Комплексификация (группа Ли)

Универсальное построение комплексной группы Ли из действительной группы Ли

В математике комплексификация или универсальная комплексификация вещественной группы Ли задается непрерывным гомоморфизмом группы в комплексную группу Ли с универсальным свойством , что каждый непрерывный гомоморфизм исходной группы в другую комплексную группу Ли совместимо продолжается до комплексного аналитического гомоморфизма между комплексными группами Ли. Комплексификация , которая всегда существует, единственна с точностью до единственного изоморфизма . Ее алгебра Ли является фактором комплексификации алгебры Ли исходной группы. Они изоморфны, если исходная группа имеет фактор по дискретной нормальной подгруппе, которая является линейной.

Для компактных групп Ли комплексификация, иногда называемая комплексификацией Шевалле в честь Клода Шевалле , может быть определена как группа комплексных характеров алгебры Хопфа представительных функций , т.е. матричных коэффициентов конечномерных представлений группы. В любом конечномерном точном унитарном представлении компактной группы она может быть конкретно реализована как замкнутая подгруппа комплексной общей линейной группы . Она состоит из операторов с полярным разложением g = u • exp iX , где u — унитарный оператор в компактной группе, а X — кососопряжённый оператор в её алгебре Ли. В этом случае комплексификация является комплексной алгебраической группой , а её алгебра Ли является комплексификацией алгебры Ли компактной группы Ли.

Универсальная комплексификация

Определение

Если G — группа Ли, то универсальная комплексификация задается комплексной группой Ли G _C и непрерывным гомоморфизмом φ : G → G _C с универсальным свойством, что если f : G → H — произвольный непрерывный гомоморфизм в комплексную группу Ли H , то существует единственный комплексный аналитический гомоморфизм F : G _C → H такой, что f = F ∘ φ .

Универсальные комплексификации всегда существуют и единственны с точностью до единственного комплексного аналитического изоморфизма (сохраняющего включение исходной группы).

Существование

Если G связана с алгеброй Ли 𝖌 , то ее универсальная накрывающая группа G односвязна. Пусть G _C — односвязная комплексная группа Ли с алгеброй Ли 𝖌 _C = 𝖌 ⊗ C , пусть Φ: G → G _C — естественный гомоморфизм (единственный морфизм, такой что Φ _* : 𝖌 ↪ 𝖌 ⊗ C — каноническое включение) и предположим, что π : G → G — универсальное накрывающее отображение, так что ker π — фундаментальная группа группы G . Мы имеем включение Φ(ker π ) ⊂ Z( G _C ) , которое следует из того факта, что ядро ​​присоединенного представления группы G _C равно ее центру, в сочетании с равенством

${\displaystyle (C_{\Phi (k)})_{*}\circ \Phi _{*}=\Phi _{*}\circ (C_{k})_{*}=\Phi _{*}}$

которое выполняется для любого k ∈ ker π . Обозначая через Φ(ker π ) ^* наименьшую замкнутую нормальную подгруппу Ли в G _C , содержащую Φ(ker π ) , мы должны теперь также иметь включение Φ(ker π ) ^* ⊂ Z( G _C ) . Мы определяем универсальную комплексификацию G как

${\displaystyle G_{\mathbf {C} }={\frac {\mathbf {G} _{\mathbf {C} }}{\Phi (\ker \pi )^{*}}}.}$

В частности, если G односвязен, то его универсальная комплексификация — это просто G _C . ^[1]

Отображение φ : G → G _C получается переходом к фактору. Поскольку π — сюръективная субмерсия, гладкость отображения π _C ∘ Φ влечет гладкость φ .

Построение карты комплексификации

Для несвязных групп Ли G с единичной компонентой G ^o и компонентной группой Γ = G / G ^o расширение

${\displaystyle \{1\}\rightarrow G^{o}\rightarrow G\rightarrow \Gamma \rightarrow \{1\}}$

вызывает расширение

${\displaystyle \{1\}\rightarrow (G^{o})_{\mathbf {C} }\rightarrow G_{\mathbf {C} }\rightarrow \Gamma \rightarrow \{1\}}$

и комплексная группа Ли G _C является комплексификацией G . ^[2]

Доказательство универсального свойства

Отображение φ : G → G _C действительно обладает универсальным свойством, которое появляется в приведенном выше определении комплексификации. Доказательство этого утверждения естественным образом следует из рассмотрения следующей поучительной диаграммы.

Здесь — произвольный гладкий гомоморфизм групп Ли с комплексной группой Ли в качестве области значений. ${\displaystyle f\colon G\rightarrow H}$

Существование карты F

Для простоты мы предполагаем, что является связным. Чтобы установить существование , мы сначала естественным образом расширяем морфизм алгебр Ли до уникального морфизма комплексных алгебр Ли. Поскольку является односвязным, вторая фундаментальная теорема Ли теперь дает нам уникальный комплексный аналитический морфизм между комплексными группами Ли, такой что . Мы определяем как отображение, индуцированное , то есть: для любого . Чтобы показать корректность этого отображения (т.е. ), рассмотрим производную отображения . Для любого , мы имеем ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f_{*}\colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\overline {f}}_{*}\colon {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }\rightarrow {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle {\overline {F}}\colon \mathbf {G} _{\mathbf {C} }\rightarrow H}$ ${\displaystyle ({\overline {F}})_{*}={\overline {f}}_{*}}$ ${\displaystyle F\colon G_{\mathbf {C} }\rightarrow H}$ ${\displaystyle {\overline {F}}}$ ${\displaystyle F(g\,\Phi (\ker \pi )^{*})={\overline {F}}(g)}$ ${\displaystyle g\in \mathbf {G} _{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle \Phi (\ker \pi )^{*}\subset \ker {\overline {F}}}$ ${\displaystyle {\overline {F}}\circ \Phi }$ ${\displaystyle v\in T_{e}\mathbf {G} \cong {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle ({\overline {F}})_{*}\Phi _{*}v=({\overline {F}})_{*}(v\otimes 1)=f_{*}\pi _{*}v}$,

