В электромагнетизме модель Стонера -Вольфарта является широко используемой моделью намагничивания ферромагнетиков с однодоменным . [1] Это простой пример магнитного гистерезиса , который полезен для моделирования небольших магнитных частиц в магнитном хранилище , биомагнетизме , магнетизме горных пород и палеомагнетизме .
Модель Стонера-Вольфарта была разработана Эдмундом Клифтоном Стоунером и Эрихом Питером Вольфартом и опубликована в 1948 году . [1] Она включала численный расчет интегрального отклика случайно ориентированных магнитов. Поскольку это было сделано до того, как компьютеры стали широко доступны, они прибегали к тригонометрическим таблицам и ручным расчетам.
В модели Стонера-Вольфарта намагниченность не меняется внутри ферромагнетика и представлена вектором M . Этот вектор вращается при изменении магнитного поля H. Магнитное поле изменяется только вдоль одной оси; его скалярное значение h положительно в одном направлении и отрицательно в противоположном направлении. Предполагается, что ферромагнетик обладает одноосной магнитной анизотропией с параметром анизотропии K u . Поскольку магнитное поле изменяется, намагниченность ограничивается плоскостью, содержащей направление магнитного поля и легкую ось . Поэтому его можно представить одним углом φ , углом между намагниченностью и полем (рис. 1). Также указывается угол θ между полем и легкой осью.
Энергия системы равна
где V – объем магнита, M s – намагниченность насыщения , а µ 0 – вакуумная проницаемость . Первый член — это магнитная анизотропия , а второй — энергия связи с приложенным полем (часто называемая энергией Зеемана).
Стоунер и Вольфарт нормализовали это уравнение:
где час знак равно μ 0 M s ЧАС /2 K ты . Данное направление намагничивания находится в механическом равновесии , если действующие на него силы равны нулю. Это происходит, когда первая производная энергии по направлению намагничивания равна нулю:
Это направление устойчиво к возмущениям, когда оно находится в минимуме энергии, имеющем положительную вторую производную:
В нулевом поле член магнитной анизотропии минимизируется, когда намагниченность ориентирована по легкой оси. В большом поле намагниченность направлена в сторону поля. [1]
Для каждого угла θ между легкой осью и полем уравнение ( 3 ) имеет решение, состоящее из двух кривых решения. Решить эти кривые тривиально, варьируя φ и находя решение для h . Существует одна кривая для φ между 0 и π и другая для φ между π и 2 π ; решения при φ = 0 и π соответствуют h = ±∞ . [1]
Поскольку намагниченность в направлении поля равна M s cos φ , эти кривые обычно строят в нормированном виде m h vs. h , где m h = cos φ — составляющая намагниченности в направлении поля. Пример показан на рисунке 2. Сплошные красные и синие кривые соединяют стабильные направления намагничивания. Для полей −1/2 ≤ h ≤ 1/2 две кривые перекрываются и существуют два устойчивых направления. Это область, где возникает гистерезис . Включены три энергетических профиля (вставки). Красные и синие звезды — устойчивые направления намагниченности, соответствующие минимумам энергии. Там, где вертикальные пунктирные линии пересекают красную и синюю пунктирные линии, направления намагничивания являются энергетическими максимумами и определяют энергетические барьеры между состояниями. [1]
При обычном измерении магнитного гистерезиса h начинается с большого положительного значения и уменьшается до большого отрицательного значения. Направление намагничивания начинается на синей кривой. При h = 0,5 появляется красная кривая, но при h > 0 синее состояние имеет меньшую энергию, поскольку оно ближе к направлению магнитного поля. Когда поле становится отрицательным, красное состояние имеет меньшую энергию, но намагниченность не может сразу перейти в это новое направление, поскольку между ними существует энергетический барьер (см. вставки). Однако при h = -0,5 энергетический барьер исчезает, и в более отрицательных полях синее состояние больше не существует. Поэтому он должен перейти в красное состояние. После этого скачка намагниченность остается на красной кривой до тех пор, пока поле не превысит h = 0,5 , где оно перейдет на синюю кривую. Обычно строится только петля гистерезиса; энергетические максимумы представляют интерес только в том случае, если рассчитывается влияние тепловых флуктуаций . [1]
Модель Стонера-Вольфарта является классическим примером магнитного гистерезиса. Петля симметрична ( поворотом на 180 ° ) относительно начала координат, и скачки происходят при h = ± hs , где hs известен как поле переключения . Весь гистерезис возникает при ± h с .
