полином Лагранжа

Полиномы, используемые для интерполяции

На этом изображении для четырех точек ( (−9, 5) , (−4, 2) , (−1, −2) , (7, 9) ) показан (кубический) интерполяционный полином L ( x ) (пунктирный, черный), который является суммой масштабированных базисных полиномов y ₀ ℓ ₀ ( x ) , y ₁ ℓ ₁ ( x ) , y ₂ ℓ ₂ ( x ) и y ₃ ℓ ₃ ( x ) . Интерполяционный полином проходит через все четыре контрольные точки, а каждый масштабированный базисный полином проходит через свою соответствующую контрольную точку и равен 0, где x соответствует трем другим контрольным точкам.

В численном анализе интерполяционный полином Лагранжа — это уникальный полином наименьшей степени , который интерполирует заданный набор данных.

Дан набор данных пар координат с называются узлами и называются значениями . Полином Лагранжа имеет степень и принимает каждое значение в соответствующем узле, ${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$ ${\displaystyle 0\leq j\leq k,}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle y_{j}}$ ${\displaystyle L(x)}$ ${\textstyle \leq k}$ ${\displaystyle L(x_{j})=y_{j}.}$

Хотя метод назван в честь Жозефа-Луи Лагранжа , опубликовавшего его в 1795 году, ^[1] он был впервые открыт в 1779 году Эдвардом Уорингом . ^[2] Он также является простым следствием формулы, опубликованной в 1783 году Леонардом Эйлером . ^[3]

Применение полиномов Лагранжа включает метод численного интегрирования Ньютона–Котеса , схему разделения секрета Шамира в криптографии и метод исправления ошибок Рида–Соломона в теории кодирования .

Для равноотстоящих узлов интерполяция Лагранжа подвержена явлению Рунге больших колебаний.

Определение

При наличии набора узлов , которые все должны быть различны, для индексов базис Лагранжа для многочленов степени для этих узлов представляет собой набор многочленов, каждый из которых имеет степень , принимающую значения, если и . Используя дельту Кронекера, это можно записать Каждый базисный многочлен может быть явно описан произведением: ${\textstyle k+1}$ ${\displaystyle \{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k}\}}$ ${\displaystyle x_{j}\neq x_{m}}$ ${\displaystyle j\neq m}$ ${\textstyle \leq k}$ ${\textstyle \{\ell _{0}(x),\ell _{1}(x),\ldots ,\ell _{k}(x)\}}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle \ell _{j}(x_{m})=0}$ ${\textstyle m\neq j}$ ${\textstyle \ell _{j}(x_{j})=1}$ ${\textstyle \ell _{j}(x_{m})=\delta _{jm}.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}(x)&={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{j-1})}{(x_{j}-x_{j-1})}}{\frac {(x-x_{j+1})}{(x_{j}-x_{j+1})}}\cdots {\frac {(x-x_{k})}{(x_{j}-x_{k})}}\\[8mu]&=\prod _{\begin{smallmatrix}0\leq m\leq k\\m\neq j\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}{\vphantom {\Bigg |}}.\end{aligned}}}$$

Обратите внимание, что числитель имеет корни в узлах , а знаменатель масштабирует полученный многочлен таким образом, что ${\textstyle \prod _{m\neq j}(x-x_{m})}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle \{x_{m}\}_{m\neq j}}$ ${\textstyle \prod _{m\neq j}(x_{j}-x_{m})}$ ${\textstyle \ell _{j}(x_{j})=1.}$

Интерполяционный полином Лагранжа для этих узлов через соответствующие значения представляет собой линейную комбинацию: ${\displaystyle \{y_{0},y_{1},\ldots ,y_{k}\}}$

$${\displaystyle L(x)=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x).}$$

Каждый базисный полином имеет степень , поэтому сумма имеет степень , и она интерполирует данные, потому что ${\textstyle k}$ ${\textstyle L(x)}$ ${\textstyle \leq k}$ ${\textstyle L(x_{m})=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x_{m})=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\delta _{mj}=y_{m}.}$

Интерполирующий многочлен уникален. Доказательство: предположим, что многочлен степени интерполирует данные. Тогда разность равна нулю в отдельных узлах Но единственный многочлен степени с более корнями — это постоянная нулевая функция, поэтому или ${\textstyle M(x)}$ ${\textstyle \leq k}$ ${\textstyle M(x)-L(x)}$ ${\textstyle k+1}$ ${\textstyle \{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k}\}.}$ ${\textstyle \leq k}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle M(x)-L(x)=0,}$ ${\textstyle M(x)=L(x).}$

Барицентрическая форма

Каждый базисный полином Лагранжа можно переписать как произведение трех частей: функции, общей для каждого базисного полинома, константы, специфичной для узла (называемой барицентрическим весом ), и части, представляющей смещение от до : ^[4] ${\textstyle \ell _{j}(x)}$ ${\textstyle \ell (x)=\prod _{m}(x-x_{m})}$ ${\textstyle w_{j}=\prod _{m\neq j}(x_{j}-x_{m})^{-1}}$ ${\textstyle x_{j}}$ ${\textstyle x}$

$${\displaystyle \ell _{j}(x)=\ell (x){\dfrac {w_{j}}{x-x_{j}}}}$$

Вынося из суммы множители, мы можем записать многочлен Лагранжа в так называемой первой барицентрической форме : ${\textstyle \ell (x)}$

${\displaystyle L(x)=\ell (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}.}$

Если веса были вычислены заранее, то для этого потребуются только операции по сравнению с индивидуальной оценкой каждого базисного полинома Лагранжа . ${\displaystyle w_{j}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k^{2})}$ ${\displaystyle \ell _{j}(x)}$

Формулу барицентрической интерполяции можно также легко обновить, включив новый узел , разделив каждый из на и построив новый, как указано выше. ${\displaystyle x_{k+1}}$ ${\displaystyle w_{j}}$ ${\displaystyle j=0\dots k}$ ${\displaystyle (x_{j}-x_{k+1})}$ ${\displaystyle w_{k+1}}$

Для любого , поскольку постоянная функция является уникальным многочленом степени интерполяции данных, мы можем, таким образом, еще больше упростить барицентрическую формулу, разделив ${\textstyle x,}$ ${\textstyle \sum _{j=0}^{k}\ell _{j}(x)=1}$ ${\textstyle g(x)=1}$ ${\displaystyle \leq k}$ ${\textstyle \{(x_{0},1),(x_{1},1),\ldots ,(x_{k},1)\}.}$ ${\displaystyle L(x)=L(x)/g(x)\colon }$

${\displaystyle {\begin{aligned}L(x)&=\ell (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}{\Bigg /}\ell (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}\\[10mu]&=\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}{\Bigg /}\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}.\end{aligned}}}$

Это называется второй формой или истинной формой барицентрической интерполяционной формулы.

Эта вторая форма имеет преимущества в стоимости вычислений и точности: она позволяет избежать оценки ; работа по вычислению каждого члена в знаменателе уже была проделана при вычислении , поэтому вычисление суммы в знаменателе требует только операций сложения; для точек оценки , которые близки к одному из узлов , катастрофическое сокращение обычно было бы проблемой для значения , однако эта величина появляется как в числителе, так и в знаменателе, и они оба сокращаются, обеспечивая хорошую относительную точность в конечном результате. ${\displaystyle \ell (x)}$ ${\displaystyle w_{j}/(x-x_{j})}$ ${\displaystyle {\bigl (}w_{j}/(x-x_{j}){\bigr )}y_{j}}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle x_{j}}$ ${\textstyle (x-x_{j})}$

Использование этой формулы для оценки в одном из узлов приведет к неопределенности ; компьютерные реализации должны заменить такие результаты на ${\displaystyle L(x)}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle \infty y_{j}/\infty }$ ${\displaystyle L(x_{j})=y_{j}.}$

Каждый базисный полином Лагранжа можно также записать в барицентрической форме:

${\displaystyle \ell _{j}(x)={\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}{\Bigg /}\sum _{m=0}^{k}{\frac {w_{m}}{x-x_{m}}}.}$

Взгляд с точки зрения линейной алгебры

Решение задачи интерполяции приводит к проблеме линейной алгебры , равносильной обращению матрицы. Используя стандартный мономиальный базис для нашего интерполяционного полинома , мы должны обратить матрицу Вандермонда, чтобы решить для коэффициентов . Выбрав лучший базис, базис Лагранжа, , мы просто получаем единичную матрицу , , которая является своей собственной обратной: базис Лагранжа автоматически обращает аналог матрицы Вандермонда. ${\textstyle L(x)=\sum _{j=0}^{k}x^{j}m_{j}}$ ${\displaystyle (x_{i})^{j}}$ ${\displaystyle L(x_{i})=y_{i}}$ ${\displaystyle m_{j}}$ ${\displaystyle L(x)}$ ${\textstyle L(x)=\sum _{j=0}^{k}l_{j}(x)y_{j}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Эта конструкция аналогична китайской теореме об остатках . Вместо проверки остатков целых чисел по модулю простых чисел мы проверяем остатки многочленов при делении на линейные числа.

