5] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle c_{j}^{\dagger },c_{j}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \Delta =|\Delta |e^{i\theta }}$ ${\displaystyle \theta }$

Гамильтониан можно переписать с использованием операторов Майораны, заданных формулой ^[4]

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\gamma _{j}^{A}=c_{j}^{\dagger }+c_{j}\\\gamma _{j}^{B}=i(c_{j}^{\dagger }-c_{j})\end{matrix}}\right.}$,

которые можно рассматривать как действительную и мнимую части оператора создания . Эти операторы Майораны являются эрмитовыми операторами и антикоммутируют , ${\displaystyle c_{j}={\tfrac {1}{2}}(\gamma _{j}^{A}+i\gamma _{j}^{B})}$

${\displaystyle \{\gamma _{j}^{A},\gamma _{k}^{B}\}=2\delta _{jk}}$.

Используя эти операторы, гамильтониан можно переписать как ^[4]

${\displaystyle H=-{\frac {i\mu }{2}}\sum _{j=1}^{N}\gamma _{j}^{B}\gamma _{j}^{A}+{\frac {i}{2}}\sum _{j=1}^{N-1}\left(\omega _{+}\gamma _{j}^{B}\gamma _{j+1}^{A}+\omega _{-}\gamma _{j+1}^{B}\gamma _{j}^{A}\right)}$

где . ${\displaystyle \omega _{\pm }=|\Delta |\pm t}$

Тривиальная фаза

В пределе получаем следующий гамильтониан ${\displaystyle t=|\Delta |\to 0}$

${\displaystyle H=-{\frac {i\mu }{2}}\sum _{j=1}^{N}\gamma _{j}^{B}\gamma _{j}^{A}}$

где операторы Майораны связаны на одном сайте. Это условие считается топологически тривиальной фазой. ^[5]

Нетривиальная фаза

В пределе и получаем следующий гамильтониан ${\displaystyle \mu \to 0}$ ${\displaystyle |\Delta |\to t}$

${\displaystyle H_{\rm {M}}=it\sum _{j=1}^{N-1}\gamma _{j}^{B}\gamma _{j+1}^{A}}$

где каждый оператор Майораны связан с оператором Майораны другого вида в следующем месте. При назначении нового оператора фермиона гамильтониан диагонализируется, как ${\displaystyle {\tilde {c}}_{j}={\tfrac {1}{2}}(\gamma _{j}^{B}+i\gamma _{j+1}^{A})}$

${\displaystyle H_{\rm {M}}=2t\sum _{j=1}^{N-1}\left({\tilde {c}}_{j}^{\dagger }{\tilde {c}}_{j}+{\frac {1}{2}}\right)}$

который описывает новый набор из N -1 квазичастиц Боголюбова с энергией t . Отсутствующая мода, заданная парами операторов Майораны из двух конечных точек цепи, поскольку эта мода не появляется в гамильтониане, она требует нулевой энергии. Эта мода называется нулевой модой Майораны и сильно делокализована. Поскольку наличие этой моды не изменяет полную энергию, основное состояние является дважды вырожденным. ^[4] Это состояние является топологической сверхпроводящей нетривиальной фазой. ^[5] ${\displaystyle {\tilde {c}}_{\rm {M}}={\tfrac {1}{2}}(\gamma _{N}^{B}+i\gamma _{1}^{A})}$

Существование нулевой моды Майораны топологически защищено от малых возмущений из-за соображений симметрии . Для цепочки Китаева нулевая мода Майораны сохраняется до тех пор, пока и сверхпроводящая щель конечна. ^[6] Надежность этих мод делает их кандидатом на кубиты в качестве основы для топологического квантового компьютера . ^[7] ${\displaystyle \mu <2t}$

Массовый случай

Используя формализм Боголюбова-де Жена, можно показать, что для объемного случая (бесконечное число узлов) энергия дает ^[6]

${\displaystyle E(k)=\pm {\sqrt {(2t\cos k+\mu )^{2}+4|\Delta |^{2}\sin ^{2}k}}}$,

и он щелевой, за исключением случая и волнового вектора . Для объемного случая нет нулевых мод. Однако топологический инвариант существует, заданный как ${\displaystyle \mu =2t}$ ${\displaystyle k=0}$