что (в силу простой связности ) влечет . Это равенство, наконец, влечет , и поскольку — замкнутая нормальная подгруппа Ли в , мы также имеем . Поскольку — комплексная аналитическая сюръективная субмерсия, отображение является комплексно-аналитическим, поскольку — . Требуемое равенство неизбежно. ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle {\overline {F}}\circ \Phi =f\circ \pi }$ ${\displaystyle \Phi (\ker \pi )\subset \ker {\overline {F}}}$ ${\displaystyle \ker {\overline {F}}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle \Phi (\ker \pi )^{*}\subset \ker {\overline {F}}}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\overline {F}}}$ ${\displaystyle F\circ \varphi =f}$

Уникальность карты F

Чтобы показать единственность , предположим, что есть два отображения с . Составляя с справа и дифференцируя, получаем , а поскольку есть включение , получаем . Но есть погружение, поэтому , таким образом, связность подразумевает . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}\circ \varphi =F_{2}\circ \varphi =f}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (F_{1})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}\Phi _{*}=(F_{2})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}\Phi _{*}}$ ${\displaystyle \Phi _{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle (F_{1})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}=(F_{2})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle (F_{1})_{*}=(F_{2})_{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$

Уникальность

Универсальное свойство подразумевает, что универсальная комплексификация единственна с точностью до комплексного аналитического изоморфизма.

Приемистость

Если исходная группа линейна, то таковой же является и универсальная комплексификация, а гомоморфизм между ними является включением. ^[3] Онищик и Винберг (1994) приводят пример связной действительной группы Ли, для которой гомоморфизм не является инъективным даже на уровне алгебры Ли: они берут произведение T на универсальную накрывающую группу SL (2, R ) и факторизуют по дискретной циклической подгруппе, порожденной иррациональным вращением в первом множителе и генератором центра во втором.

Простые примеры

Следующие изоморфизмы комплексификаций групп Ли с известными группами Ли могут быть построены непосредственно из общей конструкции комплексификации.

• Комплексификация специальной унитарной группы матриц 2x2 имеет вид

${\displaystyle \mathrm {SU} (2)_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}$.

Это следует из изоморфизма алгебр Ли

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}$,

вместе с тем фактом, что это просто связано. ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$

• Комплексификация специальной линейной группы матриц 2x2 имеет вид

${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}$.

Это следует из изоморфизма алгебр Ли

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}$,

вместе с тем фактом, что это просто связано. ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}$

• Комплексификация специальной ортогональной группы матриц 3x3 имеет вид

${\displaystyle \mathrm {SO} (3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}\cong \mathrm {SO} ^{+}(1,3)}$,

где обозначает собственную ортохронную группу Лоренца . Это следует из того, что является универсальным (двойным) покрытием , следовательно: ${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(1,3)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}$.

Мы также используем тот факт, что является универсальным (двойным) покрытием . ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(1,3)}$

• Усложнение правильной ортохронной группы Лоренца имеет вид

${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(1,3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}}$.

Это следует из того же изоморфизма алгебр Ли, что и во втором примере, снова используя универсальное (двойное) накрытие собственной ортохронной группы Лоренца.

• Комплексификация специальной ортогональной группы матриц 4x4 имеет вид

${\displaystyle \mathrm {SO} (4)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}}$.

Это следует из того, что является универсальным (двойным) покрытием , следовательно , и поэтому . ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (4)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4)\cong {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}$

Последние два примера показывают, что группы Ли с изоморфными комплексификациями могут быть не изоморфны. Более того, комплексификации групп Ли и показывают, что комплексификация не является идемпотентной операцией, т.е. (это также показывают комплексификации и ). ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle (G_{\mathbf {C} })_{\mathbf {C} }\not \cong G_{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(1,3)}$

Комплексификация Шевалле

Алгебра Хопфа матричных коэффициентов

Если G — компактная группа Ли, то *-алгебра A матричных коэффициентов конечномерных унитарных представлений является равномерно плотной *-подалгеброй C ( G ) , *-алгебры комплекснозначных непрерывных функций на G . Это, естественно, алгебра Хопфа с коумножением , заданным формулой

${\displaystyle \displaystyle {\Delta f(g,h)=f(gh).}}$

Характеры A являются *-гомоморфизмами A в C . Их можно отождествить с точечными оценками f ↦ f ( g ) для g в G , а коумножение позволяет восстановить структуру группы на G . Гомоморфизмы A в C также образуют группу. Это комплексная группа Ли, и ее можно отождествить с комплексификацией G _C группы G . *-алгебра A порождается матричными коэффициентами любого точного представления σ группы G . Отсюда следует, что σ определяет точное комплексное аналитическое представление G _C . ^[4]

Теория инвариантов

Первоначальный подход Шевалле (1946) к комплексификации компактной группы Ли можно кратко сформулировать на языке классической теории инвариантов , описанной в работе Вейля (1946). Пусть G — замкнутая подгруппа унитарной группы U ( V ) , где V — конечномерное комплексное пространство скалярного произведения. Ее алгебра Ли состоит из всех кососопряжённых операторов X таких, что exp tX лежит в G для всех действительных t . Положим W = V ⊕ C с тривиальным действием G на втором слагаемом. Группа G действует на W ^{⊗ N} , причем элемент u действует как u ^{⊗ N} . Коммутант (или алгебра централизатора) обозначается как A _N = End _G W ^{⊗ N} . Он порождается как *-алгебра своими унитарными операторами, а его коммутант — *-алгебра, натянутая на операторы u ^{⊗ N} . Комплексификация G _C группы G состоит из всех операторов g из GL( V ) таких, что g ^{⊗ N} коммутирует с A _N и g действует тривиально на втором слагаемом в C . По определению это замкнутая подгруппа GL( V ) . Определяющие соотношения (как коммутанта) показывают, что G является алгебраической подгруппой. Ее пересечение с U ( V ) совпадает с G , поскольку это априори большая компактная группа, для которой неприводимые представления остаются неприводимыми и неэквивалентными при ограничении на G . Поскольку A _N порождается унитарными операторами, обратимый оператор g лежит в G _C , если унитарный оператор u и положительный оператор p в его полярном разложении g = u ⋅ p оба лежат в G _C . Таким образом, u лежит в G и оператор pможет быть записано однозначно как p = exp T с T самосопряженным оператором. Из функционального исчисления для полиномиальных функций следует, что h ^{⊗ N} лежит в коммутанте A _{N ,} если h = exp z T с z в C . В частности, взяв z чисто мнимым, T должен иметь вид iX с X в алгебре Ли G . Поскольку каждое конечномерное представление G встречается как прямое слагаемое W ^{⊗ N} , оно остается инвариантным относительно G _C , и, таким образом, каждое конечномерное представление G единственным образом расширяется до G _C . Расширение совместимо с полярным разложением. Наконец, полярное разложение подразумевает, что G является максимальной компактной подгруппой G _C , поскольку строго большая компактная подгруппа содержала бы все целые степени положительного оператора p , замкнутой бесконечной дискретной подгруппы. ^[5]

Разложения в комплексификации Шевалле.

Разложение Картана

Разложение, полученное из полярного разложения

${\displaystyle \displaystyle {G_{\mathbf {C} }=G\cdot P=G\cdot \exp i{\mathfrak {g}},}}$

где 𝖌 — алгебра Ли группы G , называется разложением Картана группы G C. _{Экспоненциальный} множитель P инвариантен относительно сопряжения с помощью G, но не является подгруппой. Комплексификация инвариантна относительно взятия сопряженных операторов, поскольку G состоит из унитарных операторов, а P — из положительных операторов.

разложение Гаусса

Разложение Гаусса является обобщением разложения LU для полной линейной группы и специализацией разложения Брюа . Для GL( V ) оно утверждает, что относительно заданного ортонормированного базиса e ₁ , ..., e _n элемент g из GL( V ) может быть факторизован в виде

${\displaystyle \displaystyle {g=XDY}}$

с X нижним унитреугольным , Y верхним унитреугольным и D диагональным тогда и только тогда, когда все главные миноры g не обращаются в нуль. В этом случае X , Y и D определяются однозначно.

На самом деле метод исключения Гаусса показывает, что существует единственный X, такой что X ⁻¹ g является верхнетреугольным. ^[6]

Верхняя и нижняя унитреугольные матрицы, N ₊ и N ₋ , являются замкнутыми унипотентными подгруппами GL( V ). Их алгебры Ли состоят из верхних и нижних строго треугольных матриц. Экспоненциальное отображение является полиномиальным отображением из алгебры Ли в соответствующую подгруппу по нильпотентности. Обратное задается отображением логарифма, которое по унипотентности также является полиномиальным отображением. В частности, существует соответствие между замкнутыми связными подгруппами N _± и подалгебрами их алгебр Ли. Экспоненциальное отображение является на в каждом случае, поскольку полиномиальная функция log ( e ^A e ^B ) лежит в данной подалгебре Ли, если A и B лежат и достаточно малы. ^[7]

Разложение Гаусса можно распространить на комплексификации других замкнутых связных подгрупп G из U( V ), используя корневое разложение для записи комплексифицированной алгебры Ли в виде ^[8]

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }={\mathfrak {n}}_{-}\oplus {\mathfrak {t}}_{\mathbf {C} }\oplus {\mathfrak {n}}_{+},}}$

где 𝖙 — алгебра Ли максимального тора T группы G , а 𝖓 _± — прямая сумма соответствующих положительных и отрицательных корневых пространств. В весовом разложении пространства V как собственных пространств T 𝖙 действует как диагонально, 𝖓 ₊ действует как понижающие операторы, а 𝖓 ₋ как повышающие операторы. 𝖓 _± — нильпотентные алгебры Ли, действующие как нильпотентные операторы; они являются сопряженными друг другу на V . В частности, T действует сопряжением 𝖓 ₊ , так что 𝖙 _C ⊕ 𝖓 ₊ — полупрямое произведение нильпотентной алгебры Ли на абелеву алгебру Ли.

По теореме Энгеля , если 𝖆 ⊕ 𝖓 — полупрямое произведение, причем 𝖆 абелева, а 𝖓 нильпотентна, действующее на конечномерном векторном пространстве W с операторами в 𝖆 диагонализируемыми и операторами в 𝖓 нильпотентными, то существует вектор w , который является собственным вектором для 𝖆 и аннулируется 𝖓 . Фактически, достаточно показать, что существует вектор, аннулируемый 𝖓 , что следует из индукции по dim 𝖓 , поскольку производная алгебра 𝖓' аннулирует ненулевое подпространство векторов, на которых 𝖓 / 𝖓' и 𝖆 действуют с теми же гипотезами.