Форма петли гистерезиса сильно зависит от угла между магнитным полем и легкой осью (рис. 3). Если они параллельны ( θ = 0 ), петля гистерезиса будет максимальной (с m h = h s = 1 в нормализованных единицах). Намагниченность начинается параллельно полю и не вращается, пока не станет нестабильной и не перескочит в противоположное направление. В общем, чем больше угол, тем более обратимое вращение происходит. На другом полюсе θ = 90 ° , когда поле перпендикулярно легкой оси, скачка не происходит. Намагниченность непрерывно вращается из одного направления в другое (хотя есть два варианта направления вращения).
Для данного угла θ поле переключения — это точка, в которой решение переключается с минимума энергии (∂ 2 η /∂ φ 2 > 0) на максимум энергии (∂ 2 η /∂ φ 2 < 0) . Таким образом, его можно вычислить непосредственно, решив уравнение ( 3 ) вместе с ∂ 2 η /∂ φ 2 = 0 . Решение
где
В нормализованных единицах 0,5 ≤ h s ≤ 1 . [1]
Альтернативный способ представления решения поля переключения — разделить векторное поле h на компонент h || = h cos θ , параллельная легкой оси, и компонента h ⊥ = h sin θ , перпендикулярная. Затем
Если компоненты нанести на график друг против друга, результатом будет астроида Стоунера-Вольфарта . Петлю магнитного гистерезиса можно рассчитать, применив к этой астроиде геометрическую конструкцию. [2]
Стоунер и Вольфарт рассчитали основную петлю гистерезиса для изотропной системы случайно ориентированных одинаковых частиц. Результат расчета воспроизведен на рис. 4. Необратимое изменение (одиночная стрелка) происходит при 0,5 < | ч | < 1 , обратимое изменение (двойные стрелки) в другом месте. На рисунке указаны нормированные остаточная намагниченность насыщения mrs и коэрцитивная сила hc . Кривая в центре — это начальная кривая намагничивания. Это моделирует поведение образца, если его размагничивать перед приложением поля. Предполагается, что в результате размагничивания каждая частица имеет равную вероятность намагничивания в любом из двух направлений, параллельных легкой оси. Таким образом, это среднее значение верхней и нижней ветвей основного цикла. [1]
Некоторые расчеты остаточной намагниченности для случайно ориентированных идентичных частиц показаны на рисунке 5. Изотермическая остаточная намагниченность (IRM) достигается после размагничивания образца и последующего приложения поля. Кривая m ir ( h ) показывает нормированную остаточную намагниченность как функцию поля. Никаких изменений не происходит до тех пор, пока h = 0,5 , поскольку все поля переключения больше 0,5 . До этого поля изменения намагниченности обратимы. Намагниченность достигает насыщения при h = 1 , наибольшем поле переключения.
Два других типа остаточной намагниченности включают размагничивание изотермической остаточной намагниченности насыщения (SIRM), поэтому в нормализованных единицах они начинаются с 1 . Опять же, с остаточной намагниченностью ничего не происходит, пока поле не достигнет значения 0,5 . Поле, при котором m dc достигает нуля, называется коэрцитивной силой остаточной намагниченности .
Некоторые параметры магнитного гистерезиса, предсказанные этим расчетом, показаны в соседней таблице. Нормированные величины, используемые в приведенных выше уравнениях, были выражены через нормальные измеренные величины. Параметр H cr представляет собой коэрцитивную силу остаточной намагниченности, а χ 0 — начальную восприимчивость ( магнитную восприимчивость размагниченного образца). [1]
Вышеприведенные расчеты относятся к идентичным частицам. В реальном образце параметр магнитной анизотропии K u будет разным для каждой частицы. Это не меняет соотношение M rs / M s , но меняет общую форму петли. [3] Параметром, который часто используется для характеристики формы петли, является соотношение H cr / H c , которое составляет 1,09 для образца с идентичными частицами и больше, если они не идентичны. Зависимости M rs / M s от H cr / H c широко используются в магнетизме горных пород как мера доменного состояния ( однодоменного или многодоменного ) в магнитных минералах. [4]
Вольфарт определил соотношения между остаточными намагниченностями, которые справедливы для любой системы частиц Стонера – Вольфарта:
Эти соотношения Вольфарта сравнивают IRM с размагничиванием остаточной намагниченности насыщения. Вольфарт также описал более общие отношения, сравнивая получение IRM ненасыщения и его размагничивание. [3]
Отношения Вольфарта можно представить в виде линейных графиков зависимости одной остаточной намагниченности от другой. Эти графики Хенкеля часто используются для отображения измеренных кривых остаточной намагниченности реальных образцов и определения применимости к ним теории Стонера-Вольфарта. [5]
Модель Стонера-Вольфарта полезна отчасти потому, что она очень проста, но она часто не отражает реальных магнитных свойств магнита. Есть несколько способов расширения: