Квантовое туннелирование

Квантово-механическое явление

В физике квантовое туннелирование , проникновение через барьер или просто туннелирование — это квантово-механическое явление, при котором такой объект, как электрон или атом, проходит через потенциальный энергетический барьер , который, согласно классической механике , не должен быть проходим из-за того, что объект не имеет достаточно энергии, чтобы пройти или преодолеть барьер.

Туннелирование является следствием волновой природы материи , где квантовая волновая функция описывает состояние частицы или другой физической системы , а волновые уравнения, такие как уравнение Шредингера, описывают их поведение. Вероятность прохождения волнового пакета через барьер уменьшается экспоненциально с высотой барьера, шириной барьера и массой туннелирующей частицы, поэтому туннелирование наиболее заметно наблюдается у частиц малой массы, таких как электроны или протоны , туннелирующих через микроскопически узкие барьеры. Туннелирование легко обнаружить с помощью барьеров толщиной около 1–3 нм или меньше для электронов и около 0,1 нм или меньше для более тяжелых частиц, таких как протоны или атомы водорода. ^[1] Некоторые источники описывают простое проникновение волновой функции в барьер без передачи на другую сторону как эффект туннелирования, например, при туннелировании в стенки конечной потенциальной ямы . ^{[2] [3]}

Туннелирование играет важную роль в таких физических явлениях, как ядерный синтез ^[4] и альфа-радиоактивный распад атомных ядер. Приложения для туннелирования включают туннельный диод , ^[5] квантовые вычисления , флэш-память и сканирующий туннельный микроскоп . Туннелирование ограничивает минимальный размер устройств, используемых в микроэлектронике , поскольку электроны легко туннелируют через изолирующие слои и транзисторы толщиной менее 1 нм. ^{[6] [7]}

Эффект был предсказан в начале 20 века. Его признание как общего физического явления произошло в середине века. ^[8]

Введение в концепцию

Анимация, показывающая эффект туннеля и его применение в СТМ.

Квантовое туннелирование подпадает под область квантовой механики : изучение того, что происходит на квантовом уровне , что классическая механика не может объяснить. Чтобы понять это явление , частицы, пытающиеся пересечь потенциальный барьер , можно сравнить с мячом, пытающимся перекатиться через холм. Квантовая механика и классическая механика по-разному трактуют этот сценарий.

Классическая механика предсказывает, что частицы, которым не хватает энергии для классического преодоления барьера, не могут достичь другой стороны. Таким образом, мяч, у которого недостаточно энергии для преодоления холма, покатится обратно вниз. В квантовой механике частица может с небольшой вероятностью туннелировать на другую сторону, пересекая таким образом барьер. Причина этого различия кроется в том, что материя рассматривается как обладающая свойствами волн и частиц .

Проблема туннелирования

Моделирование падения волнового пакета на потенциальный барьер. В относительных единицах энергия барьера равна 20, что больше, чем средняя энергия волнового пакета, равная 14. Часть волнового пакета проходит через барьер.

Волновая функция физической системы частиц определяет все, что можно знать о системе. ^[9] Таким образом, задачи квантовой механики анализируют волновую функцию системы. Используя математические формулировки, такие как уравнение Шредингера , можно вывести временную эволюцию известной волновой функции. Квадрат абсолютного значения этой волновой функции напрямую связан с распределением вероятностей положений частиц, которое описывает вероятность того, что частицы будут измерены в этих положениях.

Как показано на анимации, волновой пакет падает на барьер, большая его часть отражается, а часть проходит через барьер. Волновой пакет становится более делокализованным: теперь он находится по обе стороны барьера и имеет меньшую максимальную амплитуду, но равен по интегральной квадратической величине, а это означает, что вероятность того, что частица где-то находится , остается единицей. Чем шире барьер и выше энергия барьера, тем меньше вероятность туннелирования.

Некоторые модели туннельного барьера, такие как показанные прямоугольные барьеры , можно анализировать и решать алгебраически. ^{[10] : 96} Большинство задач не имеют алгебраического решения, поэтому используются численные решения. « Квазиклассические методы » предлагают приближенные решения, которые легче вычислить, например, приближение ВКБ .

История

Уравнение Шредингера было опубликовано в 1926 году. Первым, кто применил уравнение Шредингера к задаче туннелирования между двумя классически разрешенными областями через потенциальный барьер, был Фридрих Хунд в серии статей, опубликованных в 1927 году. Он изучал решения двойного уравнения Шредингера . -ямный потенциал и обсуждаемые молекулярные спектры . ^[11] Леонид Мандельштам и Михаил Леонтович независимо открыли туннелирование и опубликовали свои результаты в 1928 году. ^[12]

В 1927 году Лотар Нордхейм при содействии Ральфа Фаулера опубликовал статью, в которой обсуждалась термоэлектронная эмиссия и отражение электронов от металлов. Он предположил наличие поверхностного потенциального барьера, который удерживает электроны внутри металла, и показал, что электроны имеют конечную вероятность туннелирования через поверхностный барьер или отражения от него, когда их энергия близка к энергии барьера. Классически электрон будет либо передавать, либо отражать со 100% уверенностью, в зависимости от его энергии. В 1928 году Дж. Роберт Оппенгеймер опубликовал две статьи по автоэмиссии , т. е. эмиссии электронов, индуцированной сильными электрическими полями. Нордхейм и Фаулер упростили вывод Оппенгеймера и нашли значения излучаемых токов и работ выхода , которые согласовались с экспериментами. ^[11]