Повторное применение этого аргумента к 𝖙 _C ⊕ 𝖓 ₊ показывает, что существует ортонормированный базис e ₁ , ..., e _n матрицы V, состоящий из собственных векторов 𝖙 _C с 𝖓 _+, действующими как верхние треугольные матрицы с нулями на диагонали.

Если N _± и T _C — комплексные группы Ли, соответствующие 𝖓 ₊ и 𝖙 _C , то разложение Гаусса утверждает, что подмножество

${\displaystyle \displaystyle {N_{-}T_{\mathbf {C} }N_{+}}}$

является прямым произведением и состоит из элементов в G _C, для которых главные миноры не обращаются в нуль. Он открыт и плотен. Более того, если T обозначает максимальный тор в U( V ) ,

${\displaystyle \displaystyle {N_{\pm }=\mathbf {N} _{\pm }\cap G_{\mathbf {C} },\,\,\,T_{\mathbf {C} }=\mathbf {T} _{\mathbf {C} }\cap G_{\mathbf {C} }.}}$

Эти результаты являются непосредственным следствием соответствующих результатов для GL( V ) ^[9] .

разложение Брюа

Если W = N _G ( T ) / T обозначает группу Вейля T , а B обозначает подгруппу Бореля T _C N ₊ , то разложение Гаусса также является следствием более точного разложения Брюа

${\displaystyle \displaystyle {G_{\mathbf {C} }=\bigcup _{\sigma \in W}B\sigma B,}}$

разложение G _C в несвязное объединение двойных смежных классов B . Комплексная размерность двойного смежного класса BσB определяется длиной σ как элемента W . Размерность максимизируется в элементе Кокстера и дает единственный открытый плотный двойной смежный класс. Его обратный сопряженный класс B в подгруппу Бореля нижних треугольных матриц в G _C . ^[10]

Разложение Брюа легко доказать для SL( n , C ) . ^[11] Пусть B — подгруппа Бореля верхних треугольных матриц, а T _C — подгруппа диагональных матриц. Поэтому N( T _C ) / T _C = S _n . Для g в SL( n , C ) возьмем b в B так, чтобы bg максимизировало количество нулей, появляющихся в начале его строк. Поскольку кратное одной строки можно добавить к другой, в каждой строке будет разное количество нулей. Умножая на матрицу w из N( T _C ) , получаем, что wbg лежит в B . Для уникальности, если w ₁ b w ₂ = b ₀ , то элементы w ₁ w ₂ исчезают под диагональю. Таким образом, произведение лежит в T _C , что доказывает уникальность.

Шевалли (1955) показал, что выражение элемента g как g = b ₁ σb ₂ становится единственным, если b ₁ ограничивается верхней унитреугольной подгруппой N _σ = N ₊ ∩ σ N ₋ σ ⁻¹ . Фактически, если M _σ = N ₊ ∩ σ N ₊ σ ⁻¹ , это следует из тождества

${\displaystyle \displaystyle {N_{+}=N_{\sigma }\cdot M_{\sigma }.}}$

Группа N ₊ имеет естественную фильтрацию нормальными подгруппами N ₊ ( k ) с нулями в первых k − 1 супердиагоналях, а последующие факторы являются абелевыми. Определяя N _σ ( k ) и M _σ ( k ) как пересечения с N ₊ ( k ) , следует по убывающей индукции по k , что N ₊ ( k ) = N _σ ( k ) ⋅ M _σ ( k ) . Действительно, N _σ ( k ) N ₊ ( k + 1) и M _σ ( k ) N ₊ ( k + 1) определяются в N ₊ ( k ) обращением в нуль дополнительных элементов ( i , j ) на k -й супердиагонали в соответствии с тем, сохраняет ли σ порядок i < j или нет. ^[12]

Разложение Брюа для других классических простых групп можно вывести из приведенного выше разложения, используя тот факт, что они являются подгруппами неподвижных точек складчатых автоморфизмов SL( n , C ) . ^[13] Для Sp( n , C ) пусть J будет матрицей n × n с 1 на антидиагонали и 0 в остальных местах, и положим

${\displaystyle \displaystyle {A={\begin{pmatrix}0&J\\-J&0\end{pmatrix}}.}}$

Тогда Sp( n , C ) является подгруппой неподвижных точек инволюции θ ( g ) = A ( g ^t ) ⁻¹ A ⁻¹ группы SL(2 n , C ) . Она оставляет подгруппы N _± , T _C и B инвариантными. Если базисные элементы индексируются n , n −1, ..., 1, −1, ..., − n , то группа Вейля группы Sp( n , C ) состоит из σ , удовлетворяющих σ ( j ) = − j , т.е. коммутирующих с θ . Аналоги B , T _C и N _± определяются пересечением с Sp( n , C ) , т.е. как неподвижные точки θ . Единственность разложения g = nσb = θ ( n ) θ ( σ ) θ ( b ) влечет разложение Брюа для Sp( n , C ) .

Тот же аргумент работает для SO( n , C ) . Его можно реализовать как неподвижные точки ψ ( g ) = B ( g ^t ) ⁻¹ B ⁻¹ в SL( n , C ) , где B = J .

Разложение Ивасавы

Разложение Ивасавы

${\displaystyle \displaystyle {G_{\mathbf {C} }=G\cdot A\cdot N}}$

дает разложение для G _C, для которого, в отличие от разложения Картана, прямой множитель A ⋅ N является замкнутой подгруппой, но он больше не инвариантен относительно сопряжения с помощью G. Он является полупрямым произведением нильпотентной подгруппы N на абелеву подгруппу A.

Для U( V ) и его комплексификации GL( V ) это разложение может быть получено как переформулировка процесса ортонормализации Грама-Шмидта . ^[14]

На самом деле пусть e ₁ , ..., e _n будет ортонормированным базисом V и пусть g будет элементом в GL( V ) . Применяя процесс Грама-Шмидта к ge ₁ , ..., ge _n , существует единственный ортонормированный базис f ₁ , ..., f _n и положительные константы a _i такие, что

${\displaystyle \displaystyle {f_{i}=a_{i}ge_{i}+\sum _{j<i}n_{ji}ge_{j}.}}$

Если k — унитарное преобразование ( ei ₎ в ( fi ) , то g ⁻¹ k лежит в подгруппе AN , где A — подгруппа _{положительных} диагональных матриц относительно ( ei ₎ , а N — подгруппа верхних унитреугольных матриц . ^[15]

Используя обозначения для разложения Гаусса, подгруппы в разложении Ивасавы для G _C определяются как ^[16]

${\displaystyle \displaystyle {A=\exp i{\mathfrak {t}}=\mathbf {A} \cap G_{\mathbf {C} },\,\,\,N=\exp {\mathfrak {n}}_{+}=\mathbf {N} \cap G_{\mathbf {C} }.}}$

Поскольку разложение является прямым для GL( V ) , достаточно проверить, что G _C = GAN . Из свойств разложения Ивасавы для GL( V ) , отображение G × A × N является диффеоморфизмом на свой образ в G _C , который замкнут. С другой стороны, размерность образа такая же, как размерность G _C , поэтому он также открыт. Поэтому G _C = GAN , поскольку G _C связен. ^[17]

Желобенко (1973) дает метод явного вычисления элементов в разложении. ^[18] Для g в G _C положим h = g * g . Это положительный самосопряженный оператор, поэтому его главные миноры не обращаются в нуль. Следовательно, по разложению Гаусса его можно записать единственным образом в виде h = XDY с X в N ₋ , D в T _C и Y в N ₊ . Поскольку h является самосопряженным, единственность вынуждает Y = X * . Поскольку он также положителен, D должен лежать в A и иметь вид D = exp iT для некоторого уникального T в 𝖙 . Пусть a = exp iT /2 — его уникальный квадратный корень в A . Положим n = Y и k = g n ⁻¹ a ⁻¹ . Тогда k унитарен, поэтому и в G , и g = kan .

Сложные структуры на однородных пространствах

Разложение Ивасавы может быть использовано для описания комплексных структур на G - орбите s в комплексном проективном пространстве векторов старшего веса конечномерных неприводимых представлений G . В частности, отождествление между G / T и G _C / B может быть использовано для формулировки теоремы Бореля–Вейля . Она утверждает, что каждое неприводимое представление G может быть получено голоморфной индукцией из характера T , или , что эквивалентно, что оно реализуется в пространстве сечений голоморфного линейного расслоения на G / T .

Замкнутые связные подгруппы группы G , содержащие T , описываются теорией Бореля–де Зибенталя . Они являются в точности централизаторами торов S ⊆ T. Поскольку каждый тор топологически порождается одним элементом x , они совпадают с централизаторами C _G ( X ) элементов X в 𝖙 . По результату Хопфа C _G ( x ) всегда связен: действительно, любой элемент y вместе с S содержится в некотором максимальном торе, обязательно содержащемся в C _G ( x ) .

Для данного неприводимого конечномерного представления V _λ с вектором старшего веса v веса λ стабилизатор C v в G является замкнутой подгруппой H . Так как v является собственным вектором T , H содержит T . Комплексификация G _C также действует на V , и стабилизатор является замкнутой комплексной подгруппой P , содержащей T _C . Так как v аннулируется каждым повышающим оператором , соответствующим положительному корню α , P содержит подгруппу Бореля B . Вектор v также является вектором старшего веса для копии sl _{2 ,} соответствующей α , поэтому он аннулируется понижающим оператором, порождающим 𝖌 _{− α ,} если ( λ , α ) = 0 . Алгебра Ли p группы P является прямой суммой 𝖙 _C и векторов корневого пространства, аннулирующих v , так что

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {p}}={\mathfrak {b}}\oplus \bigoplus _{(\alpha ,\lambda )=0}{\mathfrak {g}}_{-\alpha }.}}$

Алгебра Ли H = P ∩ G задается как p ∩ 𝖌 . По разложению Ивасавы G _C = GAN . Поскольку AN фиксирует C v , G -орбита v в комплексном проективном пространстве V _λ совпадает с G _C орбитой и

${\displaystyle \displaystyle {G/H=G_{\mathbf {C} }/P.}}$

В частности

${\displaystyle \displaystyle {G/T=G_{\mathbf {C} }/B.}}$

Используя отождествление алгебры Ли T с ее дуальной, H равно централизатору λ в G , и, следовательно, связно. Группа P также связна. Фактически, пространство G / H односвязно, поскольку его можно записать как фактор (компактной) универсальной накрывающей группы компактной полупростой группы G / Z по связной подгруппе, где Z — центр G . ^[19] Если P ^o — единичная компонента P , G _C / P имеет G _C / P ^o как накрывающее пространство, так что P = P ^o . Однородное пространство G _C / P имеет комплексную структуру, поскольку P — комплексная подгруппа. Орбита в комплексном проективном пространстве замкнута в топологии Зарисского по теореме Чжоу , поэтому является гладким проективным многообразием. Теорема Бореля–Вейля и ее обобщения обсуждаются в этом контексте в работах Серра (1954), Хельгасона (1994), Дуйстермаата и Колка (2000) и Сепански (2007).

Параболическую подгруппу P можно также записать в виде объединения двойных смежных классов B

${\displaystyle \displaystyle {P=\bigcup _{\sigma \in W_{\lambda }}B\sigma B,}}$

где W _λ — стабилизатор λ в группе Вейля W . Он генерируется отражениями, соответствующими простым корням, ортогональным λ . ^[20]

Некомпактные действительные формы

Существуют и другие замкнутые подгруппы комплексификации компактной связной группы Ли G , которые имеют ту же самую комплексифицированную алгебру Ли. Это другие вещественные формы G C _. [ ^21]

Инволюции односвязных компактных групп Ли

Если G — односвязная компактная группа Ли, а σ — автоморфизм порядка 2, то подгруппа неподвижных точек K = G ^σ автоматически связна . (На самом деле это верно для любого автоморфизма группы G , как показано для внутренних автоморфизмов Стейнбергом и в целом Борелем .) ^[22]

Это можно увидеть наиболее непосредственно, когда инволюция σ соответствует эрмитовому симметрическому пространству . В этом случае σ является внутренним и реализуется элементом в однопараметрической подгруппе exp tT , содержащейся в центре G ^σ . Внутренность σ подразумевает, что K содержит максимальный тор G , поэтому имеет максимальный ранг. С другой стороны, централизатор подгруппы, порожденной тором S элементов exp tT , связен, поскольку если x — любой элемент в K , то существует максимальный тор, содержащий x и S , который лежит в централизаторе. С другой стороны, он содержит K , поскольку S является центральным в K и содержится в K , поскольку z лежит в S . Таким образом, K является централизатором S и, следовательно, связен. В частности, K содержит центр G . ^[23]

Для общей инволюции σ связность G ^σ можно увидеть следующим образом. ^[24]

Отправной точкой является абелева версия результата: если T — максимальный тор односвязной группы G , а σ — инволюция, оставляющая инвариант T и выбор положительных корней (или, что эквивалентно, камера Вейля ), то подгруппа неподвижной точки T ^σ связна. Фактически ядро ​​экспоненциального отображения из на T представляет собой решетку Λ с Z -базисом, индексированным простыми корнями, которые σ переставляет. Разбивая по орбитам, T можно записать как произведение членов T, на которые σ действует тривиально, или членов T ² , где σ меняет местами множители. Подгруппа неподвижной точки просто соответствует взятию диагональных подгрупп во втором случае, поэтому она связна. ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

Теперь пусть x будет любым элементом, фиксированным σ, пусть S будет максимальным тором в C _G ( x ) ^σ и пусть T будет единичной компонентой C _G ( x , S ). Тогда T является максимальным тором в G, содержащим x и S . Он инвариантен относительно σ, а единичная компонента T ^σ есть S . Фактически, поскольку x и S коммутируют, они содержатся в максимальном торе, который, поскольку он связен, должен лежать в T . По построению T инвариантен относительно σ. Единичная компонента T ^σ содержит S , лежит в C _G ( x ) ^σ и централизует S , поэтому он равен S . Но S является центральным в T , так что T должен быть абелевым и, следовательно, максимальным тором. Поскольку σ действует как умножение на −1 на алгебре Ли , поэтому он и , следовательно, также являются абелевыми. ${\displaystyle {\mathfrak {t}}\ominus {\mathfrak {s}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

Доказательство завершается демонстрацией того, что σ сохраняет камеру Вейля, связанную с T. Тогда T ^σ связна, поэтому должна быть равна S. Следовательно, x лежит в S. Поскольку x был произвольным, G ^σ должна быть связной.

Чтобы получить камеру Вейля, инвариантную относительно σ, заметим, что не существует корневого пространства , на котором и x, и S действовали бы тривиально, поскольку это противоречило бы тому факту, что C _G ( x , S ) имеет ту же алгебру Ли, что и T . Следовательно, должен быть элемент s в S такой, что t = xs действует нетривиально на каждом корневом пространстве. В этом случае t является регулярным элементом T — единичная компонента его централизатора в G равна T . Существует единственная ниша Вейля A в , такая, что t лежит в exp A , а 0 лежит в замыкании A . Поскольку t фиксируется σ, ниша остается инвариантной под действием σ, и, следовательно, также инвариантной является и содержащая ее камера Вейля C . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

Спряжения по комплексификации

Пусть G — односвязная компактная группа Ли с комплексификацией G _C . Отображение c ( g ) = ( g *) ⁻¹ определяет автоморфизм G _C как вещественной группы Ли с G в качестве подгруппы неподвижных точек. Он сопряженно-линейен на и удовлетворяет условию c ² = id. Такие автоморфизмы либо G _C , либо называются сопряжениями . Поскольку G _C также односвязна, любое сопряжение c ₁ на соответствует единственному автоморфизму c ₁ группы G _C . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$

Классификация сопряжений c ₀ сводится к классификации инволюций σ группы G , поскольку для любого c ₁ существует автоморфизм φ комплексной группы G _C такой, что

${\displaystyle \displaystyle {c_{0}=\varphi \circ c_{1}\circ \varphi ^{-1}}}$

коммутирует с c . Сопряжение c ₀ тогда оставляет G инвариантным и ограничивается инволютивным автоморфизмом σ. По простой связности то же самое верно на уровне алгебр Ли. На уровне алгебры Ли c ₀ может быть восстановлено из σ по формуле

${\displaystyle \displaystyle {c_{0}(X+iY)=\sigma (X)-i\sigma (Y)}}$

для X , Y в . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Для доказательства существования φ пусть ψ = c ₁ c — автоморфизм комплексной группы G _C. На уровне алгебры Ли он определяет самосопряженный оператор для комплексного скалярного произведения

${\displaystyle \displaystyle {(X,Y)=-B(X,c(Y)),}}$

где B — форма Киллинга на . Таким образом, ψ ² — положительный оператор и автоморфизм вместе со всеми его действительными степенями. В частности, возьмем ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$

${\displaystyle \displaystyle {\varphi =(\psi ^{2})^{1/4}}}$

Это удовлетворяет

${\displaystyle \displaystyle {c_{0}c=\varphi c_{1}\varphi ^{-1}c=\varphi cc_{1}\varphi =(\psi ^{2})^{1/2}\psi ^{-1}=\varphi ^{-1}cc_{1}\varphi ^{-1}=c\varphi c_{1}\varphi ^{-1}=cc_{0}.}}$

Разложение Картана в действительной форме

Для комплексификации G _C выше описано разложение Картана . Выведенное из полярного разложения в комплексной общей линейной группе , оно дает диффеоморфизм

${\displaystyle \displaystyle {G_{\mathbf {C} }=G\cdot \exp i{\mathfrak {g}}=G\cdot P=P\cdot G.}}$

На G _C существует оператор сопряжения c, соответствующий G , а также инволюция σ, коммутирующая с c . Пусть c ₀ = c σ и пусть G ₀ — подгруппа неподвижных точек c . Она замкнута в матричной группе G _C и, следовательно, является группой Ли. Инволюция σ действует как на G, так и на G ₀ . Для алгебры Ли группы G существует разложение

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}}$

в собственные пространства +1 и −1 σ. Подгруппа неподвижных точек K группы σ в G связна, поскольку G односвязна. Ее алгебра Ли — собственное пространство +1 . Алгебра Ли группы G ₀ задается формулой ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}}$

и подгруппа неподвижной точки σ снова равна K , так что G ∩ G ₀ = K. В G ₀ существует разложение Картана

${\displaystyle \displaystyle {G_{0}=K\cdot \exp i{\mathfrak {p}}=K\cdot P_{0}=P_{0}\cdot K}}$

что снова является диффеоморфизмом на прямую и соответствует полярному разложению матриц. Это ограничение разложения на G _C . Произведение дает диффеоморфизм на замкнутое подмножество G ₀ . Чтобы проверить, что оно сюръективно, для g в G ₀ запишем g = u ⋅ p, где u в G и p в P . Поскольку c ₀ g = g , единственность подразумевает, что σ u = u и σ p = p ⁻¹ . Следовательно, u лежит в K , а p в P ₀ .

Разложение Картана в G ₀ показывает, что G ₀ связен, односвязен и некомпактен из-за прямого множителя P ₀ . Таким образом, G ₀ является некомпактной вещественной полупростой группой Ли. ^[25]

Более того, если задана максимальная абелева подалгебра в , A = exp — торическая подгруппа такая, что σ( a ) = a ⁻¹ на A ; и любые два таких ' сопряжены элементом из K . Свойства A можно показать напрямую. A замкнута, поскольку замыкание A является торической подгруппой, удовлетворяющей σ( a ) = a ⁻¹ , поэтому ее алгебра Ли лежит в и, следовательно, равна по максимальности. A может быть порождена топологически одним элементом exp X , поэтому централизатор X в . В K -орбите любого элемента из существует элемент Y такой, что (X,Ad k Y) минимизируется при k = 1. Полагая k = exp tT с T в , следует, что ( X , [ T , Y ]) = 0 и, следовательно, [ X , Y ] = 0, так что Y должен лежать в . Таким образом , объединение сопряженных элементов . В частности, некоторый сопряженный элемент X содержится в любом другом выборе , который централизует этот сопряженный элемент; поэтому по максимальности единственными возможностями являются сопряженные элементы . ^[26] ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

Аналогичные утверждения справедливы для действия K на в . Моревер, из разложения Картана для G ₀ , если A ₀ = exp , то ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}=i{\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$

${\displaystyle \displaystyle {G_{0}=KA_{0}K.}}$

Разложение Ивасавы в вещественной форме

Смотрите также

• Действительная форма (теория лжи)

Примечания

1. См.:
   • Хохшильд 1965
   • Бурбаки 1981, стр. 212–214
2. Бурбаки 1981, стр. 210–214.
3. Хохшильд 1966
4. См.:
   • Хохшильд 1965
   • Шевалье 1946
   • Брёкер и Том Дик 1985
5. См.:
   • Шевалье 1946
   • Вайль 1946
6. Желобенко 1973, стр. 28
7. Бамп 2004, стр. 202–203.
8. См.:
   • Удар 2004
   • Желобенко 1973
9. Желобенко 1973
10. См.:
    • Гельфанд и Наймарк, 1950, раздел 18, для SL( n , C )
    • Брюа 1956, стр. 187 для SO( n , C ) и Sp( n , C )
    • Шевалле 1955 для комплексификаций простых компактных групп Ли
    • Helgason 1978, стр. 403–406 для метода Хариш-Чандры
    • Хамфрис 1981 для лечения с использованием алгебраических групп
    • Картер 1972, Глава 8
    • Дьедонне 1977, стр. 216–217.
    • Бамп 2004, стр. 205–211
11. Штейнберг 1974, стр. 73
12. Шевалли 1955, стр. 41
13. См.:
    • Штейнберг 1974, стр. 73–74
    • Бурбаки 1981а, стр. 53–54
14. Сепански 2007, стр. 8
15. Кнапп 2001, стр. 117
16. См.:
    • Желобенко 1973, стр. 288–290.
    • Дьедонне 1977, стр. 197–207.
    • Хельгасон 1978, стр. 257–262
    • Бамп 2004, стр. 197–204
17. Бамп 2004, стр. 203–204.
18. Желобенко 1973, стр. 289
19. Хельгасон 1978
20. См.:
    • Хамфрис 1981
    • Бурбаки 1981a
21. Дьедонне 1977, стр. 164–173.
22. См.:
    • Хельгасон 1978, стр. 320–321
    • Бурбаки 1982, стр. 46–48
    • Дуйстермаат и Колк 2000, стр. 194–195.
    • Дьедонне 1977, с. 151, Упражнение 11
23. Вольф 2010
24. См.: Бурбаки 1982, стр. 46–48.
25. Дьедонне 1977, стр. 166–168.
26. Хельгасон 1978, стр. 248

Ссылки

• Бурбаки, Н. (1981), Groupes et Algèbres de Lie (глава 3) , Éléments de Mathématique, Hermann, ISBN 978-3540339403
• Бурбаки, Н. (1981a), Groupes et Algèbres de Lie (главы 4,5 и 6) , Éléments de Mathématique, Masson, ISBN 978-2225760761
• Бурбаки, Н. (1982), Группы и алгебры лжи (глава 9) , Éléments de Mathématique, Masson, ISBN 978-3540343929
• Брёкер, Т.; Том Дик, Т. (1985), Представления компактных групп Ли , Graduate Texts in Mathematics , т. 98, Springer, ISBN 978-3540136781
• Брюа, Ф. (1956), «Sur les représentation induites des groupes de Lie», Bull. Соц. Математика. Франция , 84 : 97–205, doi : 10.24033/bsmf.1469
• Бамп, Дэниел (2004), Группы Ли , Graduate Texts in Mathematics, т. 225, Springer, ISBN 978-0387211541
• Картер, Роджер В. (1989) [1972], Простые группы типа Ли, Библиотека классических произведений Wiley, т. 22, Wiley, ISBN 9780471506836
• Шевалли, К. (2018) [1946], Теория групп Ли I, Дувр, ISBN 9780486824536
• Шевалле, К. (1955), «Простые группы определенных групп», Tôhoku Mathematical Journal , 7 (1–2): 14–66, doi : 10.2748/tmj/1178245104
• Дьедонне, Ж. (1977), Компактные группы Ли и полупростые группы Ли, Глава XXI , Трактат по анализу, т. 5, Academic Press, ISBN 978-0122155055
• Дуйстермаат, Джей-Джей; Колк, А. (2000), Группы Ли , Universitext, Springer, ISBN 978-3540152934
• Гельфанд, И.М.; Наймарк, М.А. (1950), "Унитарные представления классических групп", Труды Матем. ин-та Стеклов. , 36 : 3–288
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства , Academic Press, ISBN 978-0821828489
• Хельгасон, Сигурдур (1994), Геометрический анализ симметричных пространств , Математические обзоры и монографии, т. 39 (2-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 978-0821815380
• Хохшильд, Г. (1965), Структура групп Ли , Холден-Дэй
• Хохшильд, Г. (1966), «Комплексификация вещественных аналитических групп», Труды Американского математического общества , 125 (3): 406–413, doi : 10.2307/1994572 , JSTOR  1994572
• Хамфрис, Джеймс Э. (1981), Линейные алгебраические группы , Выпускные тексты по математике, т. 21, Springer, ISBN 978-0387901084
• Хамфрис, Джеймс Э. (1997), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Выпускные тексты по математике, т. 9 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3540900535
• Кнапп, Энтони В. (2001), Теория представлений полупростых групп: обзор на основе примеров , Princeton Mathematical Series, т. 36, Princeton University Press, ISBN 978-0691090894
• Онищик, АЛ; Винберг, ЭБ (1994), Группы Ли и алгебры Ли III: Структура групп Ли и алгебр Ли , Энциклопедия математических наук, т. 41, Springer, ISBN 9783540546832
• Сепански, Марк Р. (2007), Компактные группы Ли , Graduate Texts in Mathematics, т. 235, Springer, ISBN 978-0387302638
• Серр, Жан-Пьер (1954), «Représentation linéaires et espaces homogènes kählériens des groupes de Lie Compacts, Exposé no 100», Séminaire Bourbaki , 2 , заархивировано из оригинала 13 июля 2012 г. , получено 7 марта 2013 г.
• Стейнберг, Роберт (2006) [1974], Классы сопряженности в алгебраических группах, Lecture Notes in Mathematics, т. 366, Springer, ISBN 978-3-540-37931-7
• Вейль, Герман (2016) [1946], Классические группы, их инварианты и представления (2-е изд.), Princeton University Press, ISBN 978-1-4008-8390-5
• Вольф, Джозеф А. (2010), Пространства постоянной кривизны , AMS Chelsea Publishing (6-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 978-0821852828
• Желобенко, Д.П. (1973), Компактные группы Ли и их представления, Переводы математических монографий, т. 40 (3-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1590-8