Простая четверка

Множество простых чисел {p, p+2, p+6, p+8}

В теории чисел простая четверка ( иногда называемая простой четверкой ) — это набор из четырех простых чисел вида { p , p + 2, p + 6, p + 8}. ^[1] Это представляет собой ближайшую возможную группировку из четырех простых чисел, больших 3, и является единственным простым созвездием длины 4.

Прайм-четверки

Первые восемь простых четверок:

{ 5 , 7 , 11 , 13 }, {11, 13, 17 , 19 }, { 101 , 103 , 107 , 109 }, { 191 , 193 , 197 , 199 }, {821, 823, 827, 829}, {1481, 1483, 1487, 1489}, {1871, 1873, 1877, 1879}, {2081, 2083, 2087, 2089} (последовательность A007530 в OEIS )

Все простые четверки, за исключением {5, 7, 11, 13}, имеют вид {30 n + 11, 30 n + 13, 30 n + 17, 30 n + 19} для некоторого целого числа n . (Эта структура необходима для того, чтобы гарантировать, что ни одно из четырех простых чисел не делится на 2, 3 или 5). Простая четверка этой формы также называется простым десятком .

Все такие простые декады имеют центры вида 210n + 15, 210n + 105 и 210n + 195, поскольку центры должны быть -1, O или +1 по модулю 7. Форма +15 может также дать начало (высокой) простой квинтолет; форма +195 может также дать начало (низкой) квинтолету; в то время как форма +105 может дать оба типа квинтов и, возможно, простых секстолетов. Не случайно, что каждое простое число в простой декаде смещено от своего центра на степень 2, фактически на 2 или 4, поскольку все центры нечетные и делятся как на 3, так и на 5.

Квадруплет простых чисел можно описать как последовательную пару близнецов простых чисел , два перекрывающихся набора триплетов простых чисел или две перемешанные пары сексуальных простых чисел . Эти «четверки» простых чисел 11 или выше также образуют ядро ​​квинтуплетов простых чисел и секступлетов простых чисел путем добавления или вычитания 8 из их соответствующих центров.

Неизвестно, существует ли бесконечно много простых четверок. Доказательство того, что существует бесконечно много, подразумевает гипотезу о простых числах-близнецах , но это согласуется с текущими знаниями о том, что может быть бесконечно много пар простых чисел-близнецов и только конечное количество простых четверок. Количество простых четверок с n цифрами в десятичной системе счисления для n = 2, 3, 4, ... равно

1, 3, 7, 27, 128, 733, 3869, 23620, 152141, 1028789, 7188960, 51672312, 381226246, 2873279651 (последовательность A120120 в OEIS ).

По состоянию на февраль 2019 года ^{[обновлять]}самая большая известная простая четверка имеет 10132 цифры. ^[2] Она начинается с p = 667674063382677 × 2 ³³⁶⁰⁸ − 1 , найденного Питером Кайзером.

Константа, представляющая собой сумму обратных величин всех простых четверок, константа Бруна для простых четверок, обозначаемая B ₄ , представляет собой сумму обратных величин всех простых четверок:

$${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }$$

со значением:

В ₄ = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005.

Эту константу не следует путать с константой Бруна для двоюродных простых чисел , пар простых чисел вида ( p , p + 4) , которая также записывается как B ₄ .

Предполагается, что на кости Ишанго изображена основная четверка {11, 13, 17, 19} , хотя это оспаривается.

За исключением первой простой четверки, кратчайшее возможное расстояние между двумя четверками { p , p + 2, p + 6, p + 8} и { q , q + 2, q + 6, q + 8} равно q - p  = 30. Первые появления этого числа наблюдаются для p = 1006301, 2594951, 3919211, 9600551, 10531061, ... ( OEIS : A059925 ).

Число Скьюза для простых четверок { p , p + 2, p + 6, p + 8} равно 1172531 (Tóth (2019)).

Первоклассные пятерняшки

Если { p , p + 2, p + 6, p + 8} — простая четверка и p − 4 или p + 12 также являются простыми, то пять простых чисел образуют простую пятерку , которая является ближайшим допустимым созвездием из пяти простых чисел. Первые несколько простых пятерок с p + 12 :

{5, 7, 11, 13, 17}, {11, 13, 17, 19, 23}, {101, 103, 107, 109, 113}, {1481, 1483, 1487, 1489, 1493}, {16061 , 16063, 16067, 16069, 16073}, {19421, 19423, 19427, 19429, 19433}, {21011, 21013, 21017, 21019, 21023 }, {22271, 22273, 22277 , 22279, 22283}, {43781, 43783, 43787, 43789, 43793}, {55331, 55333, 55337, 55339, 55343} … OEIS : A022006 .

Первые простые пятерки с p − ​​4 :

{7, 11, 13, 17, 19}, {97, 101, 103, 107, 109}, {1867, 1871, 1873, 1877, 1879}, {3457, 3461, 3463, 3467, 3469}, {5647 , 5651, 5653, 5657, 5659}, {15727, 15731, 15733, 15737, 15739}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069}, {19417, 19421, 19423, 19 427, 19429}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789}, {79687, 79691, 79693, 79697, 79699}, {88807, 88811, 88813, 88817, 88819} ... OEIS : 22007 .

Простая пятерка содержит две близкие пары простых чисел-близнецов, простую четверку и три перекрывающихся простых триплета.

Неизвестно, существует ли бесконечно много простых пятерок. Опять же, доказательство гипотезы о простых близнецах не обязательно доказывает, что существует также бесконечно много простых пятерок. Также доказательство того, что существует бесконечно много простых четверок, не обязательно доказывает, что существует бесконечно много простых пятерок.

Число Скьюза для простых пятерок { p , p + 2, p + 6, p + 8, p + 12} равно 21432401 (Tóth (2019)).

Главные секступлеты

Если оба числа p − 4 и p + 12 являются простыми, то это становится простым секстоплетом . Первые несколько:

{7, 11, 13, 17, 19, 23}, {97, 101, 103, 107, 109, 113}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073}, {19417, 19421, 19423, 1942 7 , 19429, 19433}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793} OEIS : A022008

Некоторые источники также называют {5, 7, 11, 13, 17, 19} простым секступлетом. Наше определение, все случаи простых чисел { p − 4, p , p + 2, p + 6, p + 8, p + 12}, следует из определения простого секступлета как ближайшего допустимого созвездия из шести простых чисел.

Простой секстиплет содержит две близкие пары простых чисел-близнецов, простую четверку, четыре перекрывающихся простых триплета и две перекрывающихся простых пятерки.

Все простые шестерки, за исключением {7, 11, 13, 17, 19, 23}, имеют вид для некоторого целого числа n . (Эта структура необходима для того, чтобы гарантировать, что ни одно из шести простых чисел не делится на 2, 3, 5 или 7 ). $${\displaystyle \{210n+97,\ 210n+101,\ 210n+103,\ 210n+107,\ 210n+109,\ 210n+113\}}$$

Неизвестно, существует ли бесконечно много простых шестерок. Опять же, доказательство гипотезы о простых числах-близнецах не обязательно доказывает, что существует также бесконечно много простых шестерок. Также доказательство того, что существует бесконечно много простых пятерок, не обязательно доказывает, что существует бесконечно много простых шестерок.

Число Скьюза для кортежа { p , p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p + 16} равно 251331775687 (Tóth (2019)).

Простые k-кортежи

Простые четверки, пятерки и секступлеты являются примерами простых созвездий, а простые созвездия, в свою очередь, являются примерами простых k -кортежей. Простым созвездием называется группа из k простых чисел с минимальным простым p и максимальным простым p + n , удовлетворяющая следующим двум условиям:

• Не все остатки по модулю q представлены для любого простого числа q
• Для любого заданного k значение n является минимально возможным

В более общем случае простой k -кортеж возникает, если выполняется первое условие, но не обязательно второе условие.

Ссылки

1. Вайсштейн, Эрик В. «Простой четверной». Математический мир .Получено 15 июня 2007 г.
2. Двадцатка лучших: Квадраплет на The Prime Pages . Получено 28.02.2019.

• Tóth, László (2019), "Об асимптотической плотности простых k-кортежей и гипотезе Харди и Литтлвуда" (PDF) , Вычислительные методы в науке и технике , 25 (3), arXiv : 1910.02636 , doi :10.12921/cmst.2019.0000033, S2CID  203836016.