Пространство Минковского

Пространство-время, используемое в теории относительности

Герман Минковский (1864–1909) обнаружил, что специальную теорию относительности лучше всего понимать как четырехмерное пространство, известное с тех пор как пространство-время Минковского.

В математической физике пространство Минковского (или пространство-время Минковского ) ( / m ɪ ŋ ˈ k ɔː f s k i , - ˈ k ɒ f -/ ^[1] ) сочетает в себе инерциальное пространство и временные многообразия с неинерциальной системой отсчета пространства . и время в четырехмерную модель, связывающую положение ( инерциальную систему отсчета ) с полем .

Модель помогает показать, что пространственно-временной интервал между любыми двумя событиями не зависит от инерциальной системы отсчета, в которой они записаны. Математик Герман Минковский разработал его на основе работ Хендрика Лоренца , Анри Пуанкаре и других, заявив, что он «был выращен на экспериментальных физических основаниях».

Пространство Минковского тесно связано с теориями специальной относительности и общей теории относительности Эйнштейна и является наиболее распространенной математической структурой, с помощью которой формализуется специальная теория относительности. В то время как отдельные компоненты в евклидовом пространстве и времени могут различаться из-за сокращения длины и замедления времени , в пространстве-времени Минковского все системы отсчета согласуются с общим интервалом в пространстве-времени между событиями. ^{[nb 1]} Пространство Минковского отличается от четырехмерного евклидова пространства, поскольку оно рассматривает время иначе, чем три пространственных измерения.

В трехмерном евклидовом пространстве группа изометрии ( отображения, сохраняющие регулярное евклидово расстояние ) является евклидовой группой . Оно генерируется вращением , отражением и перемещением . Когда время добавляется в качестве четвертого измерения, добавляются дальнейшие преобразования сдвигов во времени и повышения Лоренца , и группа всех этих преобразований называется группой Пуанкаре . Модель Минковского следует специальной теории относительности, согласно которой движение вызывает замедление времени , изменяющее масштаб, примененный к движущемуся кадру, и сдвигает фазу света.

Пространство-время снабжено неопределенной невырожденной билинейной формой , называемой метрикой Минковского , ^[2] квадратом нормы Минковского или внутренним произведением Минковского в зависимости от контекста. ^{[nb 2]} Внутренний продукт Минковского определяется так, чтобы получить пространственно-временной интервал между двумя событиями, если в качестве аргумента задан их вектор разности координат. ^[3] Оснащенная этим внутренним продуктом математическая модель пространства-времени называется пространством Минковского. Группой преобразований пространства Минковского, сохраняющей пространственно-временной интервал (в отличие от пространственного евклидова расстояния), является группа Пуанкаре (в отличие от группы Галилея ).

История

Комплексное пространство-время Минковского

В своей второй статье по теории относительности в 1905 году Анри Пуанкаре показал ^[4] , как, приняв время за воображаемую четвертую координату пространства-времени ict , где c — скорость света , а i — мнимая единица измерения , преобразования Лоренца можно представить как обычные вращения. четырехмерной евклидовой сферы. Четырехмерное пространство-время можно представить как четырехмерное пространство, где каждая точка представляет событие в пространстве-времени. Тогда преобразования Лоренца можно рассматривать как вращения в этом четырехмерном пространстве, где ось вращения соответствует направлению относительного движения между двумя наблюдателями, а угол вращения связан с их относительной скоростью.

Чтобы понять эту концепцию, следует рассмотреть координаты события в пространстве-времени, представленные в виде четырехвектора ( t , x , y , z ) . Преобразование Лоренца представляет собой матрицу , которая действует на четырехвектор, изменяя его компоненты. Эту матрицу можно рассматривать как матрицу вращения в четырехмерном пространстве, которая вращает четырехвектор вокруг определенной оси.

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+(ict)^{2}={\text{constant}}.}$$

Вращения в плоскостях, натянутых на два единичных вектора пространства, появляются в координатном пространстве, а также в физическом пространстве-времени как евклидовы вращения и интерпретируются в обычном смысле. «Вращение» в плоскости, охватываемой единичным вектором пространства и единичным вектором времени, хотя формально все еще является вращением в координатном пространстве, является усилением Лоренца в физическом пространстве-времени с реальными инерциальными координатами. Аналогия с евклидовыми вращениями лишь частичная, поскольку радиус сферы на самом деле мнимый, что превращает вращения во вращения в гиперболическом пространстве (см. гиперболическое вращение ).

Эта идея, лишь кратко упомянутая Пуанкаре, была развита Минковским в статье на немецком языке , опубликованной в 1908 году, под названием «Основные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах». ^[5] Он переформулировал уравнения Максвелла как симметричный набор уравнений с четырьмя переменными ( x , y , z , ict ) в сочетании с переопределенными векторными переменными для электромагнитных величин, и он смог прямо и очень просто показать их инвариантность относительно преобразования Лоренца. . Он также внес другой важный вклад и впервые использовал матричную запись в этом контексте. Из своей переформулировки он пришел к выводу, что ко времени и пространству следует относиться одинаково, и так возникла его концепция событий, происходящих в едином четырехмерном пространственно- временном континууме .

Настоящее пространство-время Минковского

В дальнейшем развитии своей лекции «Пространство и время» 1908 года ^[6] Минковский дал альтернативную формулировку этой идеи, в которой использовалась координата реального времени вместо воображаемой, представляющая четыре переменные ( x , y , z , t ) пространства и времени в координатной форме в четырёхмерном вещественном векторном пространстве . Точки в этом пространстве соответствуют событиям в пространстве-времени. В этом пространстве существует определенный световой конус , связанный с каждой точкой, и события, находящиеся за пределами светового конуса, классифицируются по их отношению к вершине как пространственноподобные или времениподобные . В основном именно такой взгляд на пространство-время актуален в наши дни, хотя более старый взгляд на мнимое время также повлиял на специальную теорию относительности.

В английском переводе статьи Минковского метрика Минковского, определенная ниже, называется линейным элементом . Внутренний продукт Минковского ниже выглядит безымянным, когда речь идет об ортогональности (которую он называет нормальностью ) определенных векторов, а квадрат нормы Минковского называется (несколько загадочно, возможно, это зависит от перевода) как «сумма».

Основным инструментом Минковского является диаграмма Минковского , и он использует ее для определения понятий и демонстрации свойств преобразований Лоренца (например, сокращения собственного времени и длины ), а также для обеспечения геометрической интерпретации обобщения ньютоновской механики на релятивистскую механику . По этим специальным темам см. статьи, на которые есть ссылки, поскольку изложение ниже будет в основном ограничено математической структурой (метрика Минковского и производные от нее величины и группа Пуанкаре как группа симметрии пространства-времени), вытекающими из инвариантности пространственно-временного интервала на Пространственно-временное многообразие как следствие постулатов специальной теории относительности, а не конкретного применения или вывода инвариантности пространственно-временного интервала. Эта структура обеспечивает основу всех существующих релятивистских теорий, за исключением общей теории относительности, для которой плоское пространство-время Минковского по-прежнему является трамплином, поскольку искривленное пространство-время локально лоренцево.

Минковский, зная о фундаментальном повторении сделанной им теории, сказал:

Взгляды на пространство и время, которые я хочу изложить вам, возникли на почве экспериментальной физики, и в этом их сила. Они радикальны. Отныне пространство само по себе и время само по себе обречены раствориться в одних тенях, и только своего рода союз того и другого сохранит независимую реальность.