Большим успехом туннельной теории стало математическое объяснение альфа-распада , которое было разработано в 1928 году Джорджем Гамовым и независимо Рональдом Герни и Эдвардом Кондоном . ^{[13] [14] [15] [16]} Последние исследователи одновременно решили уравнение Шрёдингера для модельного ядерного потенциала и получили зависимость между периодом полураспада частицы и энергией испускания, которая напрямую зависела от математической вероятности туннелирование. Все трое исследователей были знакомы с работами по автоэлектронной эмиссии ^[11] , а Гамов был знаком с открытиями Мандельштама и Леонтовича. ^[17]

На заре квантовой теории термин «туннельный эффект» не использовался, а вместо этого эффект назывался проникновением или просачиванием через барьер. Немецкий термин wellenmechanische Tunneleffect был использован в 1931 году Вальтером Шоттки. Английский термин «туннельный эффект» вошел в язык в 1932 году, когда его использовал Яков Френкель в своем учебнике. ^[11]

В 1957 году Лео Эсаки продемонстрировал туннелирование электронов через барьер шириной несколько нанометров в полупроводниковой структуре и разработал диод, основанный на туннельном эффекте. ^[18] В 1960 году, следуя за работой Эсаки, Ивар Гиавер экспериментально показал, что туннелирование также имеет место в сверхпроводниках . Туннельный спектр прямо свидетельствовал о существовании сверхпроводящей энергетической щели . В 1962 году Брайан Джозефсон предсказал туннелирование сверхпроводящих куперовских пар . Эсаки, Гиавер и Джозефсон получили Нобелевскую премию по физике 1973 года за свои работы по квантовому туннелированию в твердых телах. ^{[19] [8]}

В 1981 году Герд Бинниг и Генрих Рорер разработали новый тип микроскопа, названный сканирующим туннельным микроскопом , который основан на туннелировании и используется для получения изображений поверхностей на атомном уровне. За свое открытие Бинниг и Рорер были удостоены Нобелевской премии по физике в 1986 году. ^[20]

Приложения

Туннелирование является причиной некоторых важных макроскопических физических явлений.

Физика твердого тела

Электроника

Туннелирование является источником утечки тока в электронике сверхбольших интеграторов (СБИС) и приводит к существенному энергопотреблению и нагреванию, от которых страдают такие устройства. Это считается нижним пределом изготовления элементов микроэлектронных устройств. ^[21] Туннелирование — это фундаментальный метод, используемый для программирования плавающих вентилей флэш-памяти .

Холодная эмиссия

Холодная эмиссия электронов имеет отношение к физике полупроводников и сверхпроводников . Это похоже на термоэлектронную эмиссию , когда электроны случайным образом выпрыгивают с поверхности металла, следуя напряжению смещения, потому что статистически они получают больше энергии, чем барьер, в результате случайных столкновений с другими частицами. Когда электрическое поле очень велико, барьер становится достаточно тонким, чтобы электроны туннелировали из атомного состояния, что приводит к возникновению тока, который изменяется примерно экспоненциально в зависимости от электрического поля. ^[22] Эти материалы важны для флэш-памяти, электронных ламп, а также некоторых электронных микроскопов.

Туннельный переход

Простой барьер можно создать, разделив два проводника очень тонким изолятором . Это туннельные переходы, изучение которых требует понимания квантового туннелирования. ^[23] Джозефсоновские контакты используют преимущества квантового туннелирования и сверхпроводимости для создания эффекта Джозефсона . Это находит применение в прецизионных измерениях напряжения и магнитных полей ^[22] , а также в многопереходных солнечных элементах .

Туннельный диод

Рабочий механизм резонансно-туннельного диодного устройства, основанный на явлении квантового туннелирования через потенциальные барьеры.

Диоды — это электрические полупроводниковые устройства , которые пропускают электрический ток в одном направлении больше, чем в другом. Для достижения своей цели устройство зависит от обедненного слоя между полупроводниками N-типа и P-типа . Когда они сильно легированы, обедненный слой может быть достаточно тонким для туннелирования. При приложении небольшого прямого смещения ток туннелирования становится значительным. Оно имеет максимум в точке, где напряжение смещения таково, что энергетические уровни p- и n- зон проводимости одинаковы. По мере увеличения напряжения смещения две зоны проводимости больше не совпадают, и диод работает как обычно. ^[24]

Поскольку туннельный ток быстро падает, можно создать туннельные диоды с диапазоном напряжений, в котором ток уменьшается с увеличением напряжения. Это своеобразное свойство используется в некоторых приложениях, например, в высокоскоростных устройствах, где характерная вероятность туннелирования меняется так же быстро, как и напряжение смещения. ^[24]

Резонансно -туннельный диод использует квантовое туннелирование совершенно другим способом для достижения аналогичного результата. Этот диод имеет резонансное напряжение, при котором ток благоприятствует определенному напряжению, что достигается путем размещения двух тонких слоев с зоной проводимости высокой энергии рядом друг с другом. Это создает квантовую потенциальную яму , которая имеет дискретный самый низкий энергетический уровень . Когда этот энергетический уровень выше, чем у электронов, туннелирование не происходит и диод находится в обратном смещении. Как только энергии двух напряжений совпадают, электроны текут как по разомкнутому проводу. По мере дальнейшего увеличения напряжения туннелирование становится маловероятным, и диод снова начинает действовать как обычный диод, прежде чем станет заметным второй уровень энергии. ^[25]

Туннельные полевые транзисторы

Европейский исследовательский проект продемонстрировал полевые транзисторы , в которых затвор (канал) управляется посредством квантового туннелирования, а не термической инжекции, что снижает напряжение затвора с ≈1 вольта до 0,2 вольта и снижает энергопотребление до 100 раз. Если эти транзисторы можно будет масштабировать в микросхемы СБИС , они улучшат производительность интегральных схем на единицу мощности . ^{[26] [27]}

Проводимость кристаллических твердых тел

Хотя модель электропроводности Друде-Лоренца дает превосходные предсказания о природе электронов, проводящих в металлах, ее можно расширить, используя квантовое туннелирование для объяснения природы столкновений электронов. ^[22] Когда волновой пакет свободных электронов сталкивается с длинным массивом равномерно расположенных барьеров , отраженная часть волнового пакета равномерно интерферирует с переданным между всеми барьерами, так что становится возможной 100% передача. Теория предсказывает, что если положительно заряженные ядра образуют идеально прямоугольную решетку, электроны будут туннелировать сквозь металл как свободные электроны, что приведет к чрезвычайно высокой проводимости , и что примеси в металле нарушат ее. ^[22]

Сканирующий туннельный микроскоп

Сканирующий туннельный микроскоп (СТМ), изобретенный Гердом Биннигом и Генрихом Рорером , может позволить получать изображения отдельных атомов на поверхности материала. ^[22] Он работает, используя взаимосвязь между квантовым туннелированием и расстоянием. Когда кончик иглы СТМ приближается к проводящей поверхности, имеющей напряжение смещения, измерение тока электронов, туннелирующих между иглой и поверхностью, позволяет определить расстояние между иглой и поверхностью. Используя пьезоэлектрические стержни , размер которых изменяется при подаче напряжения, высоту наконечника можно регулировать, чтобы поддерживать постоянный туннельный ток. Изменяющиеся во времени напряжения, подаваемые на эти стержни, можно записать и использовать для изображения поверхности проводника. ^[22] СТМ имеют точность до 0,001 нм, или около 1% атомного диаметра. ^[25]

Ядерная физика

Термоядерная реакция

Квантовое туннелирование — важное явление для ядерного синтеза. Температура в ядрах звезд обычно недостаточна для того, чтобы позволить атомным ядрам преодолеть кулоновский барьер и достичь термоядерного синтеза . Квантовое туннелирование увеличивает вероятность преодоления этого барьера. Хотя эта вероятность все еще мала, чрезвычайно большого количества ядер в ядре звезды достаточно для поддержания устойчивой реакции синтеза. ^[28]

Радиоактивный распад

Радиоактивный распад — это процесс выброса частиц и энергии из нестабильного ядра атома с образованием стабильного продукта. Это осуществляется посредством туннелирования частицы из ядра (туннелирование электрона в ядро ​​— это захват электрона ). Это было первое применение квантового туннелирования. Радиоактивный распад является актуальной проблемой для астробиологии , поскольку это последствие квантового туннелирования создает постоянный источник энергии в течение большого интервала времени для сред за пределами околозвездной обитаемой зоны, где инсоляция невозможна ( подповерхностные океаны ) или эффективна. ^[28]

Квантовое туннелирование может быть одним из механизмов гипотетического распада протона . ^{[29] [30]}

Химия

Кинетический изотопный эффект

В химической кинетике замена легкого изотопа элемента на более тяжелый обычно приводит к снижению скорости реакции. Обычно это объясняется различиями в энергиях нулевых колебаний химических связей, содержащих более легкие и тяжелые изотопы, и обычно моделируется с использованием теории переходного состояния . Однако в некоторых случаях наблюдаются большие изотопные эффекты, которые невозможно объяснить полуклассическим подходом, и требуется квантовое туннелирование. Р.П. Белл разработал модифицированную трактовку кинетики Аррениуса, которая обычно используется для моделирования этого явления. ^[31]

Астрохимия в межзвездных облаках

Включив квантовое туннелирование, можно объяснить астрохимический синтез различных молекул в межзвездных облаках , например, синтез молекулярного водорода , воды ( льда ) и важного пребиотического формальдегида . ^[28] В лаборатории наблюдалось туннелирование молекулярного водорода. ^[32]

Квантовая биология

Квантовое туннелирование является одним из центральных нетривиальных квантовых эффектов в квантовой биологии . ^[33] Здесь важно как туннелирование электронов, так и туннелирование протонов . Туннелирование электронов является ключевым фактором во многих биохимических окислительно-восстановительных реакциях ( фотосинтезе , клеточном дыхании ), а также ферментативном катализе. Туннелирование протонов является ключевым фактором спонтанной мутации ДНК . ^[28]

Спонтанная мутация возникает, когда нормальная репликация ДНК происходит после туннелирования особенно значимого протона. ^[34] Водородная связь соединяет пары оснований ДНК. Двойной потенциал ямы вдоль водородной связи разделяет потенциальный энергетический барьер. Считается, что потенциал двойной ямы асимметричен: одна яма глубже другой, так что протон обычно находится в более глубокой яме. Чтобы произошла мутация, протон должен туннелировать в более мелкую яму. Движение протона из своего обычного положения называется таутомерным переходом . Если репликация ДНК происходит в этом состоянии, правило спаривания оснований ДНК может оказаться под угрозой, что приведет к мутации. ^[35] Пер-Олов Ловдин был первым, кто разработал теорию спонтанных мутаций внутри двойной спирали . Другие случаи мутаций, вызванных квантовым туннелированием, в биологии считаются причиной старения и рака. ^[36]

Математическая дискуссия

Квантовое туннелирование через барьер. Энергия туннелируемой частицы та же самая, но амплитуда вероятности уменьшается.

Уравнение Шрёдингера

Независимое от времени уравнение Шредингера для одной частицы в одном измерении можно записать как

$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)}$$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x)\equiv {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x),}$$

где

• ${\displaystyle \hbar }$– приведенная постоянная Планка ,
• m – масса частицы,
• x представляет собой расстояние, измеренное в направлении движения частицы,
• Ψ — волновая функция Шрёдингера,
• V — потенциальная энергия частицы (измеряется относительно любого удобного уровня отсчета),
• E — энергия частицы, связанная с движением по оси x (измеренная относительно V ),
• M ( x ) — это величина, определяемая V ( x ) − E , которая не имеет общепринятого названия в физике.

Решения уравнения Шрёдингера принимают разные формы для разных значений x , в зависимости от того, является ли M ( x ) положительным или отрицательным. Когда M ( x ) постоянно и отрицательно, уравнение Шредингера можно записать в виде

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x)=-k^{2}\Psi (x),\qquad {\text{where}}\quad k^{2}=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M.}$$

Решения этого уравнения представляют собой бегущие волны с фазовой постоянной + k или - k . Альтернативно, если M ( x ) постоянно и положительно, то уравнение Шредингера можно записать в виде

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x)={\kappa }^{2}\Psi (x),\qquad {\text{where}}\quad {\kappa }^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M.}$$

Решениями этого уравнения являются возрастающие и падающие экспоненты в виде затухающих волн . Когда M ( x ) меняется в зависимости от положения, возникает такая же разница в поведении, в зависимости от того, является ли M (x) отрицательным или положительным. Отсюда следует, что знак M ( x ) определяет природу среды: отрицательное M (x) соответствует среде A, а положительное M ( x ) соответствует среде B. Отсюда следует, что связь затухающих волн может произойти, если область положительный M ( x ) зажат между двумя областями отрицательного M ( x ), создавая тем самым потенциальный барьер.

Математическое решение ситуации, когда M ( x ) изменяется в зависимости от x, сложна, за исключением особых случаев, которые обычно не соответствуют физической реальности. Полное математическое рассмотрение представлено в монографии Фремана и Фремана 1965 года. Их идеи не вошли в учебники физики, но их исправления не имеют количественного эффекта.

Приближение ВКБ

Волновая функция выражается как экспонента функции:

$${\displaystyle \Psi (x)=e^{\Phi (x)},}$$

$${\displaystyle \Phi ''(x)+\Phi '(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right).}$$

${\displaystyle \Phi '(x)}$затем разделяется на действительную и мнимую части:

$${\displaystyle \Phi '(x)=A(x)+iB(x),}$$

AxBx

Подстановка второго уравнения в первое и использование того факта, что действительная часть должна быть равна 0, приводит к:

$${\displaystyle A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right).}$$

Квантовое туннелирование в формулировке квантовой механики в фазовом пространстве . Функция Вигнера для туннелирования через потенциальный барьер в атомных единицах (а.е.). Сплошные линии представляют набор уровней гамильтониана . ${\displaystyle U(x)=8e^{-0.25x^{2}}}$ ${\displaystyle H(x,p)=p^{2}/2+U(x)}$

Чтобы решить это уравнение с использованием квазиклассического приближения, каждую функцию необходимо разложить в степенной ряд по . Судя по уравнениям, степенной ряд должен начинаться как минимум с порядка, чтобы удовлетворять действительной части уравнения; для хорошего классического предела предпочтительнее начинать с максимально возможной степени постоянной Планка , что приводит к ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \hbar ^{-1}}$

$${\displaystyle A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}A_{k}(x)}$$

$${\displaystyle B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}B_{k}(x),}$$

$${\displaystyle A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)}$$

$${\displaystyle A_{0}(x)B_{0}(x)=0.}$$

Здесь можно рассмотреть два крайних случая.

