Краткосрочная модель

Дерево , возвращающее OAS (черный против красного): короткая ставка является максимальным значением; динамика стоимости облигаций ясно показывает приближение к номиналу

Модель краткосрочной ставки , в контексте деривативов по процентным ставкам , представляет собой математическую модель , которая описывает будущую эволюцию процентных ставок путем описания будущей эволюции краткосрочной ставки , обычно записываемой . ${\displaystyle r_{t}\,}$

Короткая ставка

В рамках модели с коротким курсом в качестве стохастической переменной состояния принимается мгновенный спотовый курс . ^[1] Таким образом, короткая ставка — это процентная ставка ( непрерывно начисляемая , в годовом исчислении), по которой предприятие может занимать деньги на бесконечно короткий период времени . Указание текущей короткой ставки не определяет всю кривую доходности . Однако аргументы против арбитража показывают, что в некоторых довольно смягченных технических условиях, если мы моделируем эволюцию как случайный процесс с нейтральной к риску мерой , то цена в момент времени облигации с нулевым купоном со сроком погашения в момент времени с выплатой из 1 дается ${\displaystyle r_{t}\,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r_{t}\,}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle P(t,T)=\operatorname {E} ^{Q}\left[\left.\exp {\left(-\int _{t}^{T}r_{s}\,ds\right)}\right|{\mathcal {F}}_{t}\right],}$

где – естественная фильтрация процесса. Процентные ставки, подразумеваемые облигациями с нулевым купоном, образуют кривую доходности, или, точнее, нулевую кривую . Таким образом, определение модели для краткосрочной ставки определяет будущие цены облигаций. Это означает, что мгновенные форвардные курсы также определяются по обычной формуле ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle f(t,T)=-{\frac {\partial }{\partial T}}\ln(P(t,T)).}$

Короткие модели ставок часто классифицируются как эндогенные и экзогенные. Эндогенные модели с короткими ставками — это модели с короткими ставками, в которых временная структура процентных ставок или цен на облигации с нулевым купоном является результатом модели, поэтому она находится «внутри модели» (эндогенно) и определяется параметрами модели. Экзогенные модели с краткосрочными ставками — это модели, в которых такая временная структура является входными данными, поскольку модель включает в себя некоторые зависящие от времени функции или сдвиги, которые позволяют ввести заданную временную структуру рынка, так что временная структура приходит извне (экзогенная). ^[2] ${\displaystyle T\mapsto P(0,T)}$

Отдельные модели с короткими ставками

В этом разделе представлено стандартное броуновское движение при нейтральной к риску вероятностной мере и его дифференциал . Если модель является логнормальной , предполагается, что переменная подчиняется процессу Орнштейна-Уленбека и следует за ней . ${\displaystyle W_{t}\,}$ ${\displaystyle dW_{t}\,}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle r_{t}\,}$ ${\displaystyle r_{t}=\exp {X_{t}}\,}$

Однофакторные краткосрочные модели

Ниже приведены однофакторные модели, в которых единственный стохастический фактор – короткая ставка – определяет будущую эволюцию всех процентных ставок. За исключением моделей Рендлмана-Барттера и Хо-Ли, которые не отражают возвращение процентных ставок к среднему , эти модели можно рассматривать как частные случаи процессов Орнштейна-Уленбека. Модели Васичека, Рендлмана-Барттера и CIR являются эндогенными моделями и имеют только конечное число свободных параметров , поэтому невозможно указать значения этих параметров таким образом, чтобы модель совпадала с несколькими наблюдаемыми рыночными ценами («калибровка» ) облигаций с нулевым купоном или линейных продуктов, таких как соглашения о форвардной процентной ставке или свопы, как правило, или для этих линейных продуктов выполняется наилучшее сопоставление, чтобы найти параметры эндогенных моделей с краткосрочной ставкой, которые наиболее близки к рыночным ценам. Это не позволяет использовать такие параметры, как ограничения, полы и свопы, поскольку вместо этого параметры использовались для подгонки линейных инструментов. Эту проблему можно решить, позволив параметрам детерминированно изменяться со временем ^{[3] [4]} или добавив детерминированный сдвиг к эндогенной модели. ^[5] Таким образом, экзогенные модели, такие как модель Хо-Ли и последующие модели, могут быть откалиброваны по рыночным данным, а это означает, что они могут точно вернуть цену облигаций, составляющих кривую доходности, а остальные параметры можно использовать для калибровки опционов. . Реализация обычно осуществляется с помощью ( биномиального ) дерева коротких ставок ^[6] или моделирования; см. Решетчатую модель (финансы) § Производные процентные ставки и методы Монте-Карло для определения цены опционов , хотя некоторые модели с краткосрочными ставками имеют решения закрытой формы для облигаций с нулевым купоном и даже кэпы ​​или минимумы, что значительно упрощает задачу калибровки. Сначала мы перечислим следующие эндогенные модели.