-  Герман Минковский, 1908, 1909 ^[6]

Хотя Минковский сделал важный шаг в развитии физики, Альберт Эйнштейн видел его ограничения:

В то время, когда Минковский давал геометрическую интерпретацию специальной теории относительности, расширяя евклидово трехмерное пространство до квазиевклидова четырехмерного пространства, включающего время, Эйнштейн уже осознавал, что это неверно, поскольку исключает явление гравитации . Он был еще далек от изучения криволинейных координат и римановой геометрии , и это влекло за собой тяжелый математический аппарат. ^[7]

Для получения дополнительной исторической информации см. ссылки Галисон (1979), Корри (1997) и Уолтер (1999).

Причинная структура

Деление пространства-времени Минковского по событию на четыре непересекающихся множества. Световой конус , абсолютное будущее , абсолютное прошлое и ещё где-то . Терминология взята из Sard (1970).

Где v — скорость, x , y и z — декартовы координаты в трехмерном пространстве, c — константа, представляющая универсальный предел скорости, а t — время, четырехмерный вектор v = ( ct , x , y , z ) знак равно ( ct , р ) классифицируется по знаку c ² т ² - р ² . Вектор времениподобен , если c ² t ² > r ² , пространственноподобен, если c ² t ² < r ² , и нулевой или светоподобный , если c ² t ² = r ² . Это также можно выразить через знак η ( v , v ) , который зависит от сигнатуры. Классификация любого вектора будет одинаковой во всех системах отсчета, связанных преобразованием Лоренца (но не общим преобразованием Пуанкаре, поскольку при этом начало координат может быть смещено) из-за инвариантности пространственно-временного интервала при преобразовании Лоренца.

Совокупность всех нулевых векторов события ^{[nb 3]} пространства Минковского образует световой конус этого события. Учитывая времениподобный вектор v , с ним связана мировая линия постоянной скорости, представленная прямой линией на диаграмме Минковского.

После выбора направления времени ^{[nb 4]} времяподобные и нулевые векторы можно дополнительно разложить на различные классы. Для времениподобных векторов имеем

1. времяподобные векторы, направленные в будущее, первый компонент которых положителен (кончик вектора расположен в абсолютном будущем на рисунке) и
2. времяподобные векторы, направленные в прошлое, первый компонент которых отрицателен (абсолютное прошлое).

Нулевые векторы делятся на три класса:

1. нулевой вектор, компоненты которого в любом базисе равны (0, 0, 0, 0) (начало координат),
2. направленные в будущее нулевые векторы, первый компонент которых положителен (верхний световой конус), и
3. направленные в прошлое нулевые векторы, первый компонент которых отрицателен (нижний световой конус).

Вместе с пространственноподобными векторами всего имеется 6 классов.

Ортонормированный базис пространства Минковского обязательно состоит из одного времениподобного и трех пространственноподобных единичных векторов . Если кто-то хочет работать с неортонормированными базисами, можно использовать другие комбинации векторов. Например, можно легко построить (неортонормированный) базис, полностью состоящий из нулевых векторов, называемый нулевым базисом .

Векторные поля называются времениподобными, пространственноподобными или нулевыми, если соответствующие векторы являются времениподобными, пространственноподобными или нулевыми в каждой точке, где определено поле.

Свойства времениподобных векторов

Времяподобные векторы имеют особое значение в теории относительности, поскольку соответствуют событиям, доступным наблюдателю в точке (0, 0, 0, 0) со скоростью меньшей скорости света. Наибольший интерес представляют времениподобные векторы, которые одинаково направлены , т.е. все либо в прямом, либо в обратном конусе. Такие векторы обладают несколькими свойствами, которых нет у пространственноподобных векторов. Они возникают потому, что и передний, и задний конусы выпуклы, тогда как пространственная область не является выпуклой.

Скалярное произведение

Скалярное произведение двух времениподобных векторов u ₁ = ( t ₁ , x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и u ₂ = ( t ₂ , x ₂ , y ₂ , z ₂ ) равно

$${\displaystyle \eta (u_{1},u_{2})=u_{1}\cdot u_{2}=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}.}$$

Положительность скалярного произведения . Важным свойством является то, что скалярное произведение двух одинаково направленных времяподобных векторов всегда положительно. Это видно из обратного неравенства Коши – Шварца, приведенного ниже. Отсюда следует, что если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то по крайней мере один из них должен быть пространственноподобным. Скалярное произведение двух пространственноподобных векторов может быть положительным или отрицательным, как можно увидеть, рассматривая произведение двух пространственноподобных векторов, имеющих ортогональные пространственные компоненты и времена разных или одинаковых знаков.

Используя свойство положительности времениподобных векторов, легко проверить, что линейная сумма с положительными коэффициентами при одинаково направленных времяподобных векторах также является одинаково направленной времениподобной (сумма остается внутри светового конуса из-за выпуклости).

Норма и обратное неравенство Коши

Норма времяподобного вектора u = ( ct , x , y , z ) определяется как

$${\displaystyle \left\|u\right\|={\sqrt {\eta (u,u)}}={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}}$$

Обратное неравенство Коши является еще одним следствием выпуклости любого светового конуса. ^[8] Для двух различных одинаково направленных времениподобных векторов u ₁ и u ₂ это неравенство имеет вид

$${\displaystyle \eta (u_{1},u_{2})>\left\|u_{1}\right\|\left\|u_{2}\right\|}$$

$${\displaystyle c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}>{\sqrt {\left(c^{2}t_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-z_{1}^{2}\right)\left(c^{2}t_{2}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2}-z_{2}^{2}\right)}}}$$

Отсюда видно положительное свойство скалярного произведения.

Неравенство перевернутого треугольника

Для двух одинаково направленных времениподобных векторов u и w неравенство имеет вид ^[9]

$${\displaystyle \left\|u+w\right\|\geq \left\|u\right\|+\left\|w\right\|,}$$

линейно зависимы

В доказательстве используется алгебраическое определение с обратным неравенством Коши: ^[10]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|u+w\right\|^{2}&=\left\|u\right\|^{2}+2\left(u,w\right)+\left\|w\right\|^{2}\\[5mu]&\geq \left\|u\right\|^{2}+2\left\|u\right\|\left\|w\right\|+\left\|w\right\|^{2}=\left(\left\|u\right\|+\left\|w\right\|\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

Результат теперь получается путем извлечения квадратного корня из обеих частей.

Математическая структура

Ниже предполагается, что пространство-время наделено системой координат, соответствующей инерциальной системе отсчета . Это обеспечивает начало координат , необходимое для моделирования пространства-времени как векторного пространства. Это добавление не требуется, а более сложные методы, аналогичные аффинному пространству, могут удалить лишнюю структуру. Однако это не вводное соглашение и здесь не рассматривается.

Для обзора: пространство Минковского представляет собой 4 -мерное действительное векторное пространство , снабженное невырожденной симметричной билинейной формой на касательном пространстве в каждой точке пространства-времени, здесь называемое просто внутренним произведением Минковского , с метрической сигнатурой либо (+ - - −) или (− + + +) . Касательное пространство в каждом событии является векторным пространством того же измерения, что и пространство-время, 4 .

Касательные векторы

Наглядное представление касательного пространства в точке x на сфере . Это векторное пространство можно рассматривать как подпространство ^самого R3 . Тогда векторы в нем будут называться геометрическими касательными векторами . По тому же принципу касательное пространство в точке плоского пространства-времени можно рассматривать как подпространство пространства-времени, которое целиком представляет собой пространство -время.

На практике не нужно беспокоиться о касательных пространствах. Структура векторного пространства пространства Минковского позволяет канонически отождествлять векторы в касательных пространствах в точках (событиях) с векторами (точками, событиями) в самом пространстве Минковского. См., например, Ли (2003, предложение 3.8) или Ли (2012, предложение 3.13). Эти идентификации обычно выполняются в математике. Формально их можно выразить в декартовых координатах как ^[11]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x^{0},\,x^{1},\,x^{2},\,x^{3}\right)\ &\leftrightarrow \ \left.x^{0}\mathbf {e} _{0}\right|_{p}+\left.x^{1}\mathbf {e} _{1}\right|_{p}+\left.x^{2}\mathbf {e} _{2}\right|_{p}+\left.x^{3}\mathbf {e} _{3}\right|_{p}\\&\leftrightarrow \ \left.x^{0}\mathbf {e} _{0}\right|_{q}+\left.x^{1}\mathbf {e} _{1}\right|_{q}+\left.x^{2}\mathbf {e} _{2}\right|_{q}+\left.x^{3}\mathbf {e} _{3}\right|_{q}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \left.\mathbf {e} _{\mu }\right|_{p}=\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right|_{p}{\text{ or }}\mathbf {e} _{0}|_{p}=\left({\begin{matrix}1\\0\\0\\0\end{matrix}}\right){\text{, etc}}.}$$

Здесь p и q — любые два события, а вторая идентификация базисного вектора называется параллельной транспортировкой . Первое отождествление — это каноническое отождествление векторов касательного пространства в любой точке с векторами в самом пространстве. Именно с этим отождествлением связано появление базисных векторов в касательных пространствах как дифференциальных операторов первого порядка. Это мотивировано наблюдением, что геометрический касательный вектор может быть взаимно однозначно связан с оператором производной по направлению на множестве гладких функций. Это способствует определению касательных векторов в многообразиях, ^не обязательно вложенных в Rn . Такое определение касательных векторов не является единственно возможным, поскольку можно использовать и обычные n -кортежи.

Определения касательных векторов как обычных векторов

Касательный вектор в точке p может быть определен, в данном случае специализированный для декартовых координат в системах Лоренца, как векторы-столбцы v размером 4 × 1 , связанные с каждой системой координат Лоренца, связанной преобразованием Лоренца Λ, такие, что вектор v в системе координат связан с некоторой системой координат посредством Λ преобразуется согласно v → Λ v . Точно так же преобразуются координаты x ^µ . Явно,

$${\displaystyle {\begin{aligned}x'^{\mu }&={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu },\\v'^{\mu }&={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }v^{\nu }.\end{aligned}}}$$

Это определение эквивалентно определению, данному выше при каноническом изоморфизме.

Для некоторых целей желательно отождествлять касательные векторы в точке p с векторами смещения в точке p , что, конечно, допустимо при по существу той же канонической идентификации. ^[12] Идентификации векторов, упомянутые выше в математической постановке, соответственно, можно найти в более физической и явно геометрической постановке у Misner, Thorne & Wheeler (1973). Они предлагают различную степень сложности (и строгости) в зависимости от того, какую часть материала вы предпочитаете читать.

Метрическая подпись

Метрическая сигнатура относится к тому, какой знак дает внутренний продукт Минковского, когда в качестве аргументов заданы пространство ( точнее, spacelike , определено ниже) и базисные векторы времени ( timelike ). Дальнейшее обсуждение этого теоретически несущественного, но практически необходимого выбора в целях внутренней согласованности и удобства отложено до скрытого поля ниже. См. также страницу, посвященную соглашению о знаках в теории относительности.

Выбор сигнатуры метрики

В целом, за некоторыми исключениями, математики и общие релятивисты предпочитают, чтобы пространственноподобные векторы давали положительный знак (- + + +) , в то время как физики элементарных частиц склонны предпочитать времениподобные векторы, чтобы давать положительный знак (+ - - -) . Авторы, охватывающие несколько областей физики, например Стивен Вайнберг , Ландау и Лифшиц ( (− + + +) и (+ − − −) соответственно), придерживаются одного выбора независимо от темы. Аргументы в пользу первого соглашения включают «непрерывность» евклидова случая, соответствующего нерелятивистскому пределу c → ∞ . Аргументы в пользу последнего заключаются в том, что знаки минус, которые в противном случае были бы повсеместно распространены в физике элементарных частиц, исчезают. Тем не менее, другие авторы, особенно вводных текстов, например, Клеппнер и Коленков (1978), вообще не выбирают сигнатуру, а вместо этого предпочитают координировать пространство-время так, чтобы координата времени (но не само время!) была воображаемой. Это устраняет необходимость явного введения метрического тензора (что может показаться дополнительным бременем во вводном курсе), и не нужно беспокоиться о ковариантных векторах и контравариантных векторах (или повышении и понижении индексов), которые будут описаны ниже. Вместо этого на внутренний продукт влияет прямое расширение скалярного произведения в R ³ до R ³ × C . Это работает в плоском пространстве-времени специальной теории относительности, но не в искривленном пространстве-времени общей теории относительности, см. Misner, Thorne & Wheeler (1973, Box 2.1, Farewell to ict ) (которые, кстати, используют (- + + +) ) . MTW также утверждает, что он скрывает истинную неопределенную природу метрики и истинную природу повышений Лоренца, которые не являются вращениями. Это также неоправданно усложняет использование инструментов дифференциальной геометрии , которые в противном случае были бы немедленно доступны и полезны для геометрического описания и вычислений – даже в плоском пространстве-времени специальной теории относительности, например, в электромагнитном поле.

Терминология

Математически с билинейной формой связан тензор типа (0,2) в каждой точке пространства-времени, называемый метрикой Минковского . ^{[nb 5]} Метрика Минковского, билинейная форма и внутренний продукт Минковского — это один и тот же объект; это билинейная функция, которая принимает два (контравариантных) вектора и возвращает вещественное число. В координатах это матрица 4×4 , представляющая билинейную форму.

Для сравнения: в общей теории относительности лоренцево многообразие L также снабжено метрическим тензором g , который является невырожденной симметричной билинейной формой на касательном пространстве T _p L в каждой точке p L . В координатах он может быть представлен матрицей 4 ×4 в зависимости от положения в пространстве-времени . Таким образом, пространство Минковского представляет собой сравнительно простой частный случай лоренцева многообразия . Его метрический тензор находится в координатах с одной и той же симметричной матрицей в каждой точке M , а его аргументы, как указано выше, могут быть взяты как векторы в самом пространстве-времени.

Вводя больше терминологии (но не структуры), пространство Минковского, таким образом, является псевдоевклидовым пространством с общей размерностью n = 4 и сигнатурой (3, 1) или (1, 3) . Элементы пространства Минковского называются событиями . Пространство Минковского часто обозначается R ^3,1 или R ^1,3 , чтобы подчеркнуть выбранную сигнатуру, или просто M . Возможно, это самый простой пример псевдориманова многообразия .

Тогда математически метрика представляет собой билинейную форму в абстрактном четырехмерном действительном векторном пространстве V , то есть

$${\displaystyle \eta :V\times V\rightarrow \mathbb {R} }$$

η(−, +, +, +)ηηM ${\displaystyle M^{*}\otimes M^{*}}$ ${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$ ${\displaystyle M:=(V,\eta )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}:=(\mathbb {R} ^{4},\eta _{\mu \nu })}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(-1,+1,+1,+1)}$

Интересным примером неинерциальных координат для (части) пространства-времени Минковского являются координаты Борна . Еще один полезный набор координат — это координаты светового конуса .

Псевдоевклидовы метрики

Внутренний продукт Минковского не является внутренним продуктом , поскольку он не является положительно-определенным , т. е. квадратичная форма η ( v , v ) не обязательно должна быть положительной для ненулевого v . Положительно определенное условие заменено более слабым условием невырожденности. Билинейная форма называется неопределенной . Метрика Минковского η — это метрический тензор пространства Минковского. Это псевдоевклидова метрика или, в более общем смысле, постоянная псевдориманова метрика в декартовых координатах. По сути, это невырожденная симметричная билинейная форма, тензор типа (0, 2) . Он принимает два аргумента up , vp _{, векторы} в TpM , p _∈ M , касательное пространство в точке p в M. Благодаря вышеупомянутому каноническому отождествлению TpM с самим M , он принимает аргументы u , v как с u _, так и с v в M.

В соответствии с соглашением об обозначениях векторы v в M , называемые 4-векторами , обозначаются курсивом, а не, как это принято в евклидовой системе, жирным шрифтом v . Последний обычно резервируется для 3- векторной части (которая будет представлена ​​ниже) 4 -вектора.

Определение ^[13]

$${\displaystyle u\cdot v=\eta (u,\,v)}$$

Mвнутренним продуктом Минковского , похожую на внутренний продуктрелятивистским скалярным произведением

$${\displaystyle u\cdot u=\eta (u,u)\equiv \|u\|^{2}\equiv u^{2},}$$

квадратом нормы Минковского

Линейность по первому аргументу

${\displaystyle \eta (au+v,\,w)=a\eta (u,\,w)+\eta (v,\,w),\quad \forall u,\,v\in M,\;\forall a\in \mathbb {R} }$

Симметрия

${\displaystyle \eta (u,\,v)=\eta (v,\,u)}$

Невырожденность

${\displaystyle \eta (u,\,v)=0,\;\forall v\in M\ \Rightarrow \ u=0}$

Первые два условия подразумевают билинейность. Определяющее различие между псевдовнутренним продуктом и собственно внутренним продуктом состоит в том, что первый не обязан быть положительно определенным, то есть допускается η ( u , u ) < 0 .

Наиболее важной особенностью внутреннего продукта и квадрата нормы является то, что на эти величины не влияют преобразования Лоренца . Фактически, его можно считать определяющим свойством преобразования Лоренца, поскольку оно сохраняет скалярное произведение (т. е. значение соответствующей билинейной формы на двух векторах). Этот подход применяется в более общем плане для всех классических групп, определяемых таким образом в классической группе . Там матрица Φ в случае O(3, 1) (группа Лоренца) идентична матрице η , которая будет отображена ниже.

Два вектора v и w называются ортогональными, если η ( v , w ) = 0 . Геометрическую интерпретацию ортогональности в частном случае, когда η ( v , v ) ≤ 0 и η ( w , w ) ≥ 0 (или наоборот), см. в разделе «Гиперболическая ортогональность» .

Вектор e называется единичным вектором, если η ( e , e ) = ±1 . Базис для M , состоящий из взаимно ортогональных единичных векторов, называется ортонормированным базисом . ^[14]

Для данной инерциальной системы отсчета ортонормированный базис в пространстве в сочетании с вектором единичного времени образует ортонормированный базис в пространстве Минковского. Количество положительных и отрицательных единичных векторов в любом таком базисе представляет собой фиксированную пару чисел, равную сигнатуре билинейной формы, связанной со скалярным произведением. Это закон инерции Сильвестра .

Больше терминологии (но не больше структуры): Метрика Минковского — это псевдориманова метрика , точнее, лоренцева метрика , точнее, метрика Лоренца , зарезервированная для 4 -мерного плоского пространства-времени, а оставшаяся неоднозначность является лишь соглашением о сигнатурах. .

Метрика Минковского

Из второго постулата специальной теории относительности , вместе с однородностью пространства-времени и изотропией пространства, следует, что пространственно-временной интервал между двумя произвольными событиями, называемыми 1 и 2 , равен: ^[15]

$${\displaystyle c^{2}\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}-\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}-\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}-\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}.}$$

^{[16] [17]}

Инвариантность интервала относительно преобразований координат между инерциальными системами вытекает из инвариантности

$${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$$

квадратичную форму

$${\displaystyle u\cdot v=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}}$$

тождество поляризации

$${\displaystyle u\cdot v=u^{\textsf {T}}\,[\eta ]\,v,}$$

[ η ]η[ η ]η ${\displaystyle 4\times 4}$

$${\displaystyle \eta =\left({\begin{array}{r}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}}\right)\!,}$$

$${\displaystyle u\cdot v=\eta (u,v),}$$

Для определенности и краткости изложения ниже принята подпись (− + + +) . Этот выбор (или другой возможный выбор) не имеет (известных) физических последствий. Группа симметрии, сохраняющая билинейную форму с одним выбором сигнатуры, изоморфна (при приведенном здесь отображении ) группе симметрии, сохраняющей другой выбор сигнатуры. Это означает, что оба выбора соответствуют двум постулатам относительности. Переключаться между двумя соглашениями очень просто. Если метрический тензор η использовался при выводе, вернитесь к самой ранней точке, где он использовался, замените η на − η и вернитесь вперед к желаемой формуле с желаемой метрической сигнатурой.

Стандартная основа

_{Стандартный} или ортонормированный базис пространства Минковского — это набор из четырех взаимно ортогональных _{векторов} { e0 , e1 , e2 , e3 } таких _{, что}

$${\displaystyle -\eta (e_{0},e_{0})=\eta (e_{1},e_{1})=\eta (e_{2},e_{2})=\eta (e_{3},e_{3})=1}$$

$${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=0}$$

${\textstyle \mu \neq \nu \,.}$

Эти условия можно компактно записать в виде

$${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.}$$

Относительно стандартного базиса компоненты вектора v записываются ( v ⁰ , v ¹ , v ² , v ³ ) , где для записи v = v ^µ e _µ используется обозначение Эйнштейна . Компонент v0 называется времениподобным компонентом v ^, а остальные три компонента называются пространственными компонентами . Пространственные компоненты 4 -вектора v можно отождествить с 3 -вектором v = ( v ₁ , v ₂ , v ₃ ) .

С точки зрения компонентов скалярное произведение Минковского между двумя векторами v и w определяется выражением

$${\displaystyle \eta (v,w)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }w^{\nu }=v^{0}w_{0}+v^{1}w_{1}+v^{2}w_{2}+v^{3}w_{3}=v^{\mu }w_{\mu }=v_{\mu }w^{\mu },}$$

$${\displaystyle \eta (v,v)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }v^{\nu }=v^{0}v_{0}+v^{1}v_{1}+v^{2}v_{2}+v^{3}v_{3}=v^{\mu }v_{\mu }.}$$

Здесь использовалось понижение индекса с метрикой.

Существует много возможных вариантов выбора стандартного базиса, удовлетворяющего условию. Любые два таких базиса связаны в некотором смысле преобразованием Лоренца, либо матрицей замены базиса , реальной матрицей 4 × 4 , удовлетворяющей ${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.}$ ${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }}$

$${\displaystyle \Lambda _{\rho }^{\mu }\eta _{\mu \nu }\Lambda _{\sigma }^{\nu }=\eta _{\rho \sigma }.}$$

Λuv

$${\displaystyle \eta (\Lambda u,\Lambda v)=\eta (u,v).}$$

Тогда , если существуют два разных основания, { e ₀ , e ₁ , e ₂ , e ₃ } и { e ′ ₀ , e ′ ₁ , e ′ ₂ , e ′ ₃ } могут быть представлены как или . Хотя может показаться заманчивым думать о и Λ как об одном и том же, математически они являются элементами разных пространств и действуют на пространство стандартных базисов с разных сторон. ${\displaystyle e_{\mu }'=e_{\nu }\Lambda _{\mu }^{\nu }}$ ${\displaystyle e_{\mu }'=e_{\nu }\Lambda _{\mu }^{\nu }}$ ${\displaystyle e_{\mu }'=\Lambda e_{\mu }}$ ${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }}$

