Комплексная группа Лия

Группа Ли, многообразие которой комплексно и групповая операция голоморфна

В геометрии комплексная группа Ли — это группа Ли над комплексными числами; т. е. это комплексно-аналитическое многообразие , которое также является группой и поэтому голоморфно . Основными примерами являются общие линейные группы над комплексными числами . Связная компактная комплексная группа Ли — это в точности комплексный тор (не путать с комплексной группой Ли ). Любой конечной группе можно придать структуру комплексной группы Ли. Комплексная полупростая группа Ли — это линейная алгебраическая группа . ${\displaystyle G\times G\to G,(x,y)\mapsto xy^{-1}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

Алгебра Ли комплексной группы Ли является комплексной алгеброй Ли .

Примеры

• Конечномерное векторное пространство над комплексными числами (в частности, комплексной алгеброй Ли) очевидным образом является комплексной группой Ли.
• Связная компактная комплексная группа Ли A размерности g имеет вид комплексный тор , где L — дискретная подгруппа ранга 2g. Действительно, можно показать, что ее алгебра Ли абелева, а затем является сюръективным морфизмом комплексных групп Ли, показывая, что A имеет описанную форму. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}/L}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle \operatorname {exp} :{\mathfrak {a}}\to A}$
• ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{*},z\mapsto e^{z}}$является примером сюръективного гомоморфизма комплексных групп Ли, который не возникает из морфизма алгебраических групп. Поскольку , это также пример представления комплексной группы Ли, которая не является алгебраической. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\operatorname {GL} _{1}(\mathbb {C} )}$
• Пусть X — компактное комплексное многообразие. Тогда, аналогично вещественному случаю, есть комплексная группа Ли, алгеброй Ли которой является пространство голоморфных векторных полей на X:. ^{[ нужны разъяснения ]} ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$ ${\displaystyle \Gamma (X,TX)}$
• Пусть K — связная компактная группа Ли . Тогда существует единственная связная комплексная группа Ли G такая, что (i) и (ii) K — максимальная компактная подгруппа в G . Это называется комплексификацией К.​ Например, это комплексификация унитарной группы . Если K действует на компактном кэлеровом многообразии X , то действие K продолжается до действия G. ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)=\operatorname {Lie} (K)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$

Линейная алгебраическая группа, ассоциированная с комплексной полупростой группой Ли

Пусть G — комплексная полупростая группа Ли. Тогда G допускает естественную структуру линейной алгебраической группы следующим образом: ^[2] пусть – кольцо голоморфных функций f на G такое, что затягивает конечномерное векторное пространство внутри кольца голоморфных функций на G (здесь G действует левым перевод: ). Тогда — линейная алгебраическая группа, которая, если рассматривать ее как комплексное многообразие, является исходной G . Более конкретно , выберите точное представление G . Тогда Зариский-замкнут в . ^{[ нужны разъяснения ]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G\cdot f}$ ${\displaystyle g\cdot f(h)=f(g^{-1}h)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$ ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle \rho (G)}$ ${\displaystyle GL(V)}$

Рекомендации

1. Гиймен, Виктор; Штернберг, Шломо (1982). «Геометрическое квантование и кратности представлений групп». Математические изобретения . 67 (3): 515–538. Бибкод : 1982InMat..67..515G. дои : 10.1007/bf01398934. S2CID  121632102.
2. Серр 1993, с. Ч. VIII. Теорема 10.

• Ли, Дон Хун (2002), Структура сложных групп Ли , Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC, ISBN 1-58488-261-1, МР  1887930
• Серр, Жан-Пьер (1993), Жебрес