Дело 1

Если амплитуда изменяется медленно по сравнению с фазой и ${\displaystyle A_{0}(x)=0}$

$${\displaystyle B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}}$$

$${\displaystyle \Psi (x)\approx C{\frac {e^{i\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}+\theta }}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}}$$

Случай 2

Если фаза изменяется медленно по сравнению с амплитудой и ${\displaystyle B_{0}(x)=0}$

$${\displaystyle A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}}$$

$${\displaystyle \Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}+C_{-}e^{-\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}$$

В обоих случаях из знаменателя видно, что оба этих приближенных решения плохи вблизи классических точек поворота . Вдали от потенциального холма частица действует подобно свободной колеблющейся волне; под потенциальным холмом частица претерпевает экспоненциальные изменения амплитуды. Рассмотрев поведение в этих пределах и в классических поворотных точках, можно найти глобальное решение. ${\displaystyle E=V(x)}$

Для начала выбирается классическая поворотная точка, которая разлагается в степенной ряд : ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$ ${\displaystyle x_{1}}$

$${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=v_{1}(x-x_{1})+v_{2}(x-x_{1})^{2}+\cdots }$$

Сохранение только члена первого порядка обеспечивает линейность:

$${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=v_{1}(x-x_{1}).}$$

Используя это приближение, уравнение вблизи становится дифференциальным уравнением : ${\displaystyle x_{1}}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=v_{1}(x-x_{1})\Psi (x).}$$

Эту проблему можно решить, используя в качестве решения функции Эйри .

$${\displaystyle \Psi (x)=C_{A}Ai\left({\sqrt[{3}]{v_{1}}}(x-x_{1})\right)+C_{B}Bi\left({\sqrt[{3}]{v_{1}}}(x-x_{1})\right)}$$

Взяв эти решения для всех классических поворотных точек, можно сформировать глобальное решение, связывающее предельные решения. Учитывая два коэффициента по одну сторону классической точки поворота, два коэффициента по другую сторону классической точки поворота можно определить, используя это локальное решение для их соединения.

Следовательно, решения функции Эйри будут асимптотически относиться к синусоидальным, косинусным и экспоненциальным функциям в соответствующих пределах. Отношения между и ${\displaystyle C,\theta }$ ${\displaystyle C_{+},C_{-}}$

$${\displaystyle C_{+}={\frac {1}{2}}C\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}}$$

Квантовое туннелирование через барьер. В начале координат ( x = 0) находится очень высокий, но узкий потенциальный барьер. Виден значительный туннельный эффект.

${\displaystyle C_{-}=-C\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}}$

Найдя коэффициенты, можно найти глобальное решение. Следовательно, коэффициент прохождения частицы, туннелирующей через один потенциальный барьер, равен

$${\displaystyle T(E)=e^{-2\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left[V(x)-E\right]}}},}$$

где – две классические точки поворота потенциального барьера. ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$

Для прямоугольного барьера это выражение упрощается до:

$${\displaystyle T(E)=e^{-2{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V_{0}-E)}}(x_{2}-x_{1})}.}$$

Быстрее, чем свет

Некоторые физики утверждают, что частицы с нулевым спином могут двигаться при туннелировании со скоростью, превышающей скорость света . ^[8] Похоже, это нарушает принцип причинности , поскольку тогда существует система отсчета, в которую частица попадает прежде, чем она уйдет. В 1998 году Фрэнсис Э. Лоу кратко рассмотрел явление туннелирования с нулевым временем. ^[37] Совсем недавно экспериментальные данные о времени туннелирования фононов , фотонов и электронов были опубликованы Гюнтером Нимцем . ^[38]

Другие физики, такие как Герберт Уинфул , ^[39] оспаривали эти утверждения. Уинфул утверждал, что волновой пакет туннелирующей частицы распространяется локально, поэтому частица не может туннелировать через барьер нелокально. Уинфул также утверждал, что эксперименты, которые должны были показать нелокальное распространение, были неверно истолкованы. В частности, групповая скорость волнового пакета не измеряет его скорость, а связана с количеством времени, в течение которого волновой пакет хранится в барьере. Но проблема остается в том, что волновая функция все равно растет внутри барьера во всех точках одновременно. Другими словами, в любой области, недоступной для измерения, нелокальное распространение по-прежнему математически достоверно.

Эксперимент 2020 года, проведенный под руководством Эфраима М. Стейнберга , показал, что частицы должны быть способны туннелировать с кажущейся скоростью, превышающей скорость света. ^{[40] [41]}

Динамическое туннелирование

Квантовые туннельные колебания вероятности в интегрируемой двойной потенциальной яме в фазовом пространстве

Концепцию квантового туннелирования можно распространить на ситуации, когда существует квантовый транспорт между областями, которые классически не связаны между собой, даже если нет соответствующего потенциального барьера. Это явление известно как динамическое туннелирование. ^{[42] [43]}

Туннелирование в фазовом пространстве

Концепция динамического туннелирования особенно подходит для решения проблемы квантового туннелирования в больших измерениях (d>1). В случае интегрируемой системы , где ограниченные классические траектории ограничены торами в фазовом пространстве , туннелирование можно понимать как квантовый транспорт между квазиклассическими состояниями, построенными на двух различных, но симметричных торах. ^[44]

Туннелирование с помощью хаоса

Туннельные колебания, вызванные хаосом, между двумя правильными торами, погруженными в хаотическое море, видимые в фазовом пространстве

В реальной жизни большинство систем неинтегрируемы и демонстрируют различную степень хаоса. Тогда говорят, что классическая динамика является смешанной, и фазовое пространство системы обычно состоит из островов регулярных орбит, окруженных большим морем хаотических орбит. Существование хаотического моря, где транспорт классически разрешен, между двумя симметричными торами способствует квантовому туннелированию между ними. Это явление называется туннелированием с помощью хаоса. ^[45] и характеризуется резкими резонансами скорости туннелирования при изменении любого параметра системы.

