Кузен премьер

Простые числа, отличающиеся на 4

В теории чисел двоюродные простые числа — это простые числа , которые отличаются на четыре. ^[1] Сравните это с простыми числами-близнецами — парами простых чисел, которые отличаются на два, и сексуальными простыми числами — парами простых чисел, которые отличаются на шесть.

Двоюродные простые числа (последовательности OEIS : A023200 и OEIS : A046132 в OEIS ) ниже 1000:

(3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97 , 101), (103, 107), (109, 113), (127, 131), (163, 167), (193, 197), (223, 227), (229, 233), (277, 281) ), (307, 311), (313, 317), (349, 353), (379, 383), (397, 401), (439, 443), (457, 461), (463,467), (487 , 491), (499, 503), (613, 617), (643, 647), (673, 677), (739, 743), (757, 761), (769, 773), (823, 827), (853) , 857), (859, 863), (877, 881), (883, 887), (907, 911), (937, 941), (967, 971)

Характеристики

Единственное простое число, принадлежащее двум парам кузенских простых чисел, — это 7. Одно из чисел n , n + 4, n + 8 всегда будет делиться на 3, поэтому n = 3 — единственный случай, когда все три являются простыми числами.

Примером большой доказанной пары двоюродных простых чисел является ( p , p + 4) для

${\displaystyle p=4111286921397\times 2^{66420}+1}$

который имеет 20008 цифр. Фактически, это часть простой тройки , поскольку p также является простым числом-близнецом (потому что p – 2 также является доказанным простым числом).

По состоянию на апрель 2022 года ^{[обновлять]}самая большая известная пара кузенов простых чисел была найдена С. Баталовым и имеет 51 934 знака. Простые числа:

${\displaystyle p=29055814795\times (2^{172486}-2^{86243})+2^{86245}-3}$

${\displaystyle p+4=29055814795\times (2^{172486}-2^{86243})+2^{86245}+1}$^[2]

Если верна первая гипотеза Харди–Литтлвуда , то двоюродные простые числа имеют ту же асимптотическую плотность, что и близнецы . Аналог константы Бруна для близнецов простых чисел может быть определен для двоюродных простых чисел, называемый константой Бруна для двоюродных простых чисел , с опущенным начальным членом (3, 7), сходящейся суммой: ^[3]

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}\right)+\left({\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}\right)+\left({\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}\right)+\cdots .}$

Используя двоюродные простые числа до 2 ⁴² , Марек Вольф в 1996 году оценил значение B _{4 следующим образом:}

${\displaystyle B_{4}\approx 1.1970449}$^[4]

Эту константу не следует путать с константой Бруна для простых четверок , которая также обозначается B ₄ .

Число Скьюза для кузенских простых чисел равно 5206837 (Tóth (2019)).

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. «Кузен Праймс». Математический мир .
2. Баталов, С. «Давайте найдем несколько больших сексуальных простых пар». mersenneforum.org . Получено 17.09.2022 .
3. Сигал, Б. (1930). «Обобщение теории де Брюна». ЧР акад. наук. УРСС (на русском языке). 1930 : 501–507. ЯФМ  57.1363.06.
4. Марек Вольф (1996), О простых числах-близнецах и кузенах.

Ссылки

• Уэллс, Дэвид (2011). Простые числа: самые загадочные цифры в математике . John Wiley & Sons. стр. 33. ISBN 978-1118045718.
• Файн, Бенджамин; Розенбергер, Герхард (2007). Теория чисел: введение через распределение простых чисел . Биркхойзер. С. 206. ISBN 978-0817644727.
• Tóth, László (2019), «Об асимптотической плотности простых k-кортежей и гипотезе Харди и Литтлвуда» (PDF) , Вычислительные методы в науке и технике , 25 (3), arXiv : 1910.02636 , doi : 10.12921/cmst.2019.0000033.
• Вольф, Марек (февраль 1998 г.). «Случайное блуждание по простым числам». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 250 (1–4): 335–344. Bibcode : 1998PhyA..250..335W. doi : 10.1016/s0378-4371(97)00661-4.