1. Модель Мертона (1973) объясняет короткую ставку следующим образом : где – одномерное броуновское движение при точечной мартингальной мере . ^[7] В этом подходе короткая скорость следует арифметическому броуновскому движению . ${\displaystyle r_{t}=r_{0}+at+\sigma W_{t}^{*}}$ ${\displaystyle W_{t}^{*}}$
2. Модель Васичека (1977) моделирует краткосрочную ставку как ; так часто пишут . ^[8] Вторая форма является более распространенной и делает интерпретацию параметров более прямой: параметром является скорость возврата к среднему значению, параметром является долгосрочное среднее значение, а параметром является мгновенная волатильность. В этой модели коротких ставок для коротких ставок используется процесс Орнштейна – Уленбека . Эта модель допускает отрицательные ставки, поскольку распределение вероятности краткосрочной ставки является гауссовым. Кроме того, эта модель допускает решения в закрытой форме для цены облигации, опционов на облигации и предельных/минимальных значений, а, используя трюк Джамшидиана , можно также получить формулу для свопов. ^[2] ${\displaystyle dr_{t}=(\theta -\alpha r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma }$
3. Модель Рендлмана -Барттера (1980) ^[9] или модель Дотана (1978) ^[10] объясняет краткосрочную ставку как . В этой модели короткая скорость соответствует геометрическому броуновскому движению . Эта модель не имеет формул закрытой формы для опционов и не предполагает возврата. Более того, через короткое время возникает проблема бесконечного ожидаемого банковского счета. Та же проблема будет присутствовать во всех логнормальных моделях с коротким курсом ^[2] ${\displaystyle dr_{t}=\theta r_{t}\,dt+\sigma r_{t}\,dW_{t}}$
4. Модель Кокса -Ингерсолла-Росса (1985) предполагает , как часто пишут . Этот фактор исключает (как правило) возможность отрицательных процентных ставок. ^[11] Интерпретация параметров во второй формулировке такая же, как и в модели Васичека. Условие Феллера обеспечивает строго положительные короткие ставки. Эта модель следует процессу извлечения квадратного корня Феллера и имеет неотрицательные ставки, а также позволяет принимать решения в закрытой форме для цены облигации, опционов на облигации и предельных/минимальных значений, а также, используя трюк Джамшидиана , можно также получить формулу для свопов. И эта модель, и модель Васичека называются аффинными моделями, поскольку формула для непрерывно начисляемой спотовой ставки для конечного срока погашения T в момент времени t является аффинной функцией от . ^[2] ${\displaystyle dr_{t}=(\theta -\alpha r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$ ${\displaystyle 2ab>\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle r_{t}}$

Теперь мы перечислим ряд экзогенных моделей коротких ставок.

1. Модель Хо-Ли (1986) моделирует краткосрочную ставку как . ^[12] Этот параметр позволяет использовать исходную временную структуру процентных ставок или цен на облигации в качестве входных данных модели. Эта модель снова следует арифметическому броуновскому движению с зависящим от времени детерминированным параметром дрейфа. ${\displaystyle dr_{t}=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle \theta _{t}}$
2. Модель Халла-Уайта (1990), также называемая расширенной моделью Васичека, утверждает : Во многих презентациях один или несколько параметров не зависят от времени. Распределение краткосрочной ставки нормальное, и модель допускает отрицательные ставки. Модель с константой и является наиболее часто используемой и позволяет принимать решения в закрытой форме для цен на облигации, опционов на облигации, предельных и минимальных значений, а также свопов с помощью трюка Джамшидиана. Эта модель позволяет точно калибровать первоначальную временную структуру процентных ставок с помощью функции, зависящей от времени . Решётчатая реализация для бермудских свопов и продуктов без аналитических формул обычно является трёхчленной . ^{[13] [14]} ${\displaystyle dr_{t}=(\theta _{t}-\alpha _{t}r_{t})\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$ ${\displaystyle \theta ,\alpha }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \theta _{t}}$
3. Модель Блэка – Дермана – Той (1990) учитывает зависящую от времени волатильность краткосрочных ставок и другие факторы; модель логнормальная. ^[15] Модель не имеет формул закрытой формы для опционов. Кроме того, как и все логнормальные модели, она страдает от проблемы резкого увеличения ожидаемого банковского счета за конечное время. ${\displaystyle d\ln(r)=[\theta _{t}+{\frac {\sigma '_{t}}{\sigma _{t}}}\ln(r)]dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$ ${\displaystyle d\ln(r)=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$
4. Логнормальная модель Блэка-Карасинского (1991 ) имеет . ^[16] Модель можно рассматривать как логнормальное применение модели Халла–Уайта; ^[17] его реализация на основе решетки также является триномиальной (биномиальной, требующей различных временных шагов). ^[6] Модель не имеет решений в закрытой форме, и даже базовая калибровка исходной временной структуры должна выполняться с помощью численных методов для определения цен на облигации с нулевым купоном. Эта модель также страдает от проблемы резкого увеличения ожидаемого банковского счета за конечное время. ${\displaystyle d\ln(r)=[\theta _{t}-\phi _{t}\ln(r)]\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$
5. Модель Калотая-Вильямса-Фабоцци (1993) имеет короткую скорость как , логнормальный аналог модели Хо-Ли и частный случай модели Блэка-Дермана-Тоя. ^[18] Этот подход по сути аналогичен «оригинальной модели Salomon Brothers » (1987), ^[19] также являющейся логнормальным вариантом Хо-Ли. ^[20] ${\displaystyle d\ln(r_{t})=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$
6. Модель CIR++, представленная и подробно изученная Бриго и Меркурио ^[5] в 2001 году, а также сформулированная ранее Скоттом (1995) ^[21], использовала модель CIR, но вместо введения зависящих от времени параметров в динамику она добавляет внешний сдвиг. Модель сформулирована так: где происходит детерминированный сдвиг. Этот сдвиг можно использовать для поглощения временной структуры рынка и приведения модели в полное соответствие с ней. Эта модель сохраняет аналитическую гибкость базовой модели CIR, позволяя использовать решения в закрытой форме для облигаций и всех линейных продуктов, а также такие варианты, как ограничения, пол и свопы, с помощью трюка Джамшидиана. Модель позволяет поддерживать положительные ставки, если сдвиг ограничен положительным, или допускает отрицательные ставки, если сдвиг может стать отрицательным. Он также часто применялся в отношении кредитного риска, для кредитно-дефолтных свопов и свопов, в этой исходной версии или с скачками. ^[22] ${\displaystyle dx_{t}=a(b-x_{t})\,dt+{\sqrt {x_{t}}}\,\sigma \,dW_{t},\ \ r_{t}=x_{t}+\phi (t)}$ ${\displaystyle \phi }$

Идея детерминированного сдвига может быть применена и к другим моделям, которые обладают желаемыми свойствами в своей эндогенной форме. Например, можно было бы применить сдвиг к модели Васичека, но из-за линейности процесса Орнштейна-Уленбека это эквивалентно созданию функции, зависящей от времени, и, таким образом, будет совпадать с моделью Халла-Уайта. ^[5] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle b}$