Кроме того, когда порядок велик, для решения коэффициентов интерполированного полинома можно использовать быстрое преобразование Фурье .

Пример

Мы хотим выполнить интерполяцию по домену в трех узлах : ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle 1\leq x\leq 3}$ ${\displaystyle \{1,\,2,\,3\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=1,&&&y_{0}=f(x_{0})&=1,\\[3mu]x_{1}&=2,&&&y_{1}=f(x_{1})&=4,\\[3mu]x_{2}&=3,&&&y_{2}=f(x_{2})&=9.\end{aligned}}}$

Узловой полином равен ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \ell (x)=(x-1)(x-2)(x-3)=x^{3}-6x^{2}+11x-6.}$

Барицентрические веса равны

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}&=(1-2)^{-1}(1-3)^{-1}={\tfrac {1}{2}},\\[3mu]w_{1}&=(2-1)^{-1}(2-3)^{-1}=-1,\\[3mu]w_{2}&=(3-1)^{-1}(3-2)^{-1}={\tfrac {1}{2}}.\end{aligned}}}$

Базисные полиномы Лагранжа:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{0}(x)&={\frac {x-2}{1-2}}\cdot {\frac {x-3}{1-3}}={\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {5}{2}}x+3,\\[5mu]\ell _{1}(x)&={\frac {x-1}{2-1}}\cdot {\frac {x-3}{2-3}}=-x^{2}+4x-3,\\[5mu]\ell _{2}(x)&={\frac {x-1}{3-1}}\cdot {\frac {x-2}{3-2}}={\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {3}{2}}x+1.\end{aligned}}}$

Интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}L(x)&=1\cdot {\frac {x-2}{1-2}}\cdot {\frac {x-3}{1-3}}+4\cdot {\frac {x-1}{2-1}}\cdot {\frac {x-3}{2-3}}+9\cdot {\frac {x-1}{3-1}}\cdot {\frac {x-2}{3-2}}\\[6mu]&=x^{2}.\end{aligned}}}$

Во (второй) барицентрической форме,

${\displaystyle L(x)={\frac {\displaystyle \sum _{j=0}^{2}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}}{\displaystyle \sum _{j=0}^{2}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}}}={\frac {\displaystyle {\frac {\tfrac {1}{2}}{x-1}}+{\frac {-4}{x-2}}+{\frac {\tfrac {9}{2}}{x-3}}}{\displaystyle {\frac {\tfrac {1}{2}}{x-1}}+{\frac {-1}{x-2}}+{\frac {\tfrac {1}{2}}{x-3}}}}.}$

Примечания

Пример интерполяционной расходимости для набора полиномов Лагранжа.

Форма Лагранжа интерполяционного полинома показывает линейный характер интерполяции полинома и уникальность интерполяционного полинома. Поэтому она предпочтительна в доказательствах и теоретических рассуждениях. Уникальность также можно увидеть из обратимости матрицы Вандермонда, из-за ненулевого определителя Вандермонда .

Но, как видно из конструкции, каждый раз, когда узел x _k изменяется, все базисные полиномы Лагранжа должны быть пересчитаны. Лучшей формой интерполяционного полинома для практических (или вычислительных) целей является барицентрическая форма интерполяции Лагранжа (см. ниже) или полиномы Ньютона .

Лагранж и другие интерполяции в равноотстоящих точках, как в примере выше, дают полином, колеблющийся выше и ниже истинной функции. Такое поведение имеет тенденцию расти с числом точек, что приводит к расхождению, известному как явление Рунге ; проблема может быть устранена выбором точек интерполяции в узлах Чебышева . ^[5]

Базисные полиномы Лагранжа можно использовать при численном интегрировании для вывода формул Ньютона–Котеса .

Остаток в интерполяционной формуле Лагранжа

При интерполяции заданной функции f полиномом степени k в узлах мы получаем остаток , который можно выразить как ^[6] ${\displaystyle x_{0},...,x_{k}}$ ${\displaystyle R(x)=f(x)-L(x)}$

${\displaystyle R(x)=f[x_{0},\ldots ,x_{k},x]\ell (x)=\ell (x){\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{(k+1)!}},\quad \quad x_{0}<\xi <x_{k},}$

где обозначение для разделенных разностей . В качестве альтернативы остаток может быть выражен как контурный интеграл в комплексной области как ${\displaystyle f[x_{0},\ldots ,x_{k},x]}$

${\displaystyle R(x)={\frac {\ell (x)}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(t)}{(t-x)(t-x_{0})\cdots (t-x_{k})}}dt={\frac {\ell (x)}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(t)}{(t-x)\ell (t)}}dt.}$

Остаток может быть связан как

${\displaystyle |R(x)|\leq {\frac {(x_{k}-x_{0})^{k+1}}{(k+1)!}}\max _{x_{0}\leq \xi \leq x_{k}}|f^{(k+1)}(\xi )|.}$

Вывод

Очевидно, равен нулю в узлах. Чтобы найти в точке , определите новую функцию и выберите, где — константа, которую нам требуется определить для заданного . Мы выбираем так, чтобы имел нули (во всех узлах и ) между и (включая конечные точки). Предполагая, что имеет -раз дифференцируемость, поскольку и являются многочленами, и, следовательно , бесконечно дифференцируемы, будет иметь -раз дифференцируемость. По теореме Ролля имеет нули, имеет нули... имеет 1 ноль, скажем . Явно записывая : ${\displaystyle R(x)}$ ${\displaystyle R(x)}$ ${\displaystyle x_{p}}$ ${\displaystyle F(x)=R(x)-{\tilde {R}}(x)=f(x)-L(x)-{\tilde {R}}(x)}$ ${\textstyle {\tilde {R}}(x)=C\cdot \prod _{i=0}^{k}(x-x_{i})}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x_{p}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle k+2}$ ${\displaystyle x_{p}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle L(x)}$ ${\displaystyle {\tilde {R}}(x)}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle F^{(1)}(x)}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle F^{(2)}(x)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F^{(k+1)}}$ ${\displaystyle \xi ,\,x_{0}<\xi <x_{k}}$ ${\displaystyle F^{(k+1)}(\xi )}$

${\displaystyle F^{(k+1)}(\xi )=f^{(k+1)}(\xi )-L^{(k+1)}(\xi )-{\tilde {R}}^{(k+1)}(\xi )}$

${\displaystyle L^{(k+1)}=0,{\tilde {R}}^{(k+1)}=C\cdot (k+1)!}$(Потому что наивысшая степень in равна ) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tilde {R}}(x)}$ ${\displaystyle k+1}$

${\displaystyle 0=f^{(k+1)}(\xi )-C\cdot (k+1)!}$

Уравнение можно переписать как ^[7]

${\displaystyle C={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{(k+1)!}}}$

Так как у нас есть ${\displaystyle F(x_{p})=0}$ ${\displaystyle R(x_{p})={\tilde {R}}(x_{p})={\frac {f^{k+1}(\xi )}{(k+1)!}}\prod _{i=0}^{k}(x_{p}-x_{i})}$

Производные

Производную d -го порядка интерполяционного полинома Лагранжа можно записать через производные базисных полиномов:

${\displaystyle L^{(d)}(x):=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}^{(d)}(x).}$

Напомним (см. § Определение выше), что каждый базисный полином Лагранжа равен

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}(x)&=\prod _{\begin{smallmatrix}m=0\\m\neq j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}.\end{aligned}}}$$

Первую производную можно найти, используя правило произведения :

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}'(x)&=\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\not =j\end{smallmatrix}}^{k}{\Biggl [}{\frac {1}{x_{j}-x_{i}}}\prod _{\begin{smallmatrix}m=0\\m\not =(i,j)\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}{\Biggr ]}\\[5mu]&=\ell _{j}(x)\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\not =j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {1}{x-x_{i}}}.\end{aligned}}}$