${\displaystyle Q=\mathrm {sign} \left\{\mathrm {pf} [iH(k=0)]\mathrm {pf} [iH(k=\pi )]\right\}}$,

где — пфаффовская операция. Для инвариант строго равен и для , что соответствует тривиальной и нетривиальной фазам из конечной цепи соответственно. Это соотношение между топологическим инвариантом из объемного случая и существованием нулевых мод Майораны в конечном случае называется соответствием объем-край. ^[6] ${\displaystyle \mathrm {pf} [x]}$ ${\displaystyle \mu >2t}$ ${\displaystyle Q=1}$ ${\displaystyle \mu <2t}$ ${\displaystyle Q=-1}$

Экспериментальные попытки

Одной из возможных реализаций цепей Китаева является использование полупроводниковых нанопроводов с сильным спин-орбитальным взаимодействием для снятия спинового вырождения, ^[8] как антимонид индия или арсенид индия . ^[9] Магнитное поле может быть применено для индуцирования зеемановской связи для спиновой поляризации провода и снятия вырождения Крамерса . ^[8] Сверхпроводящая щель может быть вызвана с помощью андреевского отражения , путем помещения провода в непосредственной близости от сверхпроводника. ^{[8] [9]} Также были предложены реализации с использованием трехмерных топологических изоляторов. ^[9]

Не существует единого окончательного способа проверки нулевых мод Майораны. Одно из предложений экспериментального наблюдения этих мод — использование сканирующей туннельной микроскопии . ^[9] Пик нулевого смещения в проводимости может быть признаком топологической фазы. ^[9] Эффект Джозефсона между двумя проводами в сверхпроводящей фазе также может помочь продемонстрировать эти моды. ^[9]

В 2023 году команда QuTech из Делфтского технического университета сообщила о реализации «бедного» Майораны, которая представляет собой связанное состояние Майораны, которое не защищено топологически и, следовательно, стабильно только для очень небольшого диапазона параметров. ^{[1] [2]} Оно было получено в цепочке Китаева, состоящей из двух квантовых точек в сверхпроводящей нанопроволоке, сильно связанных нормальным туннелированием и туннелированием Андреева, причем состояние возникает, когда скорость обоих. ^{[1] [2]} Некоторые исследователи высказывают опасения, предполагая, что альтернативный механизм связанных состояний Майораны может объяснить полученные данные. ^{[2] [7]}

Смотрите также

• Цепочка Су – Шриффера – Хигера

Ссылки

1. Райт, Кэтрин (15.02.2023). «Найдены доказательства существования «двоюродного брата» Майораны». Физика . 16 : 24. Bibcode : 2023PhyOJ..16...24W. doi : 10.1103/Physics.16.24.
2. "'Майораны для бедных' предлагают испытательный полигон для изучения возможных кубитов". Physics World . 2024 . Получено 2024-09-10 .
3. Китаев, А Ю (2001-10-01). "Неспаренные майорановские фермионы в квантовых проволоках". Успехи физических наук . 44 (10S): 131–136. arXiv : cond-mat/0010440 . doi :10.1070/1063-7869/44/10S/S29. ISSN  1468-4780.
4. Шеперс, Томас (10 мая 2021 г.). Полупроводниковая спинтроника. Вальтер де Грюйтер ГмбХ & Ко КГ. ISBN 978-3-11-063900-1.
5. Stanescu, Tudor D. (2024-07-02). Введение в топологическую квантовую материю и квантовые вычисления. CRC Press. ISBN 978-1-040-04198-7.
6. Topology (2021). "Соответствие Bulk-edge в цепи Китаева". Онлайн-курс по топологии в конденсированном состоянии - Делфтский технический университет .
7. Ball, Philip (29.09.2021). «Основная стратегия квантовых вычислений терпит серьезные неудачи». Quanta Magazine . Получено 10.09.2024 .
8. Topology (2021). «От цепи Китаева до нанопровода». Онлайн-курс по топологии в конденсированном состоянии – Делфтский университет .
9. Чен, Фэй; Матерн, Стефани (2014). «Китаевская цепь» (PDF) . Оберсеминар: Квантовые узлы – проф. д-р А. Рош, проф. д-р С. Требст – Кёльнский университет .