Повышение и понижение индексов

Линейные функционалы (1-формы) α , β и их сумма σ и векторы u , v , w в трёхмерном евклидовом пространстве . Количество гиперплоскостей (1-формы) , пересекаемых вектором, равно скалярному произведению . ^[18]

Технически, невырожденная билинейная форма обеспечивает отображение между векторным пространством и его двойственным пространством; в этом контексте отображение находится между касательными пространствами M и кокасательными пространствами M . В точке M касательное и кокасательное пространства являются двойственными векторными пространствами (поэтому размерность кокасательного пространства в событии также равна 4 ). Точно так же, как подлинный скалярный продукт в векторном пространстве с одним фиксированным аргументом по теореме о представлении Рисса может быть выражен как действие линейного функционала на векторное пространство, то же самое справедливо и для внутреннего продукта Минковского пространства Минковского. ^[19]

Таким образом, если v ^µ — компоненты вектора в касательном пространстве, то η _µν v ^µ = v _ν — компоненты вектора в кокасательном пространстве (линейный функционал). Из-за отождествления векторов в касательных пространствах с векторами из самого M это чаще всего игнорируется, а векторы с меньшими индексами называются ковариантными векторами . В этой последней интерпретации ковариантные векторы (почти всегда неявно) отождествляются с векторами (линейными функционалами) в двойственном пространстве Минковского. Векторы с верхними индексами являются контравариантными векторами . Точно так же обратное отображение касательного пространства к котангенсу, явно заданное обратным значением η в матричном представлении, может использоваться для определения повышения индекса . Компоненты этого обратного числа обозначаются η ^µν . Бывает, что η ^µν = η _µν . Эти карты между векторным пространством и его двойником можно обозначить η ^♭ (эта-бемоль) и η ^♯ (эта-диез) по музыкальной аналогии. ^[20]

Контравариантные и ковариантные векторы — геометрически совершенно разные объекты. Первые можно и нужно рассматривать как стрелы. Линейную функцию можно охарактеризовать двумя объектами: ее ядром , которое представляет собой гиперплоскость , проходящую через начало координат, и ее нормой. Таким образом, геометрически ковариантные векторы следует рассматривать как набор гиперплоскостей с интервалом, зависящим от нормы (больше = меньший интервал), причем одна из них (ядро) проходит через начало координат. Математический термин для ковариантного вектора — 1-ковектор или 1-форма (хотя последняя обычно используется для ковекторных полей ).

Одна квантовомеханическая аналогия, исследованная в литературе, - это волна де Бройля (масштабированная с коэффициентом приведенной константы Планка), связанная с четырехвектором импульса, чтобы проиллюстрировать, как можно представить ковариантную версию контравариантного вектора. Внутренний продукт двух контравариантных векторов с таким же успехом можно рассматривать как действие ковариантной версии одного из них на контравариантную версию другого. Тогда внутренний продукт равен тому, сколько раз стрела пронзит плоскости. ^[18] Математический справочник Lee (2003) предлагает тот же геометрический взгляд на эти объекты (но не упоминает прокалывание).

Тензор электромагнитного поля представляет собой дифференциальную 2-форму , геометрическое описание которой также можно найти в MTW.

Можно, конечно, вообще игнорировать геометрические представления (как это принято, например, в Weinberg (2002) и Landau & Lifshitz 2002) и действовать алгебраически чисто формальным способом. Проверенная временем надежность самого формализма, иногда называемая индексной гимнастикой , гарантирует, что перемещение векторов и переход от контравариантных к ковариантным векторам и наоборот (а также тензоры более высокого порядка) являются математически обоснованными. Неправильные выражения имеют тенденцию быстро проявляться.

Координатный свободный подъем и опускание

Учитывая билинейную форму , пониженную версию вектора можно рассматривать как частичную оценку , то есть существует связанная с ней карта частичной оценки. ${\displaystyle \eta :M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \eta }$

$${\displaystyle \eta (\cdot ,-):M\rightarrow M^{*};v\mapsto \eta (v,\cdot ).}$$

Пониженный вектор тогда является двойной картой . Обратите внимание, что не имеет значения, какой аргумент оценивается частично из-за симметрии . ${\displaystyle \eta (v,\cdot )\in M^{*}}$ ${\displaystyle u\mapsto \eta (v,u)}$ ${\displaystyle \eta }$

В таком случае невырожденность эквивалентна инъективности карты частичной оценки, или, что эквивалентно, невырожденность указывает на то, что ядро ​​карты тривиально. В конечной размерности, как в данном случае, и учитывая, что размерность конечномерного пространства равна размерности двойственного, этого достаточно, чтобы заключить, что карта частичной оценки является линейным изоморфизмом от до . Затем это позволяет определить обратную карту частичной оценки, ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{*}}$

$${\displaystyle \eta ^{-1}:M^{*}\rightarrow M,}$$

$${\displaystyle \eta ^{-1}:M^{*}\times M^{*}\rightarrow \mathbb {R} ,\eta ^{-1}(\alpha ,\beta )=\eta (\eta ^{-1}(\alpha ),\eta ^{-1}(\beta ))}$$

η ⁻¹η ${\displaystyle \eta ^{-1}}$

Формализм метрики Минковского

Настоящая цель — полустрого показать, как формально можно применить метрику Минковского к двум векторам и получить действительное число, т. е. показать роль дифференциалов и то, как они исчезают при вычислении. Речь идет о теории гладких многообразий, и вводятся такие понятия, как конвекторные поля и внешние производные.

Формальный подход к метрике Минковского

Полноценная версия метрики Минковского в координатах как тензорное поле в пространстве-времени имеет вид

$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }\odot dx^{\nu }=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.}$$

Пояснение: Дифференциалы координат представляют собой поля 1-й формы. Они определяются как внешняя производная координатных функций x ^µ . Эти величины, вычисленные в точке p, составляют основу котангенсного пространства в точке p . Тензорное произведение (обозначенное символом ⊗ ) дает тензорное поле типа (0, 2) , т.е. типа, который ожидает два контравариантных вектора в качестве аргументов. В правой части взято симметричное произведение (обозначенное символом ⊙ или сопоставлением). Равенство имеет место, поскольку по определению метрика Минковского симметрична. ^[21] Обозначение в крайнем правом углу также иногда используется для обозначения связанного, но другого линейного элемента . Это не тензор. Более подробно о различиях и сходствах см. Misner, Thorne & Wheeler (1973, вставка 3.2 и раздел 13.2).

Касательные векторы в этом формализме задаются в терминах базиса дифференциальных операторов первого порядка:

$${\displaystyle \left.{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right|_{p},}$$

где p — событие. Этот оператор, примененный к функции f, дает производную f по направлению в точке p в направлении увеличения x ^µ при фиксированных x ^ν , ν ≠ µ . Они обеспечивают основу для касательного пространства в точке p .

Внешняя производная df функции f является ковекторным полем , т.е. присвоением кокасательного вектора каждой точке p , по определению, таким, что

$${\displaystyle df(X)=Xf,}$$

для каждого векторного поля X . Векторное поле — это присвоение касательного вектора каждой точке p . В координатах X можно разложить в каждой точке p в базисе, заданном ∂/∂ x ^ν | _п . Применяя это с f = x ^µ , самой координатной функцией, и X = ∂/∂ x ^ν , называемым координатным векторным полем , получаем

$${\displaystyle dx^{\mu }\left({\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\right)={\frac {\partial x^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}=\delta _{\nu }^{\mu }.}$$

Поскольку это соотношение справедливо в каждой точке p , dx ^µ | _p обеспечивает базис кокасательного пространства в каждом p и базисы dx ^µ | _р и ∂/∂ x ^ν | _p двойственны друг другу ,

$${\displaystyle \left.dx^{\mu }\right|_{p}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\right|_{p}\right)=\delta _{\nu }^{\mu }.}$$

на каждом п . Кроме того, у человека есть

$${\displaystyle \alpha \otimes \beta (a,b)=\alpha (a)\beta (b)}$$

для общих одноформ в касательном пространстве α , β и общих касательных векторов a , b . (Это можно принять за определение, но можно доказать и в более общей ситуации.)

Таким образом, когда в метрический тензор подаются два векторных поля a , b , оба расширенные с точки зрения векторных полей базисных координат, результат будет следующим:

$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }(a,b)=\eta _{\mu \nu }a^{\mu }b^{\nu },}$$

где a , b ^ν — функции-компоненты ^{векторных} полей. Приведенное выше уравнение справедливо в каждой точке p , и это соотношение также можно интерпретировать как метрику Минковского в точке p, примененную к двум касательным векторам в точке p .

Как уже упоминалось, в векторном пространстве, например, при моделировании пространства-времени специальной теории относительности, касательные векторы могут быть канонически отождествлены с векторами в самом пространстве, и наоборот. Это означает, что касательные пространства в каждой точке канонически отождествлены друг с другом и с самим векторным пространством. Это объясняет, как правую часть приведенного выше уравнения можно использовать напрямую, независимо от точки пространства-времени, в которой должна оцениваться метрика, и от того, откуда (какое касательное пространство) берутся векторы.

Эта ситуация меняется в общей теории относительности . Там есть

$${\displaystyle g(p)_{\mu \nu }\left.dx^{\mu }\right|_{p}\left.dx^{\nu }\right|_{p}(a,b)=g(p)_{\mu \nu }a^{\mu }b^{\nu },}$$

где теперь η → g ( p ) , т. е. g по-прежнему является метрическим тензором, но теперь зависит от пространства-времени и является решением уравнений поля Эйнштейна . Более того, a , b должны быть касательными векторами в точке пространства-времени p и больше не могут свободно перемещаться.

Хронологические и причинно-следственные связи

Пусть x , y ∈ M. ​Здесь,

1. x хронологически предшествует y , если y − x ориентировано в будущее времениподобно. Это отношение обладает транзитивным свойством , поэтому его можно записать x < y .
2. x причинно предшествует y , если y - x является направленным в будущее нулем или времениподобным, направленным в будущее. Это дает частичный порядок пространства-времени, поэтому его можно записать x ≤ y .

Предположим, что x ∈ M времениподобен. Тогда одновременная гиперплоскость для x равна { y  : η ( x , y ) = 0} . Поскольку эта гиперплоскость меняется с изменением x , в пространстве Минковского существует относительность одновременности .

Обобщения

Лоренцево многообразие является двояким обобщением пространства Минковского. Общее количество измерений пространства-времени не ограничено четырьмя ( 2 или более), и лоренцево многообразие не обязательно должно быть плоским, т. е. оно допускает кривизну.

Комплексифицированное пространство Минковского.

Комплексифицированное пространство Минковского определяется как M _c = M ⊕ iM . ^[22] Его реальной частью является пространство Минковского четырех векторов , таких как четыре скорости и четыре импульса , которые не зависят от выбора ориентации пространства. Мнимая же часть может состоять из четырех псевдовекторов, таких как угловая скорость и магнитный момент , которые меняют свое направление при изменении ориентации. Вводится псевдоскаляр i , который также меняет знак при изменении ориентации. Таким образом, элементы M _c не зависят от выбора ориентации.

Структура , подобная скалярному произведению, _на Mc определяется как u ⋅ v знак равно η ( u , v ) для любых u , v ∈ M _c . Релятивистский чистый спин электрона или любой частицы с половинным спином описывается выражением ρ ∈ M _c как ρ = u + is , где u — четырехмерная скорость частицы, удовлетворяющая u ² = 1 , а s — четырехмерный вектор спина, ^[23] который также является псевдовектором Паули–Любанского, удовлетворяющим условиям s ² = −1 и u ⋅ s = 0 .

Обобщенное пространство Минковского

Пространство Минковского относится к математической формулировке в четырех измерениях. Однако математику можно легко расширить или упростить, чтобы создать аналогичное обобщенное пространство Минковского в любом количестве измерений. Если n ≥ 2 , n -мерное пространство Минковского представляет собой векторное пространство вещественной размерности n , на котором существует постоянная метрика Минковского сигнатуры ( n − 1, 1) или (1, n − 1) . Эти обобщения используются в теориях, в которых предполагается, что пространство-время имеет более или менее четырех измерений. Теория струн и М-теория — два примера, когда n > 4 . В теории струн появляются конформные теории поля с размерностью пространства-времени 1 + 1 .

Пространство де Ситтера можно сформулировать как подмногообразие обобщенного пространства Минковского, как и модельные пространства гиперболической геометрии (см. Ниже).

Кривизна

Поскольку пространство-время плоское , три пространственных компонента пространства-времени Минковского всегда подчиняются теореме Пифагора . Пространство Минковского — подходящая основа для специальной теории относительности, хорошее описание физических систем на конечных расстояниях в системах без значительной гравитации . Однако, чтобы учесть гравитацию, физики используют теорию общей относительности , которая сформулирована в математике неевклидовой геометрии . Когда эта геометрия используется в качестве модели физического пространства, ее называют искривленным пространством .

Даже в искривленном пространстве пространство Минковского по-прежнему является хорошим описанием бесконечно малой области, окружающей любую точку (за исключением гравитационных сингулярностей). ^{[nb 6]} Более абстрактно можно сказать, что при наличии гравитации пространство-время описывается искривленным 4-мерным многообразием , для которого касательное пространство к любой точке является 4-мерным пространством Минковского. Таким образом, структура пространства Минковского по-прежнему важна для описания общей теории относительности.

Геометрия

Значение термина геометрия для пространства Минковского во многом зависит от контекста. Пространство Минковского не наделено ни евклидовой геометрией, ни какой-либо из обобщенных римановых геометрий с внутренней кривизной, представленных модельными пространствами в гиперболической геометрии (отрицательная кривизна) и геометрии, моделируемой сферой ( положительная кривизна). Причина – неопределенность метрики Минковского. Пространство Минковского, в частности, не является метрическим пространством и не является римановым многообразием с римановой метрикой. Однако пространство Минковского содержит подмногообразия , наделенные римановой метрикой, дающей гиперболическую геометрию.

Модельные пространства гиперболической геометрии низкой размерности, скажем, 2 или 3 , не могут быть изометрически вложены в евклидово пространство с еще одним измерением, т.е. ℝ ³ или ℝ ⁴ соответственно, с евклидовой метрикой g , что не позволяет легко визуализировать. ^{[nb 7] [24]} Для сравнения, модельные пространства с положительной кривизной представляют собой просто сферы в евклидовом пространстве одного более высокого измерения. ^[25] Гиперболические пространства могут быть изометрически вложены в пространства еще одного измерения, если пространство вложения наделено метрикой Минковского η .

Определить Н^{1( п )}
_р⊂ M ^{n +1} — верхний лист ( ct > 0 ) гиперболоида

$${\displaystyle \mathbf {H} _{R}^{1(n)}=\left\{\left(ct,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\in \mathbf {M} ^{n}:c^{2}t^{2}-\left(x^{1}\right)^{2}-\cdots -\left(x^{n}\right)^{2}=R^{2},ct>0\right\}}$$

M ^{n +1}n + 1поверхностей транзитивностиметрика

$${\displaystyle h_{R}^{1(n)}=\iota ^{*}\eta ,}$$

образηримановой метрикойH^{1( п )}
_рримановым многообразиемгиперболоидная модельпространства−1/ R ^2[26]1n —2(2)модели диска Пуанкаре3( n )модели полупространства Пуанкареn

Предварительные сведения

В приведенном выше определении ι : H^{1( п )}
_р→ M ^{n +1} — это карта включения , а звездочка в верхнем индексе обозначает обратный ход . Настоящая цель состоит в том, чтобы описать эту и подобные операции как подготовку к фактической демонстрации того, что H^{1( п )}
_рна самом деле это гиперболическое пространство.

Гиперболическая стереографическая проекция

Красная дуга является геодезической в ​​модели диска Пуанкаре ; он проецируется на коричневую геодезическую на зеленом гиперболоиде.

Чтобы отобразить метрику, необходимо вернуть ее через подходящую параметризацию . Параметризацией подмногообразия S в M называется отображение U ⊂ Rm → M ^, образ которого является открытым подмножеством S. Если S имеет ту же размерность, что и ^M , параметризация является просто обратной координатной карте φ : M → U ⊂ Rm . Используемая параметризация является обратной гиперболической стереографической проекцией . Это показано на рисунке справа для n = 2 . Поучительно сравнить со стереографической проекцией сфер.

Стереографическая проекция σ : H^н
_р→ Rn ^и обратное σ ^{− 1} : Rn → H^н
_рданы

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (\tau ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} &={\frac {R\mathbf {x} }{R+\tau }},\\\sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau ,\mathbf {x} )&=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right),\end{aligned}}}$$

τ ≡ ct(, x )M ^{n +1} ,uR ⁿ

Подробный вывод

Позволять

$${\displaystyle \mathbf {H} _{R}^{n}=\left\{\left(\tau ,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\subset \mathbf {M} :-\tau ^{2}+\left(x^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(x^{n}\right)^{2}=-R^{2},\tau >0\right\}}$$

и разреши

$${\displaystyle S=(-R,0,\ldots ,0).}$$

Если

$${\displaystyle P=\left(\tau ,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\in \mathbf {H} _{R}^{n},}$$

то геометрически ясно, что вектор

$${\displaystyle {\overrightarrow {PS}}}$$

пересекает гиперплоскость

$${\displaystyle \left\{\left(\tau ,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\in M:\tau =0\right\}}$$

один раз в точке, обозначенной

$${\displaystyle U=\left(0,u^{1}(P),\ldots ,u^{n}(P)\right)\equiv (0,\mathbf {u} ).}$$

Надо

$${\displaystyle {\begin{aligned}S+{\overrightarrow {SU}}&=U\Rightarrow {\overrightarrow {SU}}=U-S,\\S+{\overrightarrow {SP}}&=P\Rightarrow {\overrightarrow {SP}}=P-S\end{aligned}}}$$

или

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {SU}}&=(0,\mathbf {u} )-(-R,\mathbf {0} )=(R,\mathbf {u} ),\\{\overrightarrow {SP}}&=(\tau ,\mathbf {x} )-(-R,\mathbf {0} )=(\tau +R,\mathbf {x} ).\end{aligned}}.}$$

Построив стереографическую проекцию, имеем

$${\displaystyle {\overrightarrow {SU}}=\lambda (\tau ){\overrightarrow {SP}}.}$$

Это приводит к системе уравнений

$${\displaystyle {\begin{aligned}R&=\lambda (\tau +R),\\\mathbf {u} &=\lambda \mathbf {x} .\end{aligned}}}$$

Первое из них решается относительно λ и получается для стереографической проекции

$${\displaystyle \sigma (\tau ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} ={\frac {R\mathbf {x} }{R+\tau }}.}$$

Затем необходимо вычислить обратное σ ⁻¹ ( u ) = ( τ , x ) . Используйте те же соображения, что и раньше, но теперь с

$${\displaystyle {\begin{aligned}U&=(0,\mathbf {u} )\\P&=(\tau (\mathbf {u} ),\mathbf {x} (\mathbf {u} )).\end{aligned}},}$$

каждый получает

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &={\frac {R(1-\lambda )}{\lambda }},\\\mathbf {x} &={\frac {\mathbf {u} }{\lambda }},\end{aligned}}}$$

но теперь с λ, зависящим от u . Условие того, что P лежит в гиперболоиде, равно

$${\displaystyle -\tau ^{2}+|\mathbf {x} |^{2}=-R^{2},}$$

или

$${\displaystyle -{\frac {R^{2}(1-\lambda )^{2}}{\lambda ^{2}}}+{\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{\lambda ^{2}}}=-R^{2},}$$

ведущий к

$${\displaystyle \lambda ={\frac {R^{2}-|u|^{2}}{2R^{2}}}.}$$

При этом λ получаем

$${\displaystyle \sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau ,\mathbf {x} )=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right).}$$

Откат метрики

Надо

$${\displaystyle h_{R}^{1(n)}=\eta |_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=\left(dx^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(dx^{n}\right)^{2}-d\tau ^{2}}$$

$${\displaystyle \sigma ^{-1}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {H} _{R}^{1(n)};\quad \sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau (\mathbf {u} ),\,\mathbf {x} (\mathbf {u} ))=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},\,{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right).}$$

Обратную метрику можно получить простыми методами исчисления;

$${\displaystyle \left.\left(\sigma ^{-1}\right)^{*}\eta \right|_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=\left(dx^{1}(\mathbf {u} )\right)^{2}+\cdots +\left(dx^{n}(\mathbf {u} )\right)^{2}-\left(d\tau (\mathbf {u} )\right)^{2}.}$$

Вычисления производятся в соответствии со стандартными правилами вычисления дифференциалов (хотя на самом деле вычисляются строго определенные внешние производные):

$${\displaystyle {\begin{aligned}dx^{1}(\mathbf {u} )&=d\left({\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)={\frac {\partial }{\partial u^{1}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{1}+\cdots +{\frac {\partial }{\partial u^{n}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{n}+{\frac {\partial }{\partial \tau }}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}d\tau ,\\&\ \ \vdots \\dx^{n}(\mathbf {u} )&=d\left({\frac {2R^{2}u^{n}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)=\cdots ,\\d\tau (\mathbf {u} )&=d\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)=\cdots ,\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \left(\sigma ^{-1}\right)^{*}h_{R}^{1(n)}={\frac {4R^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}\equiv h_{R}^{2(n)}.}$$

Последнее уравнение показывает, что метрика на шаре идентична римановой метрике h.^{2( п )}
_рв модели шара Пуанкаре , еще одной стандартной модели гиперболической геометрии.

Смотрите также

• Гиперболический кватернион
• Гиперпространство
• Введение в математику общей теории относительности
• Самолет Минковского

Примечания

1. Это делает пространственно-временное расстояние инвариантом .
2. Последовательное использование терминов «внутренний продукт Минковского», «норма Минковского» или «метрика Минковского» предназначено здесь для билинейной формы, поскольку она широко используется. Это ни в коем случае не является «стандартным» в литературе, но стандартной терминологии, похоже, не существует.
3. Переведите систему координат так, чтобы событие стало новым источником.
4. Это соответствует увеличению или уменьшению временной координаты при увеличении собственного времени для любой частицы. Применение T меняет это направление.
5. Для сравнения и обоснования терминологии возьмем риманову метрику , которая обеспечивает положительно определенную симметричную билинейную форму, т. е. собственный скалярный продукт в каждой точке многообразия.
6. Это сходство между плоским пространством и искривленным пространством на бесконечно малых расстояниях лежит в основе определения многообразия в целом.
7. Существует изометрическое вложение в ℝ ⁿ согласно теореме вложения Нэша (Нэш (1956)), но размерность вложения намного выше, n = ( m /2) ( m + 1 ) (3 m + 11) для a Риманово многообразие размерности m .

