В векторном исчислении комплексное пластинчатое векторное поле — это векторное поле , ортогональное семейству поверхностей. В более широком контексте дифференциальной геометрии комплексные пластинчатые векторные поля чаще называют гиперповерхностно-ортогональными векторными полями. Их можно охарактеризовать несколькими способами, многие из которых включают ротор . Пластинчатое векторное поле — это особый случай, заданный векторными полями с нулевым ротором.
Прилагательное «ламеллярный» происходит от существительного «ламелла», что означает тонкий слой. Ламели , к которым относится «ламеллярное векторное поле», являются поверхностями постоянного потенциала или, в комплексном случае, поверхностями, ортогональными векторному полю. [1]
В векторном исчислении комплексное пластинчатое векторное поле — это векторное поле в трех измерениях, которое ортогонально своему собственному ротору . [2] То есть,
Термин пластинчатое векторное поле иногда используется как синоним частного случая безвихревого векторного поля , имея в виду, что [3]
Комплексные пластинчатые векторные поля — это именно те, которые нормальны к семейству поверхностей. Безвихревое векторное поле локально является градиентом функции и, следовательно, ортогонально семейству поверхностей уровня ( эквипотенциальным поверхностям ). [4] Любое векторное поле можно разложить в сумму безвихревого векторного поля и комплексного пластинчатого поля. [5]
В более общем случае векторное поле F на псевдоримановом многообразии называется ортогональным к гиперповерхности, если через произвольную точку проходит гладко вложенная гиперповерхность , которая во всех своих точках ортогональна векторному полю. По теореме Фробениуса это эквивалентно требованию, чтобы скобка Ли любых гладких векторных полей, ортогональных к F, все еще была ортогональна к F . [6]
Условие гиперповерхностной ортогональности можно перефразировать в терминах дифференциальной 1-формы ω, которая является двойственной к F. Ранее данное условие скобки Ли можно переработать, чтобы потребовать, чтобы внешняя производная dω , вычисленная по любым двум касательным векторам, ортогональным к F , была равна нулю. [6] Это также можно сформулировать как требование, чтобы существовала гладкая 1-форма, произведение клина которой на ω равно dω . [7]
Альтернативно, это может быть записано как условие, что дифференциальная 3-форма ω ∧ dω равна нулю. Это также можно сформулировать в терминах связности Леви-Чивиты , определяемой метрикой, как требование, чтобы полностью антисимметричная часть 3-тензорного поля ω i ∇ j ω k была равна нулю. [8] Используя другую формулировку теоремы Фробениуса, это также эквивалентно требованию, чтобы ω была локально выразима как λ d u для некоторых функций λ и u . [9]
В частном случае векторных полей на трехмерном евклидовом пространстве условие ортогональности гиперповерхности эквивалентно комплексному пластинчатому условию, как видно из переписывания ω ∧ dω в терминах оператора звезды Ходжа как ∗⟨ω, ∗dω⟩ , где ∗dω является 1-формой, двойственной векторному полю ротора. [10]
Гиперповерхностно-ортогональные векторные поля особенно важны в общей теории относительности , где (помимо прочих причин) существование векторного поля Киллинга , которое является гиперповерхностно-ортогональным, является одним из требований статического пространства-времени . [11] В этом контексте гиперповерхностно-ортогональность иногда называют безвихревостью , хотя это противоречит стандартному использованию в трех измерениях. [12] Другое название — свобода от вращения . [13]
Еще более общее понятие на языке пфаффовых систем — это понятие полностью интегрируемой 1-формы ω , что равносильно условию ω ∧ dω = 0, как указано выше. [14] В этом контексте нет метрики, а значит, нет и понятия «ортогональности».