Многофакторные краткосрочные модели

Помимо вышеуказанных однофакторных моделей, существуют также многофакторные модели краткосрочной ставки, среди них наиболее известны двухфакторная модель Лонгстаффа и Шварца и трехфакторная модель Чена (также называемая «моделью стохастического среднего и стохастической волатильности»). ). Обратите внимание, что в целях управления рисками, «чтобы создать реалистичное моделирование процентных ставок », эти многофакторные модели с краткосрочными ставками иногда предпочтительнее однофакторных моделей, поскольку они создают сценарии, которые, как правило, лучше «согласуются с фактическими Движение кривой доходности». ^[23]

• Модель Лонгстаффа – Шварца (1992) предполагает, что динамика коротких ставок определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}dX_{t}&=(a_{t}-bX_{t})\,dt+{\sqrt {X_{t}}}\,c_{t}\,dW_{1t},\\[3pt]dY_{t}&=(d_{t}-eY_{t})\,dt+{\sqrt {Y_{t}}}\,f_{t}\,dW_{2t},\end{aligned}}}$

где короткая ставка определяется как

${\displaystyle dr_{t}=(\mu X+\theta Y)\,dt+\sigma _{t}{\sqrt {Y}}\,dW_{3t}.}$^[24]

• Модель Чена (1996), которая имеет стохастическое среднее и волатильность краткосрочной ставки, определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}dr_{t}&=(\theta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},\\[3pt]d\alpha _{t}&=(\zeta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {\alpha _{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},\\[3pt]d\sigma _{t}&=(\beta _{t}-\sigma _{t})\,dt+{\sqrt {\sigma _{t}}}\,\eta _{t}\,dW_{t}.\end{aligned}}}$^[25]

• Двухфакторные модели Халла-Уайта или G2++ — это модели, которые использовались из-за их легкости. Эти модели обобщены и показаны как эквивалентные в работе Бриго и Меркурио (2006). Эта модель основана на добавлении двух, возможно, коррелирующих процессов Орнштейна-Уленбека (Васичека) плюс сдвиг для получения короткой ставки. Эта модель позволяет точно калибровать временную структуру, полузамкнутые решения для опционов, контролировать временную структуру волатильности для мгновенных форвардных ставок посредством параметра корреляции и особенно для отрицательных ставок, что стало важным, когда ставки стали отрицательными в финансовых операциях. рынки. ^[26]

Другие модели процентных ставок

Другой важной основой для моделирования процентных ставок является модель Хита – Джарроу – Мортона (HJM). В отличие от описанных выше краткосрочных моделей, этот класс моделей, как правило, немарковский. Это делает общие модели HJM вычислительно неразрешимыми для большинства целей. Большим преимуществом моделей HJM является то, что они дают аналитическое описание всей кривой доходности, а не только краткосрочной ставки. Для некоторых целей (например, оценки ценных бумаг, обеспеченных ипотекой) это может оказаться большим упрощением. Модели Кокса-Ингерсолла-Росса и Халла-Уайта в одном или нескольких измерениях могут быть непосредственно выражены в рамках HJM. Другие модели с короткими ставками не имеют простого двойного представления HJM.

Структура HJM с несколькими источниками случайности, включая модель Брейса-Гатарека-Мусиелы и рыночные модели, часто предпочтительна для моделей более высокого измерения.

Модели, основанные на теневой ставке Фишера Блэка, используются , когда процентные ставки приближаются к нулевой нижней границе .