Примечания

1. «Минковский». Архивировано 22 июня 2019 г. в Wayback Machine . Полный словарь Random House Webster .
2. Ли 1997, с. 31
3. Шутц, Джон В. (1977). Независимые аксиомы пространства-времени Минковского (иллюстрированное издание). ЦРК Пресс. стр. 184–185. ISBN 978-0-582-31760-4.Выдержка со страницы 184
4. Пуанкаре 1905–1906, стр. 129–176 Перевод из Wikisource: О динамике электрона
5. Минковский 1907–1908, стр. 53–111 * Перевод из Wikisource: s:Translation: The Fundamental Equations for ElectroMagnetic Processes в движущихся телах.
6. Минковский 1908–1909, стр. 75–88. Различные английские переводы в Wikisource: «Пространство и время».
7. Корнелиус Ланцос (1972) «Путь Эйнштейна от специальной к общей теории относительности», страницы 5–19 книги « Общая теория относительности: статьи в честь Дж. Л. Синджа» , редактор Л. О'Рейферта, Clarendon Press , см. страницу 11
8. См. доказательство Шюца, стр. 148, а также Набера, стр. 148. 48
9. Шютц с. 148, Набер с. 49
10. Шютц с. 148
11. Ли 1997, с. 15
12. Ли 2003, см. обсуждение Ли геометрических касательных векторов в начале главы 3.
13. Джулини 2008, стр. 5, 6.
14. Грегори Л. Набер (2003). Геометрия пространства-времени Минковского: введение в математику специальной теории относительности (иллюстрированное издание). Курьерская корпорация. п. 8. ISBN 978-0-486-43235-9. Архивировано из оригинала 26 декабря 2022 г. Проверено 26 декабря 2022 г.Отрывок из страницы 8. Архивировано 26 декабря 2022 г. в Wayback Machine.
15. Шон М. Кэрролл (2019). Пространство-время и геометрия (иллюстрировано, под ред. Herdruk). Издательство Кембриджского университета. п. 7. ISBN 978-1-108-48839-6.
16. Сард 1970, с. 71
17. Минковский, Ландау и Лифшиц 2002, с. 4
18. Миснер, Торн и Уиллер, 1973 г.
19. Lee 2003. Один момент в доказательстве Ли существования этого отображения нуждается в модификации (Ли имеет дело с римановой метрикой ). Там, где Ли ссылается на положительную определенность, чтобы показать инъективность карты, вместо этого нужно апеллировать к невырожденности.
20. Ли 2003, Касательный-кокасательный изоморфизм с. 282
21. Ли 2003
22. Ю. Фридман, Физически значимое релятивистское описание спинового состояния электрона, Symmetry 2021, 13 (10), 1853; https://doi.org/10.3390/sym13101853 Архивировано 13 августа 2023 г. в Wayback Machine.
23. Джексон, JD, Классическая электродинамика, 3-е изд.; Джон Уайли \& Sons: Хобокен, Нью-Джерси, США, 1998 г.
24. Ли 1997, с. 66
25. Ли 1997, с. 33
26. Ли 1997

Рекомендации

• Корри, Л. (1997). «Герман Минковский и постулат относительности». Арх. Хист. Точная наука . 51 (4): 273–314. дои : 10.1007/BF00518231. ISSN  0003-9519. S2CID  27016039.
• Катони, Ф.; и другие. (2008). Математика пространства-времени Минковского . Границы в математике. Базель: Birkhäuser Verlag . дои : 10.1007/978-3-7643-8614-6. ISBN 978-3-7643-8613-9. ISSN  1660-8046.
• Галисон, Польша (1979). Р. МакКормах; и другие. (ред.). Пространство-время Минковского: от визуального мышления к абсолютному миру . Исторические исследования в области физических наук. Том. 10. Издательство Университета Джонса Хопкинса . стр. 85–121. дои : 10.2307/27757388. JSTOR  27757388.
• Джулини Д. Богатая структура пространства Минковского, https://arxiv.org/abs/0802.4345v1.
• Клеппнер, Д .; Коленков, Р.Дж. (1978) [1973]. Введение в механику. Лондон: МакГроу-Хилл . ISBN 978-0-07-035048-9.
• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (2002) [1939]. Классическая теория полей . Курс теоретической физики. Том. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 0-7506-2768-9.
• Ли, Дж. М. (2003). Введение в гладкие многообразия . Тексты для выпускников Springer по математике. Том. 218. ИСБН 978-0-387-95448-6.
• Ли, Дж. М. (2012). Введение в гладкие многообразия . Тексты для выпускников Springer по математике. ISBN 978-1-4419-9981-8.
• Ли, Дж. М. (1997). Римановы многообразия – введение в кривизну . Тексты для выпускников Springer по математике. Том. 176. Нью-Йорк · Берлин · Гейдельберг: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6.
• Минковский, Герман (1907–1908), «Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern»  [Фундаментальные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse : 53–11 1
  • Опубликованный перевод: Карус, Эдвард Х. (1918). «Пространство и время». Монист . 28 (288): 288–302. дои : 10.5840/monist19182826.
  • Перевод из Wikisource: Фундаментальные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах
• Минковский, Герман (1908–1909), «Raum und Zeit»  [Пространство и время], Physikalische Zeitschrift , 10 : 75–88.Различные английские переводы в Wikisource: Пространство и время.
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип. С .; Уиллер, Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0.
• Набер, Г.Л. (1992). Геометрия пространства-времени Минковского . Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97848-2.
• Нэш, Дж. (1956). «Проблема вложения римановых многообразий». Анналы математики . 63 (1): 20–63. дои : 10.2307/1969989. JSTOR  1969989. MR  0075639.
• Пенроуз, Роджер (2005). «18 геометрия Минковского». Дорога к реальности: Полное руководство по законам Вселенной. Альфред А. Кнопф . ISBN 9780679454434.
• Пуанкаре, Анри (1905–1906), «Sur la dynamice de l'électron» [О динамике электрона], Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 21 : 129–176, Бибкод : 1906RCMP...21..129P , doi : 10.1007/BF03013466, hdl : 2027/uiug.30112063899089, S2CID  120211823Перевод из Wikisource: О динамике электрона
• Робб А.А.: Оптическая геометрия движения; Новый взгляд на теорию относительности. Кембридж, 1911 г. (Хефферс). http://www.archive.org/details/opticalgeometryoOOrobbrich.
• Робб А.А.: Геометрия времени и пространства, издательство Кембриджского университета, 1936 г., http://www.archive.org/details/geometryoftimean032218mbp.
• Сард, Р.Д. (1970). Релятивистская механика - Специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: WA Бенджамин. ISBN 978-0805384918.
• Шоу, Р. (1982). «§ 6.6 Пространство Минковского, § 6.7,8 Канонические формы, стр. 221–242». Линейная алгебра и представления групп . Академическая пресса . ISBN 978-0-12-639201-2.
• Уолтер, Скотт А. (1999). «Минковский, математики и математическая теория относительности». В Гённере, Хуберте; и другие. (ред.). Расширяющиеся миры общей теории относительности . Бостон: Биркхойзер. стр. 45–86. ISBN 978-0-8176-4060-6.
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей, том. 1, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-55001-7.

Внешние ссылки

СМИ, связанные с диаграммами Минковского, на Викискладе?

• Анимационный клип на YouTube , визуализирующий пространство Минковского в контексте специальной теории относительности.
• Геометрия специальной теории относительности: пространство Минковского – временной световой конус
• Пространство Минковского в PhilPapers