Лемма Шварца

Постановка в комплексном анализе

В математике лемма Шварца , названная в честь Германа Амандуса Шварца , является результатом комплексного анализа голоморфных функций из открытого единичного круга в себя. Лемма менее знаменита, чем более глубокие теоремы, такие как теорема об отображении Римана , которую она помогает доказать. Однако это один из простейших результатов, отражающих жесткость голоморфных функций.

Заявление

Позвольте быть открытым единичным диском в комплексной плоскости с центром в начале координат и пусть будет голоморфным отображением таким, что и на . ${\displaystyle \mathbf {D} =\{z:|z|<1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:\mathbf {D} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$

Тогда для всех и . ${\displaystyle |f(z)|\leq |z|}$ ${\displaystyle z\in \mathbf {D} }$ ${\displaystyle |f'(0)|\leq 1}$

При этом если для некоторых ненулевых или , то для некоторых с . ^[1] ${\displaystyle |f(z)|=|z|}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |f'(0)|=1}$ ${\displaystyle f(z)=az}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |a|=1}$

Доказательство

Доказательство представляет собой прямое применение принципа максимума модуля к функции

${\displaystyle g(z)={\begin{cases}{\frac {f(z)}{z}}\,&{\mbox{if }}z\neq 0\\f'(0)&{\mbox{if }}z=0,\end{cases}}}$

который голоморфен во всем , включая начало координат (поскольку дифференцируем в начале координат и фиксирует ноль). Теперь, если обозначает замкнутый диск радиуса с центром в начале координат, то из принципа максимума модуля следует, что для любого заданного существует на границе такой, что ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{r}=\{z:|z|\leq r\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r<1}$ ${\displaystyle z\in D_{r}}$ ${\displaystyle z_{r}}$ ${\displaystyle D_{r}}$

${\displaystyle |g(z)|\leq |g(z_{r})|={\frac {|f(z_{r})|}{|z_{r}|}}\leq {\frac {1}{r}}.}$

Как получим . ${\displaystyle r\rightarrow 1}$ ${\displaystyle |g(z)|\leq 1}$

Более того, предположим, что для некоторого ненулевого или . Затем, в какой-то момент . Таким образом, согласно принципу максимума модуля, оно равно такой константе , что . Поэтому по желанию. ${\displaystyle |f(z)|=|z|}$ ${\displaystyle z\in D}$ ${\displaystyle |f'(0)|=1}$ ${\displaystyle |g(z)|=1}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|=1}$ ${\displaystyle f(z)=az}$

Теорема Шварца – Пика

Вариант леммы Шварца, известный как теорема Шварца – Пика (в честь Георга Пика ), характеризует аналитические автоморфизмы единичного круга, т.е. биективные голоморфные отображения единичного круга в себя:

Пусть будет голоморфным. Тогда для всех ${\displaystyle f:\mathbf {D} \to \mathbf {D} }$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbf {D} }$

${\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq \left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|}$

и, для всех , ${\displaystyle z\in \mathbf {D} }$

${\displaystyle {\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2}}}\leq {\frac {1}{1-\left|z\right|^{2}}}.}$

Выражение

${\displaystyle d(z_{1},z_{2})=\tanh ^{-1}\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|}$

расстояние между точками в метрике Пуанкаре , т.е. метрика в модели диска Пуанкаре для гиперболической геометрии в размерности два. Теорема Шварца-Пика, по сути, утверждает, что голоморфное отображение единичного круга в себя уменьшает расстояние между точками в метрике Пуанкаре. Если равенство выполняется повсюду в одном из двух приведенных выше неравенств (что эквивалентно утверждению, что голоморфное отображение сохраняет расстояние в метрике Пуанкаре), то это должен быть аналитический автоморфизм единичного круга, заданный преобразованием Мёбиуса , отображающим единичный круг самому себе. ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$ ${\displaystyle f}$

Аналогичное утверждение о верхней полуплоскости можно сделать следующим образом: ${\displaystyle \mathbf {H} }$

Пусть будет голоморфным. Тогда для всех ${\displaystyle f:\mathbf {H} \to \mathbf {H} }$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbf {H} }$

${\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{{\overline {f(z_{1})}}-f(z_{2})}}\right|\leq {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|{\overline {z_{1}}}-z_{2}\right|}}.}$

Это простое следствие упомянутой выше теоремы Шварца-Пика: нужно лишь помнить, что преобразование Кэли конформно отображает верхнюю полуплоскость на единичный круг . Тогда отображение является голоморфным отображением из на . Используя теорему Шварца-Пика об этом отображении и, наконец, упрощая результаты с помощью формулы для , мы получаем желаемый результат. Также для всех , ${\displaystyle W(z)=(z-i)/(z+i)}$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle W\circ f\circ W^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle z\in \mathbf {H} }$

${\displaystyle {\frac {\left|f'(z)\right|}{{\text{Im}}(f(z))}}\leq {\frac {1}{{\text{Im}}(z)}}.}$

Если равенство справедливо и для того, и для другого выражения, то должно быть преобразование Мёбиуса с действительными коэффициентами. То есть, если имеет место равенство, то ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

с и . ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle ad-bc>0}$

Доказательство теоремы Шварца–Пика.

Доказательство теоремы Шварца–Пика следует из леммы Шварца и того факта, что преобразование Мёбиуса вида

${\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z_{0}}}z-1}},\qquad |z_{0}|<1,}$

отображает единичный круг на себя. Исправьте и определите преобразования Мёбиуса. ${\displaystyle z_{1}}$

${\displaystyle M(z)={\frac {z_{1}-z}{1-{\overline {z_{1}}}z}},\qquad \varphi (z)={\frac {f(z_{1})-z}{1-{\overline {f(z_{1})}}z}}.}$

Поскольку и преобразование Мёбиуса обратимо, композиция отображается , а единичный круг отображается сам в себя. Таким образом, мы можем применить лемму Шварца, а именно: ${\displaystyle M(z_{1})=0}$ ${\displaystyle \varphi (f(M^{-1}(z)))}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \left|\varphi \left(f(M^{-1}(z))\right)\right|=\left|{\frac {f(z_{1})-f(M^{-1}(z))}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(M^{-1}(z))}}\right|\leq |z|.}$

Теперь вызов (который все еще будет на единичном диске) дает желаемый результат ${\displaystyle z_{2}=M^{-1}(z)}$

${\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq \left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|.}$

Для доказательства второй части теоремы переставим левую часть в разностное частное и положим тенденцию к . ${\displaystyle z_{2}}$ ${\displaystyle z_{1}}$

Дальнейшие обобщения и связанные с ними результаты.

Теорема Шварца–Альфорса–Пика дает аналогичную теорему для гиперболических многообразий.

Теорема Де Бранжа , ранее известная как гипотеза Бибербаха, является важным расширением леммы, давая ограничения на высшие производные at в случае, если оно инъективно ; то есть одновалентный . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f}$

Теорема Кебе 1/4 дает соответствующую оценку в однолистном случае. ${\displaystyle f}$

Смотрите также

• Интерполяция Неванлинны – Пика

Рекомендации

1. Теорема 5.34 в работе Родригеса, Джейн П. Гилман, Ирвина Кра, Руби Э. (2007). Комплексный анализ: в духе Липмана Берса ([Онлайн] ред.). Нью-Йорк: Спрингер. п. 95. ИСБН 978-0-387-74714-9.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

• Юрген Йост, Компактные римановы поверхности (2002), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN 3-540-43299-X (см. раздел 2.3) 
• С. Дайнин (1989). Лемма Шварца . Оксфорд. ISBN 0-19-853571-6.

Эта статья включает в себя материал из леммы Шварца на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .