Модель ускоренного времени отказа

Параметрическая модель в анализе выживаемости

В статистической области анализа выживания модель ускоренного времени отказа ( модель AFT ) является параметрической моделью, которая предоставляет альтернативу обычно используемым моделям пропорциональных рисков . В то время как модель пропорциональных рисков предполагает, что эффект ковариата заключается в умножении риска на некоторую константу, модель AFT предполагает, что эффект ковариата заключается в ускорении или замедлении жизненного цикла болезни на некоторую константу. Существуют веские фундаментальные научные доказательства из экспериментов с C. elegans, проведенных Страуструпом и др. ^[1], указывающие на то, что модели AFT являются правильной моделью для биологических процессов выживания.

Спецификация модели

В общем виде модель ускоренного времени отказа можно определить как ^[2]

${\displaystyle \lambda (t|\theta )=\theta \lambda _{0}(\theta t)}$

где обозначает совместный эффект ковариатов, обычно . (Указание коэффициентов регрессии с отрицательным знаком подразумевает, что высокие значения ковариатов увеличивают время выживания, но это всего лишь соглашение о знаках; без отрицательного знака они увеличивают риск.) ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta =\exp(-[\beta _{1}X_{1}+\cdots +\beta _{p}X_{p}])}$

Это выполняется, если функция плотности вероятности события принимается равной ; тогда для функции выживания следует , что . Из этого легко ^{[ требуется ссылка ]} увидеть, что модерируемое время жизни распределено таким образом, что и немодерируемое время жизни имеют такое же распределение. Следовательно, можно записать как ${\displaystyle f(t|\theta )=\theta f_{0}(\theta t)}$ ${\displaystyle S(t|\theta )=S_{0}(\theta t)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\theta }$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \log(T)}$

${\displaystyle \log(T)=-\log(\theta )+\log(T\theta ):=-\log(\theta )+\epsilon }$

где последний член распределен как , т. е. независимо от . Это сводит модель ускоренного времени отказа к регрессионному анализу (обычно линейной модели ), где представляет фиксированные эффекты, а представляет шум. Различные распределения подразумевают различные распределения , т. е. различные базовые распределения времени выживания. Обычно в контекстах анализа выживания многие наблюдения цензурируются: мы знаем только, что , а не . Фактически, первый случай представляет выживание, тогда как последний случай представляет событие/смерть/цензурирование во время последующего наблюдения. Эти цензурированные справа наблюдения могут представлять технические проблемы для оценки модели, если распределение необычно. ${\displaystyle \log(T_{0})}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle -\log(\theta )}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle T_{i}>t_{i}}$ ${\displaystyle T_{i}=t_{i}}$ ${\displaystyle T_{0}}$

Интерпретация в моделях ускоренного времени отказа проста: означает, что все в соответствующей истории жизни индивидуума происходит в два раза быстрее. Например, если модель касается развития опухоли, это означает, что все предварительные стадии прогрессируют в два раза быстрее, чем для необлученного индивидуума, подразумевая, что ожидаемое время до клинического заболевания составляет 0,5 от базового времени. Однако это не означает, что функция опасности всегда в два раза выше — это была бы модель пропорциональных опасностей . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta =2}$ ${\displaystyle \lambda (t|\theta )}$

Статистические вопросы

В отличие от моделей пропорциональных рисков, в которых полупараметрическая модель пропорциональных рисков Кокса используется более широко, чем параметрические модели, модели AFT преимущественно полностью параметрические, т. е. распределение вероятностей указано для . (Бакли и Джеймс ^[3] предложили полупараметрическую AFT, но ее использование относительно нечасто в прикладных исследованиях; в статье 1992 года Вэй ^[4] указал, что модель Бакли–Джеймса не имеет теоретического обоснования и не обладает надежностью, и рассмотрел альтернативы.) Это может быть проблемой, если для моделирования распределения базового срока службы требуется определенная степень реалистичной детализации. Следовательно, технические разработки в этом направлении были бы весьма желательны. ${\displaystyle \log(T_{0})}$

Когда термин «дряхлость» включен в модель выживания, оценки параметров регрессии из моделей AFT устойчивы к пропущенным ковариатам , в отличие от моделей пропорциональных рисков. Они также меньше подвержены влиянию выбора распределения вероятностей для термина «дряхлость». ^{[5] [6]}

Результаты моделей AFT легко интерпретируются. ^[7] Например, результаты клинического испытания со смертностью в качестве конечной точки можно интерпретировать как определенный процентный рост ожидаемой продолжительности жизни при новом лечении по сравнению с контролем. Таким образом, пациенту можно сообщить, что он, как ожидается, проживет (скажем) на 15% дольше, если примет новое лечение. Коэффициенты риска может оказаться сложнее объяснить на языке неспециалиста.

Распределения, используемые в моделях AFT

Лог -логистическое распределение обеспечивает наиболее часто используемую модель AFT ^{[ требуется ссылка ]} . В отличие от распределения Вейбулла , оно может демонстрировать немонотонную функцию риска, которая увеличивается в ранние моменты времени и уменьшается в более поздние моменты времени. Оно несколько похоже по форме на лог-нормальное распределение, но имеет более тяжелые хвосты. Лог-логистическая кумулятивная функция распределения имеет простую замкнутую форму , которая становится важной с вычислительной точки зрения при подгонке данных с цензурированием . Для цензурированных наблюдений нужна функция выживания, которая является дополнением к кумулятивной функции распределения, т. е. нужно иметь возможность оценить . ${\displaystyle S(t|\theta )=1-F(t|\theta )}$

Распределение Вейбулла (включая экспоненциальное распределение как частный случай) может быть параметризовано как модель пропорциональных рисков или как модель AFT, и является единственным семейством распределений, обладающим этим свойством. Результаты подгонки модели Вейбулла, таким образом, могут быть интерпретированы в любой из этих рамок. Однако биологическая применимость этой модели может быть ограничена тем фактом, что функция риска является монотонной, т. е. либо убывающей, либо возрастающей.

Любое распределение на мультипликативно замкнутой группе , например, положительных действительных чисел , подходит для модели AFT. Другие распределения включают логнормальное , гамма , гипертабастическое , распределение Гомперца и обратное гауссово распределение , хотя они менее популярны, чем логлогистическое, отчасти потому, что их кумулятивные функции распределения не имеют замкнутой формы. Наконец, обобщенное гамма-распределение является трехпараметрическим распределением, которое включает распределение Вейбулла , логнормальное и гамма как частные случаи.

Ссылки

1. Страуструп, Николас (16 января 2016 г.). «Временное масштабирование старения Caenorhabditis elegans». Nature . 530 (7588): 103–107. doi :10.1038/nature16550. PMC  4828198 .
2. Kalbfleisch & Prentice (2002). Статистический анализ данных о времени отказа (2-е изд.) . Хобокен, Нью-Джерси: Wiley Series in Probability and Statistics.
3. Бакли, Джонатан; Джеймс, Ян (1979), «Линейная регрессия с цензурированными данными», Biometrika , 66 (3): 429–436, doi :10.1093/biomet/66.3.429, JSTOR  2335161
4. Вэй, Л. Дж. (1992). «Модель ускоренного времени отказа: полезная альтернатива модели регрессии Кокса в анализе выживаемости». Статистика в медицине . 11 (14–15): 1871–1879. doi :10.1002/sim.4780111409. PMID  1480879.
5. Ламберт, Филипп; Колетт, Дэйв; Кимбер, Алан; Джонсон, Рэйчел (2004), «Параметрические модели ускоренного времени отказа со случайными эффектами и их применение к выживанию при трансплантации почки», Статистика в медицине , 23 (20): 3177–3192, doi :10.1002/sim.1876, PMID  15449337
6. Кейдинг, Н.; Андерсен, П.К.; Кляйн, Дж.П. (1997). «Роль моделей хрупкости и моделей ускоренного времени отказа в описании неоднородности из-за пропущенных ковариатов». Статистика в медицине . 16 (1–3): 215–224. doi :10.1002/(SICI)1097-0258(19970130)16:2<215::AID-SIM481>3.0.CO;2-J. PMID  9004393.
7. Кей, Ричард; Киннерсли, Нельсон (2002), «Об использовании модели ускоренного времени отказа в качестве альтернативы модели пропорциональных рисков при обработке данных о времени до события: исследование случая гриппа», Drug Information Journal , 36 (3): 571–579, doi :10.1177/009286150203600312

Дальнейшее чтение

• Брэдберн, М.Дж.; Кларк, Т.Г.; Лав, С.Б.; Альтман, Д.Г. (2003), «Анализ выживаемости, часть II: многомерный анализ данных — введение в концепции и методы», British Journal of Cancer , 89 (3): 431–436, doi :10.1038/sj.bjc.6601119, PMC  2394368 , PMID  12888808
• Хугаард, Филип (1999), «Основы данных о выживании», Биометрия , 55 (1): 13–22, doi :10.1111/j.0006-341X.1999.00013.x, PMID  11318147
• Коллетт, Д. (2003), Моделирование данных о выживании в медицинских исследованиях (2-е изд.), CRC press, ISBN 978-1-58488-325-8
• Кокс, Дэвид Роксби ; Оукс, Д. (1984), Анализ данных о выживании , CRC Press, ISBN 978-0-412-24490-2
• Марубини, Этторе; Вальсекки, Мария Грация (1995), Анализ данных о выживании, полученных в ходе клинических испытаний и наблюдательных исследований , Wiley, ISBN 978-0-470-09341-2
• Мартинуссен, Торбен; Шайке, Томас (2006), Модели динамической регрессии для данных о выживании, Springer, ISBN 0-387-20274-9 
• Багдонавичус, Вилияндас; Никулин, Михаил (2002), Ускоренные модели жизни. Моделирование и статистический анализ, Chapman&Hall/CRC, ISBN 1-58488-186-0