Вторая производная равна

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}''(x)&=\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\neq j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {1}{x_{j}-x_{i}}}{\Biggl [}\sum _{\begin{smallmatrix}m=0\\m\neq (i,j)\end{smallmatrix}}^{k}{\Biggl (}{\frac {1}{x_{j}-x_{m}}}\prod _{\begin{smallmatrix}n=0\\n\neq (i,j,m)\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {x-x_{n}}{x_{j}-x_{n}}}{\Biggr )}{\Biggr ]}\\[10mu]&=\ell _{j}(x)\sum _{0\leq i<m\leq k}{\frac {2}{(x-x_{i})(x-x_{m})}}\\[10mu]&=\ell _{j}(x){\Biggl [}{\Biggl (}\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\not =j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {1}{x-x_{i}}}{\Biggr )}^{2}-\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\not =j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {1}{(x-x_{i})^{2}}}{\Biggr ]}.\end{aligned}}}$

Третья производная —

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}'''(x)&=\ell _{j}(x)\sum _{0\leq i<m<n\leq k}{\frac {3!}{(x-x_{i})(x-x_{m})(x-x_{n})}}\end{aligned}}}$

и то же самое для более высоких производных.

Обратите внимание, что все эти формулы для производных недействительны в узле или около него. Метод оценки всех порядков производных полинома Лагранжа эффективно во всех точках области, включая узлы, заключается в преобразовании полинома Лагранжа в форму степенного базиса и последующей оценке производных.

Конечные поля

Полином Лагранжа также может быть вычислен в конечных полях . Это имеет применение в криптографии , например, в схеме разделения секрета Шамира .

Смотрите также

• Алгоритм Невилла
• Ньютоновская форма интерполяционного полинома
• полином Бернштейна
• Теорема Карлсона
• постоянная Лебега
• Система Chebfun
• Таблица рядов Ньютона
• ковариант Фробениуса
• Формула Сильвестра
• Коэффициент конечной разности
• Интерполяция Эрмита

Ссылки

1. Лагранж, Жозеф-Луи (1795). «Leçon Cinquième. Sur l'usage des Courbes dans la Solution des problèmes». Leçons Elémentaires sur les Mathématiques (на французском языке). Париж.Переиздано в Серре, Джозеф-Альфред , изд. (1877). Творения Лагранжа . Том. 7. Готье-Виллар. стр. 271–287.Перевод: «Лекция V. О применении кривых в решении задач». Лекции по элементарной математике . Перевод: МакКормак, Томас Дж. (2-е изд.). Открытый суд. 1901. С. 127–149.
2. Уоринг, Эдвард (1779). «Проблемы, касающиеся интерполяций». Philosophical Transactions of the Royal Society . 69 : 59–67. doi :10.1098/rstl.1779.0008.
3. Мейеринг, Эрик (2002). «Хронология интерполяции: от древней астрономии до современной обработки сигналов и изображений» (PDF) . Труды IEEE . 90 (3): 319–342. doi :10.1109/5.993400.
4. Беррут, Жан-Поль ; Трефетен, Ллойд Н. (2004). «Барицентрическая интерполяция Лагранжа» (PDF) . Обзор SIAM . 46 (3): 501–517. Bibcode : 2004SIAMR..46..501B. doi : 10.1137/S0036144502417715 .
5. Quarteroni, Alfio ; Saleri, Fausto (2003). Научные вычисления с MATLAB. Тексты по вычислительной науке и технике. Том 2. Springer. С. 66. ISBN 978-3-540-44363-6..
6. Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 25, уравнение 25.2.3". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия "Прикладная математика". Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 878. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
7. "Интерполяция" (PDF) . стр. 12–15. Архивировано из оригинала (PDF) 2017-02-15.

Внешние ссылки

• «Интерполяционная формула Лагранжа», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• ALGLIB имеет реализации на языках C++ / C# / VBA / Pascal.
• GSL имеет полиномиальный интерполяционный код на языке C
• В SO есть пример MATLAB, демонстрирующий алгоритм и воссоздающий первое изображение в этой статье.
• Метод интерполяции Лагранжа — заметки, PPT, Mathcad, Mathematica, MATLAB, Maple
• Интерполяционный полином Лагранжа на www.math-linux.com
• Вайсштейн, Эрик В. "Интерполяционный многочлен Лагранжа". MathWorld .
• Полином Лагранжа в ProofWiki
• Функция Excel Worksheet для бикубической интерполяции Лагранжа
• Полиномы Лагранжа в Python