Смотрите также

• Атрибуция с фиксированным доходом

Рекомендации

1. Модели краткосрочной ставки, профессор Эндрю Лесневски, Нью-Йоркский университет.
2. Бриго, Дамиано; Меркурио, Фабио (2006). Модели процентных ставок: теория и практика . Спрингер Финанс. Гейдельберг: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-3-540-34604-3. ISBN 978-3-540-22149-4.
3. Обзор моделей процентных опционов. Архивировано 6 апреля 2012 г. в Wayback Machine , профессор Фаршид Джамшидиан , Университет Твенте.
4. Короткие модели непрерывного времени, архивированные 23 января 2012 г. в Wayback Machine , профессор Мартин Хо, Колумбийский университет.
5. Бриго Д. и Меркурио Ф. (2001). Детерминированное-сдвиговое расширение аналитически управляемых и однородных во времени моделей с короткими темпами. Финансы и стохастика 5, 369–387. https://doi.org/10.1007/PL00013541
6. Модели биномиальной временной структуры, Mathematica в образовании и исследованиях , Vol. 7 № 3 1998. Саймон Беннинга и Цви Винер.
7. Мертон , Роберт С. (1973). «Теория рационального ценообразования опционов». Bell Journal of Economics and Management Science . 4 (1): 141–183. дои : 10.2307/3003143. hdl : 1721.1/49331 . JSTOR  3003143.
8. Васичек, Олдрич (1977). «Равновесная характеристика временной структуры». Журнал финансовой экономики . 5 (2): 177–188. CiteSeerX 10.1.1.456.1407 . дои : 10.1016/0304-405X(77)90016-2. 
9. Рендлман, Р.; Бартер, Б. (1980). «Ценообразование опционов на долговые ценные бумаги». Журнал финансового и количественного анализа . 15 (1): 11–24. дои : 10.2307/2979016. JSTOR  2979016. S2CID  154495945.
10. Дотан, LU (1978). О временной структуре процентных ставок. Жур. фин. Эк., 6:59–69.
11. Кокс, Дж. К. , Дж. Э. Ингерсолл и С. А. Росс (1985). «Теория временной структуры процентных ставок». Эконометрика . 53 (2): 385–407. дои : 10.2307/1911242. JSTOR  1911242.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
12. TSY Хо и С.Б. Ли (1986). «Движения временной структуры и ценообразование условных требований по процентной ставке». Журнал финансов . 41 (5): 1011–1029. дои : 10.2307/2328161. JSTOR  2328161.
13. Джон Халл ; Алан Уайт (1990). «Ценообразование процентных производных ценных бумаг». Обзор финансовых исследований . 3 (4): 573–592. дои : 10.1093/rfs/3.4.573.
14. Маркус Лейппольд; Цви Винер (2004). «Эффективная калибровка триномиальных деревьев для однофакторных краткосрочных моделей» (PDF) . Обзор исследований производных финансовых инструментов . 7 (3): 213–239. CiteSeerX 10.1.1.203.4729 . doi : 10.1007/s11147-004-4810-8. 
15. Блэк , Ф.; Дерман, Э .; Той, В. (1990). «Однофакторная модель процентных ставок и ее применение к опционам на казначейские облигации» (PDF) . Журнал финансовых аналитиков : 24–32. Архивировано из оригинала (PDF) 10 сентября 2008 г.
16. Блэк, Ф.; Карасински, П. (1991). «Цены на облигации и опционы, когда короткие ставки логарифмически нормальны». Журнал финансовых аналитиков . 47 (4): 52–59. дои : 10.2469/faj.v47.n4.52.
17. Модели с краткосрочными ставками ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} , профессор Сер-Хуанг Пун, Манчестерская школа бизнеса
18. Калотай, Эндрю Дж .; Уильямс, Джордж О.; Фабоцци, Фрэнк Дж. (1993). «Модель оценки облигаций и встроенных опционов». Журнал финансовых аналитиков . 49 (3): 35–46. дои : 10.2469/faj.v49.n3.35.
19. Коппраш, Роберт (1987). «Эффективная дюрация облигаций с правом отзыва: модель ценообразования опционов на основе срочной структуры Salomon Brothers». Salomon Bros. OCLC  16187107. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
20. См. стр. 218 в книге Такман, Брюс и Энджел Серрат (2011). Ценные бумаги с фиксированным доходом: инструменты для сегодняшних рынков . Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-0-470-89169-8.
21. Скотт, Л. (1995). Оценка процентных деривативов в многофакторной модели временной структуры с детерминированными компонентами. Университет Джорджии. Рабочий документ.
22. Бриго Д. и Эль-Башир Н. (2010). Точная формула для определения цены свопов по умолчанию в модели стохастической интенсивности SSRJD. Математические финансы. Июль 2010 г., стр. 365–382, https://doi.org/10.1111/j.1467-9965.2010.00401.x.
23. Подводные камни в управлении активами и пассивами: однофакторные модели временной структуры. Архивировано 3 апреля 2012 г. в Wayback Machine , доктор Дональд Р. ван Девентер, Kamakura Corporation.
24. Лонгстафф, ФА ; Шварц, ЕС (1992). «Волатильность процентных ставок и временная структура: двухфакторная модель общего равновесия» (PDF) . Журнал финансов . 47 (4): 1259–82. doi :10.1111/j.1540-6261.1992.tb04657.x.
25. Линь Чен (1996). «Стохастическое среднее и стохастическая волатильность — трехфакторная модель временной структуры процентных ставок и ее применение к ценообразованию производных процентных ставок». Финансовые рынки, институты и инструменты . 5 : 1–88.
26. Джакомо Бурро, Пьер Джузеппе Жирибоне, Симоне Лигато, Мартина Мулас и Франческа Кверчи (2017). Влияние отрицательных процентных ставок на цену опционов: возвращение к основам? Международный журнал финансовой инженерии 4 (2), https://doi.org/10.1142/S2424786317500347

дальнейшее чтение

• Мартин Бакстер и Эндрю Ренни (1996). Финансовый расчет . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-55289-9.
• Дамиано Бриго; Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок – теория и практика с улыбкой, инфляцией и кредитом (2-е изд., 2006 г.). Спрингер Верлаг. ISBN 978-3-540-22149-4.
• Джеральд Бьютоу и Джеймс Сочаки (2001). Модели временной структуры с использованием биномиальных деревьев . Исследовательский фонд AIMR ( Институт CFA ). ISBN 978-0-943205-53-3.
• Эндрю Дж. Г. Кэрнс (2004). Модели процентных ставок – Введение . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-11894-9.
• Эндрю Дж. Г. Кэрнс (2004). Модели процентных ставок; запись в Энциклопедии актуарной науки. Джон Уайли и сыновья . 2004. ISBN 978-0-470-84676-6.
• К.С. Чан, Дж. Эндрю Кароли, Фрэнсис Лонгстафф и Энтони Сандерс (1992). Эмпирическое сравнение альтернативных моделей краткосрочной процентной ставки (PDF) . Финансовый журнал , Vol. XLVII, № 3, июль 1992 г.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Линь Чен (1996). Динамика процентных ставок, ценообразование на производные финансовые инструменты и управление рисками . Спрингер . ISBN 978-3-540-60814-1.
• Раджна Гибсон, Франсуа-Серж Лабитан и Дени Талай (1999). Моделирование временной структуры процентных ставок: обзор . Журнал риска, 1 (3): 37–62, 1999.
• Лейн Хьюстон (2003). Прошлое, настоящее и будущее моделирования временных структур; запись в Питере Филде (2003). Современный риск-менеджмент . Книги рисков. ISBN 978-1-906348-30-4.
• Джессика Джеймс и Ник Уэббер (2000). Моделирование процентных ставок . Уайли Финанс . ISBN 978-0-471-97523-6.
• Роберт Джарроу (2002). Моделирование ценных бумаг с фиксированным доходом и опционов на процентную ставку (2-е изд.) . Стэнфордская экономика и финансы. ISBN 978-0-8047-4438-6.
• Роберт Джарроу (2009). «Срочная структура процентных ставок». Ежегодный обзор финансовой экономики . 1 (1): 69–96. doi : 10.1146/annurev.financial.050808.114513.
• ФК Парк (2004). «Внедрение моделей процентных ставок: практическое руководство» (PDF) . Публикация исследования CMPR . Архивировано из оригинала (PDF) 16 августа 2010 г.
• Риккардо Ребонато (2002). Современное ценообразование процентных деривативов . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-08973-7.
• Риккардо Ребонато (2003). «Модели временной структуры: обзор» (PDF) . Рабочий документ Центра количественных исследований Королевского банка Шотландии .