Резонансное туннелирование

Когда он мал по сравнению с размером регулярных островов, тонкая структура классического фазового пространства играет ключевую роль в туннелировании. В частности, два симметричных тора связаны «посредством последовательности классически запрещенных переходов через нелинейные резонансы», окружающих два острова. ^[46] ${\displaystyle \hbar }$

Связанные явления

Некоторые явления ведут себя так же, как квантовое туннелирование, и могут быть точно описаны с помощью туннелирования. Примеры включают туннелирование классической ассоциации волна-частица, ^[47] связь затухающих волн (применение волнового уравнения Максвелла к свету ) и применение недисперсионного волнового уравнения из акустики применительно к «волнам на струнах» . Взаимодействие затухающих волн до недавнего времени в квантовой механике называлось только «туннелированием»; теперь оно используется в других контекстах.

Эти эффекты моделируются аналогично прямоугольному потенциальному барьеру . В этих случаях одна передающая среда , через которую распространяется волна , одинакова или почти одинакова во всем, и вторая среда, через которую волна распространяется по-разному. Это можно описать как тонкую область среды B между двумя областями среды A. Анализ прямоугольного барьера с помощью уравнения Шредингера можно адаптировать к этим другим эффектам при условии, что волновое уравнение имеет решения в виде бегущей волны в среде A, но действительные экспоненциальные решения в среде Б.

В оптике среда А — это вакуум, а среда Б — стекло. В акустике среда А может быть жидкостью или газом, а среда Б — твердым телом. В обоих случаях среда A представляет собой область пространства, в которой полная энергия частицы превышает ее потенциальную энергию , а среда B является потенциальным барьером. У них есть входящая волна и результирующие волны в обоих направлениях. Средств и барьеров может быть больше, и барьеры не обязательно должны быть дискретными. В этом случае полезны аппроксимации.

Смотрите также

• Диэлектрический барьерный разряд
• Полевая электронная эмиссия
• Метод Гольштейна – Херринга
• Туннелирование протонов
• Квантовое клонирование
• Сверхпроводящий туннельный переход
• Туннельный диод
• Туннельный переход
• Белая дыра

Рекомендации

1. Лернер; Тригг (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Нью-Йорк: ВЧ. п. 1308. ИСБН 978-0-89573-752-6.
2. Дэвис, PCW (6 мая 2004 г.). «Квантовая механика и принцип эквивалентности». Классическая и квантовая гравитация . 21 (11): 2761–2772. arXiv : Quant-ph/0403027 . дои : 10.1088/0264-9381/21.11.017. ISSN  0264-9381. Но квантовые частицы способны туннелировать в классически запрещенную область...
3. Фаулер, Майкл. «Частица в конечном ящике и туннелирование». LibreTexts Химия . Проверено 4 сентября 2023 г. Возможно туннелирование в преграду (стену).
4. Сервей; Вуй (2008). Колледж физики . Том. 2 (Восьмое изд.). Бельмонт: Брукс/Коул. ISBN 978-0-495-55475-2.
5. Тейлор, Дж. (2004). Современная физика для ученых и инженеров . Прентис Холл. п. 234. ИСБН 978-0-13-805715-2.
6. «Объяснение квантовых компьютеров - пределы человеческих технологий» . youtube.com . Курцгезагт. 8 декабря 2017 г. Архивировано из оригинала 21 декабря 2021 г. Проверено 30 декабря 2017 г.
7. «Квантовые эффекты на 7/5 нм и дальше». Полупроводниковая техника . Проверено 15 июля 2018 г.
8. Разави, Мохсен (2003). Квантовая теория туннелирования . Всемирная научная. стр. 4, 462. ISBN. 978-9812564887.
9. Бьоркен и Дрелл, Релятивистская квантовая механика , Колледж Макгроу-Хилл, 1965. с. 2
10. Мессия, Альберт (1966). Квантовая механика. Северная Голландия, Джон Уайли и сыновья. ISBN 0486409244.
11. Мерцбахер, Ойген (август 2002 г.). «Ранняя история квантового туннелирования». Физика сегодня . 55 (8): 44–49. Бибкод :2002ФТ....55ч..44М. дои : 10.1063/1.1510281 . Проверено 17 августа 2022 г. Фридрих Хунд... был первым, кто применил квантовомеханическое преодоление барьеров...
12. Мандельштам, Л.; Леонтович, М. (1928). «Zur Theorie der Schrödingerschen Gleichung». Zeitschrift für Physik . 47 (1–2): 131–136. Бибкод : 1928ZPhy...47..131M. дои : 10.1007/BF01391061. S2CID  125101370.
13. Герни, RW; Кондон, ЕС (1928). «Квантовая механика и радиоактивный распад». Природа . 122 (3073): 439. Бибкод : 1928Natur.122..439G. дои : 10.1038/122439a0 . S2CID  4090561.
14. Герни, RW; Кондон, ЕС (1929). «Квантовая механика и радиоактивный распад». Физический обзор . 33 (2): 127–140. Бибкод : 1929PhRv...33..127G. дои : 10.1103/PhysRev.33.127.
15. Бете, Ганс (27 октября 1966 г.). «Ганс Бете – Сессия I». Библиотека и архив Нильса Бора, Американский институт физики, Колледж-Парк, Мэриленд, США (интервью). Беседовал Чарльз Вайнер; Джагдиш Мехра . Cornell University . Проверено 1 мая 2016 г.
16. Фридлендер, Герхарт; Кеннеди, Джозеф Э.; Миллер, Джулиан Малкольм (1964). Ядерная и радиохимия (2-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 225–7. ISBN 978-0-471-86255-0.
17. Фейнберг, Э.Л. (2002). «Праотец (о Леониде Исааковиче Мандельштаме)». Успехи физики . 45 (1): 81–100. Бибкод : 2002PhyU...45...81F. doi : 10.1070/PU2002v045n01ABEH001126. S2CID  250780246.
18. Эсаки, Лео (22 марта 1974 г.). «Долгий путь в туннелирование». Наука . 183 (4130): 1149–1155. Бибкод : 1974Sci...183.1149E. дои : 10.1126/science.183.4130.1149. ISSN  0036-8075. PMID  17789212. S2CID  44642243.
19. Дардо, М. (Мауро) (2004). Нобелевские лауреаты и физика двадцатого века. Интернет-архив. Кембридж, Великобритания ; Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-83247-2.
20. Бинниг Г., Рорер Х. (1 июля 1987 г.). «Сканирующая туннельная микроскопия - от рождения до подросткового возраста». Обзоры современной физики . 59 (3): 615–625. Бибкод : 1987RvMP...59..615B. дои : 10.1103/RevModPhys.59.615 .
21. «Применение туннелирования». psi.phys.wits.ac.za.​ Проверено 30 апреля 2023 г.
22. Тейлор, Дж. (2004). Современная физика для ученых и инженеров . Прентис Холл. п. 479. ИСБН 978-0-13-805715-2.
23. Лернер; Тригг (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Нью-Йорк: ВЧ. стр. 1308–1309. ISBN 978-0-89573-752-6.
24. Крейн, Кеннет (1983). Современная физика. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. п. 423. ИСБН 978-0-471-07963-7.
25. Найт, Р.Д. (2004). Физика для ученых и инженеров: с современной физикой . Пирсон Образование. п. 1311. ИСБН 978-0-321-22369-2.
26. Ионеску, Адриан М.; Риэль, Хайке (2011). «Туннельные полевые транзисторы как энергоэффективные электронные переключатели». Природа . 479 (7373): 329–337. Бибкод : 2011Natur.479..329I. дои : 10.1038/nature10679. PMID  22094693. S2CID  4322368.
27. Вьяс, ПБ; Накин, К.; Эдвардс, Х.; Ли, М.; Ванденберге, В.Г.; Фишетти, М.В. (23 января 2017 г.). «Теоретическое моделирование отрицательной дифференциальной крутизны в nMOS-устройствах с боковой квантовой ямой». Журнал прикладной физики . 121 (4): 044501. Бибкод : 2017JAP...121d4501V. дои : 10.1063/1.4974469. ISSN  0021-8979.
28. Трикслер, Ф. (2013). «Квантовое туннелирование к происхождению и эволюции жизни». Современная органическая химия . 17 (16): 1758–1770. дои : 10.2174/13852728113179990083. ПМЦ 3768233 . ПМИД  24039543. 
29. Талу, П.; Карьян, Н.; Строттман, Д. (1998). «Зависящие от времени свойства распада протона при пересечении одночастичных метастабильных состояний в деформированных ядрах». Физический обзор C . 58 (6): 3280–3285. arXiv : nucl-th/9809006 . Бибкод : 1998PhRvC..58.3280T. doi : 10.1103/PhysRevC.58.3280. S2CID  119075457.
30. "adsabs.harvard.edu" .
31. Белл, Рональд Перси (1980). Туннельный эффект в химии . Лондон: Чепмен и Холл. ISBN 0412213400. ОСЛК  6854792.
32. Уайлд, Роберт; Нётцольд, Маркус; Симпсон, Малькольм; Тран, Туи Зунг; Вестер, Роланд (1 марта 2023 г.). «Туннелирование, измеренное в очень медленной ионно-молекулярной реакции». Природа . 615 (7952): 425–429. arXiv : 2303.14948 . Бибкод : 2023Natur.615..425W. doi : 10.1038/s41586-023-05727-z. ISSN  1476-4687. PMID  36859549. S2CID  257282176.
33. Трикслер, Ф. (2013). «Квантовое туннелирование к происхождению и эволюции жизни». Современная органическая химия . 17 (16): 1758–1770. дои : 10.2174/13852728113179990083. ПМЦ 3768233 . ПМИД  24039543. 
34. Матта, Шериф Ф. (2014). Квантовая биохимия: электронная структура и биологическая активность. Вайнхайм: Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-62922-0.
35. Маджумдар, Раби (2011). Квантовая механика: в физике и химии с приложениями к биолотии. Ньюи: Обучение PHI. ISBN 9788120343047.
36. Купер, WG (июнь 1993 г.). «Роль эволюции, квантовой механики и точечных мутаций в происхождении рака». Рак Биохимия Биофизика . 13 (3): 147–170. ПМИД  8111728.
37. Лоу, FE (1998). «Комментарии к кажущемуся сверхсветовому распространению». Анна. Физ. 7 (7–8): 660–661. Бибкод : 1998АнП...510..660Л. doi :10.1002/(SICI)1521-3889(199812)7:7/8<660::AID-ANDP660>3.0.CO;2-0. S2CID  122717505.
38. Нимц, Г. (2011). «Туннелирование противостоит специальной теории относительности». Найденный. Физ. 41 (7): 1193–1199. arXiv : 1003.3944 . Бибкод : 2011FoPh...41.1193N. doi : 10.1007/s10701-011-9539-2. S2CID  119249900.
39. Уинфул, Х.Г. (2006). «Туннельное время, эффект Хартмана и сверхсветимость: предлагаемое решение старого парадокса». Физ. Отчет 436 (1–2): 1–69. Бибкод : 2006PhR...436....1W. doi :10.1016/j.physrep.2006.09.002.
40. «Время квантового туннелирования измеряется с использованием ультрахолодных атомов - Мир физики» . 22 июля 2020 г.
41. "Журнал Кванта". 20 октября 2020 г.
42. Дэвис, Майкл Дж.; Хеллер, Эрик Дж. (1 июля 1981 г.). «Квантовое динамическое туннелирование в связанных состояниях». Журнал химической физики . 75 (1): 246–254. Бибкод : 1981JChPh..75..246D. дои : 10.1063/1.441832. ISSN  0021-9606.
43. Кешавамурти, Шрихари; Шлагек, Питер (9 марта 2011 г.). Динамическое туннелирование: теория и эксперимент. ЦРК Пресс. ISBN 978-1-4398-1666-0.
44. Уилкинсон, Майкл (1 сентября 1986 г.). «Туннелирование между торами в фазовом пространстве». Физика D: Нелинейные явления . 21 (2): 341–354. Бибкод : 1986PhyD...21..341W. дои : 10.1016/0167-2789(86)90009-6. ISSN  0167-2789.
45. Томсович, Стивен; Уллмо, Денис (1 июля 1994 г.). «Туннелирование с помощью хаоса». Физический обзор E . 50 (1): 145–162. Бибкод : 1994PhRvE..50..145T. дои : 10.1103/PhysRevE.50.145. ПМИД  9961952.
46. Бродье, Оливье; Шлагек, Питер; Уллмо, Денис (25 августа 2002 г.). «Резонансное туннелирование». Анналы физики . 300 (1): 88–136. arXiv : nlin/0205054 . Бибкод : 2002AnPhy.300...88B. дои : 10.1006/aphy.2002.6281. ISSN  0003-4916. S2CID  51895893.
47. Эдди, А.; Форт, Э.; Мойзи, Ф.; Кудер, Ю. (16 июня 2009 г.). «Непредсказуемое туннелирование классической ассоциации волна-частица» (PDF) . Письма о физических отзывах . 102 (24): 240401. Бибкод : 2009PhRvL.102x0401E. doi : 10.1103/PhysRevLett.102.240401. PMID  19658983. Архивировано из оригинала (PDF) 10 марта 2016 года . Проверено 1 мая 2016 г.

дальнейшее чтение

• Бинни, Джеймс; Скиннер, Д. (2010). Физика квантовой механики: Введение (3-е изд.). Архив капеллы. ISBN 978-1-902918-51-8.
• Фреман, Н.; Фреман, П.-О. (1965). Приближение JWKB: вклад в теорию . Амстердам: Северная Голландия.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN 978-0-13-805326-0.
• Либофф, Ричард Л. (2002). Введение в квантовую механику . Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-8053-8714-8.
• Мюллер-Кирстен, HJW (2012). Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям, 2-е изд . Сингапур: World Scientific.
• Разави, Мохсен (2003). Квантовая теория туннелирования . Всемирная научная. ISBN 978-981-238-019-7.
• Виленкин, Александр; Виленкин, Александр; Виницкий, Серж (2003). «Создание частиц в туннелирующей вселенной». Физический обзор D . 68 (2): 023520. arXiv : gr-qc/0210034 . Бибкод : 2003PhRvD..68b3520H. doi : 10.1103/PhysRevD.68.023520. S2CID  118969589.
• Вольф, Эль (2012). Принципы электронной туннельной спектроскопии . Международная серия монографий по физике (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-958949-4.

Внешние ссылки

• Анимация, приложения и исследования, связанные с туннельным эффектом и другими квантовыми явлениями (Université Paris Sud)
• Анимированная иллюстрация квантового туннелирования
• Анимированная иллюстрация квантового туннелирования в устройстве RTD
• Интерактивное решение туннельного уравнения Шрёдингера