Авраам де Муавр

Французский математик (1667–1754).

Авраам де Муавр FRS ( французское произношение: [abʁaam də mwavʁ] ; 26 мая 1667 — 27 ноября 1754) был французским математиком, известным формулой де Муавра , формулой, которая связывает комплексные числа и тригонометрию , а также его работой по нормальному распределению и теория вероятности .

Он переехал в Англию в молодом возрасте из-за религиозных преследований гугенотов во Франции, которые достигли апогея в 1685 году с Указом Фонтенбло . ^[1] Он был другом Исаака Ньютона , Эдмонда Галлея и Джеймса Стирлинга . Среди своих товарищей-гугенотов, изгнанных в Англии, он был коллегой редактора и переводчика Пьера де Мезо .

Де Муавр написал книгу по теории вероятностей «Доктрина шансов » , которую, как говорят, высоко ценили игроки. Де Муавр первым открыл формулу Бине , выражение в замкнутой форме для чисел Фибоначчи , связывающее n- ю степень золотого сечения φ с n -м числом Фибоначчи. Он также был первым, кто постулировал центральную предельную теорему , краеугольный камень теории вероятностей.

Жизнь

Учение о шансах , 1756 г.

Ранние года

Авраам де Муавр родился в Витри-ле-Франсуа в Шампани 26 мая 1667 года. Его отец, Даниэль де Муавр, был хирургом, верившим в ценность образования. Хотя родители Авраама де Муавра были протестантами, сначала он посещал католическую школу «Христианские братья» в Витри, которая была необычайно терпимой, учитывая религиозную напряженность во Франции в то время. Когда ему было одиннадцать, родители отправили его в протестантскую академию в Седане , где он провел четыре года, изучая греческий язык под руководством Жака дю Ронделя. Протестантская академия Седана была основана в 1579 году по инициативе Франсуазы де Бурбон, вдовы Анри-Робера де ла Марка.

В 1682 году протестантская академия в Седане была закрыта, и де Муавр поступил на два года изучать логику в Сомюре . Хотя математика не была частью его курсовой работы, де Муавр самостоятельно прочитал несколько работ по математике, в том числе «Элементы математики» французского ораторского священника и математика Жана Престе и краткий трактат об азартных играх « De Ratiociniis in Ludo Aleae » Христиан Гюйгенс — голландский физик, математик, астроном и изобретатель. В 1684 году де Муавр переехал в Париж, чтобы изучать физику, и впервые получил формальное математическое образование под частными уроками у Жака Озанама .

Религиозные преследования во Франции стали жестокими, когда король Людовик XIV издал Фонтенблоский эдикт в 1685 году, отменивший Нантский эдикт , который давал значительные права французским протестантам. Он запрещал протестантское богослужение и требовал, чтобы всех детей крестили католические священники. Де Муавра отправили в Приоре Сен-Мартен-де-Шан, школу, куда власти отправляли протестантских детей для привития в католицизм.

Неясно, когда де Муавр покинул Приорат Сен-Мартен и переехал в Англию, поскольку в записях Приора Сен-Мартен указано, что он покинул школу в 1688 году, но де Муавр и его брат представились гугенотами, допущенными к Савойская церковь в Лондоне 28 августа 1687 года.

Средние годы

К моменту прибытия в Лондон де Муавр был компетентным математиком, хорошо знающим многие стандартные тексты. ^[1] Чтобы зарабатывать на жизнь, де Муавр стал частным репетитором по математике , посещая своих учеников или преподавая в лондонских кофейнях. Де Муавр продолжил свои исследования математики после посещения графа Девоншира и просмотра недавней книги Ньютона Principia Mathematica . Просматривая книгу, он понял, что она намного глубже, чем книги, которые он изучал ранее, и решил прочитать и понять ее. Однако, поскольку ему приходилось совершать длительные прогулки по Лондону, чтобы перемещаться между своими учениками, у де Муавра было мало времени для учебы, поэтому он вырывал страницы из книги и носил их в кармане, чтобы читать между уроками.

Согласно, возможно, апокрифической истории, Ньютон в последние годы своей жизни отсылал людей, задававших ему математические вопросы, к Муару, говоря: «Он знает все эти вещи лучше, чем я». ^[2]

К 1692 году Муавр подружился с Эдмоном Галлеем , а вскоре и с самим Исааком Ньютоном . В 1695 году Галлей передал Королевскому обществу первую математическую статью Муавра, ставшую результатом его исследования флюксий в Principia Mathematica . Эта статья была опубликована в журнале Philosophical Transactions в том же году. Вскоре после публикации этой статьи де Муавр также обобщил примечательную биномиальную теорему Ньютона в полиномиальную теорему . Королевское общество узнало об этом методе в 1697 году и 30 ноября 1697 года избрало де Муавра своим научным сотрудником.

После того как де Муавр был принят, Галлей посоветовал ему обратить свое внимание на астрономию. В 1705 году де Муавр интуитивно открыл, что «центростремительная сила любой планеты прямо связана с ее расстоянием от центра сил и обратно пропорциональна произведению диаметра эволюты и куба перпендикуляра к касательной. ." Другими словами, если планета M движется по эллиптической орбите вокруг фокуса F и имеет точку P, где PM касается кривой, а FPM — прямой угол, так что FP — перпендикуляр к касательной, тогда центростремительная сила в точке P пропорциональна FM/(R*(FP) ³ ), где R — радиус кривизны в точке M. Математик Иоганн Бернулли доказал эту формулу в 1710 году.

Несмотря на эти успехи, де Муавр не смог получить место на кафедре математики ни в одном университете, что освободило бы его от зависимости от отнимающего много времени репетиторства, которое обременяло его больше, чем большинство других математиков того времени. По крайней мере, отчасти причина заключалась в предвзятом отношении к его французскому происхождению. ^{[3] [4] [5]}

В ноябре 1697 г. он был избран членом Королевского общества ^[6] , а в 1712 г. назначен в комиссию, созданную обществом, наряду с М.М. Арбутнота, Хилла, Галлея, Джонса, Мачина, Бёрнета, Робартса, Бонета, Астона и Тейлора для рассмотрения утверждений Ньютона и Лейбница о том, кто открыл исчисление. Полную информацию о споре можно найти в статье о споре об исчислении Лейбница и Ньютона .

Всю свою жизнь де Муавр оставался бедным. Сообщается, что он был постоянным посетителем старой кофейни Slaughter's Coffee House на Сент-Мартинс-лейн на Крэнборн-стрит, где зарабатывал немного денег игрой в шахматы.

Спустя годы

Де Муавр продолжал изучать области вероятности и математики до своей смерти в 1754 году, и после его смерти было опубликовано несколько дополнительных статей. По мере того, как он становился старше, он становился все более вялым , и ему требовалось больше времени для сна. Распространено утверждение, что Де Муавр отметил, что каждую ночь он спал на 15 дополнительных минут, и правильно рассчитал дату своей смерти как день, когда время сна достигло 24 часов, 27 ноября 1754 года. [ ^7] В этот день он это сделал в Фактически он умер в Лондоне, и его тело было похоронено в церкви Святого Мартина в полях , хотя позже его тело было перенесено. Однако утверждение о том, что он предсказал свою собственную смерть, оспаривается, поскольку нигде не было задокументировано во время ее наступления. ^[8]

Вероятность

Де Муавр был пионером в развитии аналитической геометрии и теории вероятностей, расширив работы своих предшественников, особенно Христиана Гюйгенса и нескольких членов семьи Бернулли. Он также выпустил второй учебник по теории вероятностей « Доктрина шансов: метод расчета вероятностей событий в игре» . (Первая книга об азартных играх, Liber de ludo aleae ( «О бросании кубика »), была написана Джироламо Кардано в 1560-х годах, но опубликована она была только в 1663 году.) Эта книга вышла в четырёх изданиях: в 1711 году на латыни, и на английском языке в 1718, 1738 и 1756 годах. В более поздние издания своей книги де Муавр включил свой неопубликованный результат 1733 года, который представляет собой первое утверждение аппроксимации биномиального распределения в терминах того, что мы теперь называем нормальным или Функция Гаусса . ^[9] Это был первый метод определения вероятности появления ошибки заданного размера, когда эта ошибка выражается через изменчивость распределения как единицы, и первый метод расчета вероятной ошибки . Кроме того, он применил эти теории к проблемам азартных игр и актуарным таблицам .

Выражение, обычно встречающееся в вероятностях, — это n ! но до того, как появились калькуляторы, вычисляющие n ! для большого n отнимало много времени. В 1733 году Муавр предложил формулу для оценки факториала как n ! знак равно  cn ^{( п +1/2)} е ^{- п} . Он получил приближенное выражение для постоянной c , но именно Джеймс Стирлинг обнаружил, что c равна √ 2 π . ^[10]

Де Муавр также опубликовал статью под названием «Аннуитеты за жизнь», в которой выявил нормальное распределение уровня смертности по возрасту человека. На основании этого он вывел простую формулу для аппроксимации дохода от ежегодных выплат в зависимости от возраста человека. Это похоже на формулы, используемые сегодня страховыми компаниями.

Приоритет относительно распределения Пуассона

Некоторые результаты о распределении Пуассона были впервые представлены Муавром в книге «De Mensura Sortis seu»; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus в Philosophical Transactions of the Royal Society, p. 219. ^[11] В результате некоторые авторы утверждали, что распределение Пуассона должно носить имя Муавра. ^{[12] [13]}

Формула де Муавра

В 1707 году Муавр вывел уравнение, из которого можно сделать вывод:

${\displaystyle \cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n}}$

что он смог доказать для всех натуральных чисел  n . ^{[14] [15]} В 1722 году он представил уравнения, из которых можно вывести более известную форму формулы де Муавра :

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx).\,}$^{[16] [17]}

В 1749 году Эйлер доказал эту формулу для любого вещественного n, используя формулу Эйлера , что делает доказательство довольно простым. ^[18] Эта формула важна, поскольку она связывает комплексные числа и тригонометрию . Кроме того, эта формула позволяет вывести полезные выражения для cos( nx ) и sin( nx ) через cos( x ) и sin( x ).

Приближение Стирлинга

Де Муавр изучал вероятность, и его исследования требовали от него расчета биномиальных коэффициентов, что, в свою очередь, требовало от него расчета факториалов. ^{[19] [20]} В 1730 году Муавр опубликовал свою книгу Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis [Аналитический сборник рядов и интегралов], которая включала таблицы log ( n !). ^[21] Для больших значений n де Муавр аппроксимировал коэффициенты членов в биномиальном разложении. В частности, если задано положительное целое число n , где n четное и большое, то коэффициент при среднем члене числа (1 + 1) ⁿ аппроксимируется уравнением: ^{[22] [23]}

${\displaystyle {n \choose n/2}={\frac {n!}{(({\frac {n}{2}})!)^{2}}}\approx {2^{n}}{\frac {{2}{\frac {21}{125}}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{{n}^{n}}}}$

19 июня 1729 года Джеймс Стирлинг отправил де Муару письмо, в котором иллюстрировал, как он вычислил коэффициент среднего члена биномиального разложения (a + b) ⁿ для больших значений n. ^{[24] [25]} В 1730 году Стирлинг опубликовал свою книгу Methodus Differentialis [Дифференциальный метод], в которую он включил свою серию для log( n !): ^[26]

${\displaystyle \log _{10}(n+{\frac {1}{2}})!\approx \log _{10}{\sqrt {2\pi }}+n\log _{10}n-{\frac {n}{\ln 10}},}$

так что для больших . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi }}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

12 ноября 1733 года де Муавр частным образом опубликовал и распространил брошюру — Approximatio ad Summam Terminorum Binomii (a + b) ⁿ in Seriem expansi [Приближение суммы членов бинома (a + b) ⁿ , расширенного в серию. ] - в котором он признал письмо Стирлинга и предложил альтернативное выражение для центрального члена биномиального разложения. ^[27]

Торжества

25 ноября 2017 года в Сомюре доктор Конор Магуайр при патронаже Национальной комиссии ЮНЕСКО по делам ЮНЕСКО организовал в Сомюре коллоквиум, посвященный 350-летию со дня рождения де Муавра и тому факту, что он два года учился в Академии . из Сомюра . Коллоквиум назывался «Абрахам де Муавр: le Mathématicien, sa vie et son œuvre» и освещал важный вклад Де Муавра в развитие комплексных чисел (см. формулу Де Муавра ) и в теорию вероятностей (см. теорему Муавра-Лапласа ). На коллоквиуме рассказывалось о жизни Муавра и его изгнании в Лондоне, где он стал очень уважаемым другом Исаака Ньютона. Тем не менее, он жил на скромные средства, которые он зарабатывал частично за счет консультирования игроков в кофейне Old Slaughter's о вероятностях, связанных с их усилиями! 27 ноября 2016 года профессор Кристиан Женест из Университета Макгилла (Монреаль) отметил 262-ю годовщину смерти де Муавра коллоквиумом в Лиможе под названием «Авраам де Муавр: Джин в изгнании», на котором обсуждалось знаменитое приближение Муавра к биномиальному закону, вдохновившее центральная предельная теорема.

Смотрите также

• Число Де Муавра
• Де Муавр квинтик
• Экономическая модель
• Гауссов интеграл
• распределение Пуассона

Примечания

1. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Авраам де Муавр», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
2. Беллхаус, Дэвид Р. (2011). Абрахам де Муавр: подготовка почвы для классической теории вероятности и ее приложений . Лондон: Тейлор и Фрэнсис. п. 99. ИСБН 978-1-56881-349-3.
3. Кофлин, Раймонд Ф.; Зитарелли, Дэвид Э. (1984). Восхождение математики . МакГроу-Хилл. п. 437. ИСБН 0-07-013215-1. К сожалению, поскольку Де Муавр не был британцем, ему так и не удалось получить должность преподавателя в университете.
4. Юнгникель, Криста ; Маккормах, Рассел (1996). Кавендиш. Мемуары Американского философского общества. Том. 220. Американское философское общество. п. 52. ИСБН 9780871692207. Имея хорошие связи в математических кругах и высоко ценимый за свою работу, он все еще не мог найти хорошую работу. Даже его обращение в англиканскую церковь в 1705 году не могло изменить того факта, что он был иностранцем.
5. Тантон, Джеймс Стюарт (2005). Энциклопедия математики. Издательство информационной базы. п. 122. ИСБН 9780816051243. Он надеялся получить должность преподавателя математики, но ему, как иностранцу, так и не предложили такую ​​должность.
6. «Каталог библиотек и архивов». Королевское общество . Проверено 3 октября 2010 г.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
7. Каджори, Флориан (1991). История математики (5-е изд.). Американское математическое общество . п. 229. ИСБН 9780821821022.
8. «Биографические подробности - Действительно ли Авраам де Муавр предсказал свою смерть?»
9. См.:
   • Авраам де Муавр (12 ноября 1733 г.) «Approximatio ad summam terminorum binomii (a + b) ⁿ in seriem expansi» (самоизданная брошюра), 7 страниц.
   • Английский перевод: А. Де Муавр, Доктрина шансов …, 2-е изд. (Лондон, Англия: Х. Вудфолл, 1738), стр. 235–243.
10. Пирсон, Карл (1924). «Историческая справка о происхождении нормальной кривой ошибок». Биометрика . 16 (3–4): 402–404. дои : 10.1093/biomet/16.3-4.402.
11. Джонсон, Н.Л., Коц, С., Кемп, А.В. (1993) Одномерные дискретные распределения (2-е издание). Уайли. ISBN 0-471-54897-9 , стр. 157. 
12. Стиглер, Стивен М. (1982). «Пуассон о распределении Пуассона». Статистика и вероятностные буквы . 1 : 33–35. дои : 10.1016/0167-7152(82)90010-4.
13. Хальд, Андерс; де Муавр, Авраам; МакКлинток, Брюс (1984). «А. де Муавр: «De Mensura Sortis», или «Об измерении случайности».". International Statistical Review/Revue Internationale de Statistique . 1984 (3): 229–262. JSTOR  1403045.
14. Муавр, Аб. де (1707). «Aequationum quarundam potestatis tertiae, quintae, septimae, notae и Superiorum, ad infinitum usque pergendo, in termimis finitis, ad instar Regularum pro Cubicis Quae Vocantur Cardani, Resolutio Analytica» [О некоторых уравнениях третьего, пятого, седьмого, девятого, & высшая степень, вплоть до бесконечности, действуя в конечных терминах в форме правил для кубик, которые Кардано называет разрешением путем анализа.]. Философские труды Лондонского королевского общества (на латыни). 25 (309): 2368–2371. дои : 10.1098/rstl.1706.0037. S2CID  186209627.
    • Английский перевод Ричарда Дж. Пулскампа (2009). Архивировано 9 июня 2020 года в Wayback Machine.
    На стр. 2370 де Муавр заявил, что если ряд имеет форму , где n — любое заданное нечетное целое число (положительное или отрицательное) и где y и a могут быть функциями, то после решения для y результатом будет уравнение (2) на той же странице. : . Если y = cos x и a = cos nx, то результат будет ${\displaystyle ny+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}ny^{3}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}ny^{5}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}{\tfrac {25-nn}{6\times 7}}ny^{7}+\cdots =a}$ ${\displaystyle y={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a+{\sqrt {aa-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a-{\sqrt {aa-1}}}}}$ ${\displaystyle \cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n}}$
    
    • В 1676 году Исаак Ньютон нашел связь между двумя аккордами, находившимися в соотношении n к 1; отношение было выражено в приведенном выше ряду. Серия появляется в письме - приора Эпистолы Д. Иссаси Ньютона, математического профессора в Celeberrima Academia Cantabrigiensi; … — от 13 июня 1676 г. от Исаака Ньютона Генри Ольденбургу, секретарю Королевского общества; копия письма была отправлена ​​Готфриду Вильгельму Лейбницу . См. стр. 106 из: Био, Ж.-Б.; Лефорт, Ф., ред. (1856). Commercium epistolicum Дж. Коллинз и др. aliorum de analysi promota и т. д.: ou… (на латыни). Париж, Франция: Малле-Башелье. стр. 102–112.
    • В 1698 году ту же серию вывел де Муавр. См.: де Муавр А. (1698). «Метод извлечения корней бесконечного уравнения». Философские труды Лондонского королевского общества . 20 (240): 190–193. дои : 10.1098/rstl.1698.0034 . S2CID  186214144.; см. стр. 192.
    • В 1730 году де Муавр явно рассмотрел случай, когда функциями являются cos θ и cos nθ. См.: Муавр, А. де (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis (на латыни). Лондон, Англия: Дж. Тонсон и Дж. Уоттс. п. 1. Из стр. 1: «Лемма 1. Si sint l & x cosinus arcuum duorum A и B, quorum uterque eodem radio 1 describatur, quorumque Prior sit postioris Multiplex in earatione quam habet numerus n ad unitatem, tunc erit ». ${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}}$(Если l и x являются косинусами двух дуг A и B, обе из которых описываются одним и тем же радиусом 1 и из которых первая кратна последней в том отношении, как число n имеет отношение к 1, то это будет [ верно] .) Итак, если дуга A = n × дуга B, то l = cos A = cos nB и x = cos B. Следовательно, ${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}}$ ${\displaystyle \cos B={\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{-1/n}}$
    Смотрите также:
    • Кантор, Мориц (1898). Vorlesungen über Geschichte der Mathematik [ Лекции по истории математики ]. Математическая библиотека Теубериана, Bd. 8-9 (на немецком языке). Том. 3. Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер. п. 624.
    • Браунмюль, А. фон (1901). «Zur Geschichte der Entstehung des sogenannten Moivreschen Satzes» [К истории возникновения так называемой теоремы Муавра]. Библиотека Математика . 3-я серия (на немецком языке). 2 : 97–102.; см. стр. 98.
15. Смит, Дэвид Юджин (1959), Справочник по математике, том 3, Courier Dover Publications, стр. 444, ISBN 9780486646909
16. Муавр, А. де (1722). "Desectione anguli" [О разрезе угла] (PDF) . Философские труды Лондонского королевского общества (на латыни). 32 (374): 228–230. дои : 10.1098/rstl.1722.0039. S2CID  186210081 . Проверено 6 июня 2020 г.
    • Английский перевод Ричарда Дж. Пулскампа (2009). Архивировано 28 ноября 2020 года в Wayback Machine.
    Из стр. 229:
    «Сидеть x sinus против arcus cujuslibert. [
    Сидеть] t sinus против arcus alterius. [Сидеть] 1 радиус
    окружности . ⁿ + z ^{2 n} = – 2 z ⁿ t 1 – 2 z + zz = – 2 zx . Expunctoque z orietur aequatio qua relatio inter x & t determinatur." (Пусть x будет версиной любой дуги [т.е. x = 1 – cos θ ]. [Пусть] t будет версиной другой дуги. [Пусть] 1 будет радиусом круга. И пусть первая дуга равна последней [т.е. «другая дуга»] будет от 1 до n [так что t = 1 – cos nθ ], тогда, с учетом двух предполагаемых уравнений, которые можно назвать связанными, 1 – 2 z ⁿ + z ^{2 n} = –2 z ⁿ t 1 – 2 z + zz = – 2 zx А за счет исключения z возникнет уравнение, по которому определяется связь между x и t .) То есть, учитывая уравнения 1 – 2 z ⁿ + z ^{2 n} = – 2 z ⁿ (1 – cos n θ) 1 – 2 z + zz = – 2 z (1 – cos θ), используйте квадратичную формулу для решения для z ⁿ в первом уравнении и для z во втором уравнении. Результатом будет: z ⁿ = cos n θ ± i sin n θ и z = cos θ ± i sin θ, откуда сразу следует, что (cos θ ± i sin θ) ⁿ = cos n θ ± i sin n θ. Смотрите также:
    
    
    
    
    
    
    
    
    • Смит, Дэвид Ойген (1959). Справочник по математике. Том. 2. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Dover Publications Inc., стр. 444–446.см. стр. 445, сноска 1.
17. В 1738 году Муавр использовал тригонометрию для определения корней n-й степени действительного или комплексного числа. См.: Муавр А. де (1738). «De сокращение радикалов ad simpliciores terminos, seu de extrahenda radice quacunque data ex binomio , vel . Epistola» [О приведении радикалов к более простым терминам или об извлечении любого данного корня из бинома, или . Письмо.]. Философские труды Лондонского королевского общества (на латыни). 40 (451): 463–478. дои : 10.1098/rstl.1737.0081. S2CID  186210174. ${\displaystyle a+{\sqrt {+b}}}$ ${\displaystyle a+{\sqrt {-b}}}$ ${\displaystyle a+{\sqrt {+b}}}$ ${\displaystyle a+{\sqrt {-b}}}$ Из стр. 475: «Проблема III. Sit extrahenda radix, cujus index est n, ex binomio невозможно . … illos autem negativos quorum arcus sunt Quadante Majores». ${\displaystyle a+{\sqrt {-b}}}$(Задача III. Пусть корень, индекс которого [т. е. степень] равен n, извлекается из комплексного бинома. Решение. Пусть его корень равен , тогда я определяю ; я также определяю [Примечание: следует читать: ], нарисую или представлю круг , радиус которого равен , и предположим в этой [окружности] некоторую дугу А, косинус которой равен  , пусть С — вся окружность. Предположим, [измеренные] на одном и том же радиусе косинусы дуг и т. д. до тех пор, пока множество [т. е. число] из них [т. е. дуг] равно числу n; когда это будет сделано, остановитесь на этом; тогда косинусов будет столько же, сколько значений величины , которая связана с величиной ; это [т. е. ] всегда будет не следует пренебрегать , хотя и упоминалось ранее, [что] те косинусы, дуги которых меньше прямого угла, следует считать положительными, а те косинусы, дуги которых больше прямого угла, [следует рассматривать как] отрицательные .) Смотрите также: ${\displaystyle a+{\sqrt {-b}}}$ ${\displaystyle x+{\sqrt {-y}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{aa+b}}=m}$ ${\displaystyle {\tfrac {n+1}{n}}=p}$ ${\displaystyle {\tfrac {n+1}{2}}=p}$ ${\displaystyle {\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{{m}^{p}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {A}{n}},{\tfrac {C-A}{n}},{\tfrac {C+A}{n}},{\tfrac {2C-A}{n}},{\tfrac {2C+A}{n}},{\tfrac {3C-A}{n}},{\tfrac {3C+A}{n}}}$
    ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle m-xx}$
    
    
    • Браунмюль, А. фон (1903). Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie [ Лекции по истории тригонометрии ] (на немецком языке). Том. 2. Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер. стр. 76–77.
18. Эйлер (1749). «Исследования комплексных корней уравнений». Мемуары Берлинской академии наук (на французском языке). 5 : 222–288. См. стр. 260–261: « Теорема XIII. §. 70. De quelque puissance qu'on extraye la racine, ou d'une quantité réelle, ou d'une imaginaire de la forme M + N √-1, les racines seront toujours, ou réelles, ou imaginaires de la même forme M + N √-1. " (Теорема XIII. § 70. Для любой степени, либо вещественной величины, либо комплексной [единицы] вида M  +  N √−1 , из которого извлекается корень, корни всегда будут либо действительными, либо комплексными одного и того же вида M  +  N √−1.)
19. Де Муавр пытался определить коэффициент среднего члена (1 + 1) ⁿ для больших n с 1721 года или ранее. В своей брошюре от 12 ноября 1733 г. - «Приближение суммы членов бинома (  a +  b ) n  ,  развернутого в ^{серию »} - де Муавр сказал, что начал работать над этой проблемой 12 или более лет назад: «Duodecim jam sunt anni & amplius cum illud inveneram; …» (Прошло уже дюжину лет или больше с тех пор, как я нашел это [т. е. то, что следует]; …) .
    • (Арчибальд, 1926), с. 677.
    • (де Муавр, 1738), с. 235.
    Де Муавр считает, что Александр Каминг (ок. 1690–1775), шотландский аристократ и член Лондонского королевского общества, мотивировал в 1721 году его поиск приближения для центрального члена биномиального разложения. (де Муавр, 1730), с. 99.
20. Роли де Муавра и Стирлинга в поиске приближения Стирлинга представлены в:
    • Желинас, Жак (24 января 2017 г.) «Оригинальные доказательства ряда Стирлинга для log (N!)» arxiv.org
    • Ланье, Денис; Троту, Дидье (1998). «Формула Стирлинга» [формула Стирлинга] Комиссии меж-IREM по истории и эпистемологии математики (ред.). Анализ и аналитический демарш: les neveux de Descartes: actes du XIème Colloque inter-IREM d'épistémologie et d'histoire des mathématiques, Реймс, 10 и 11 мая 1996 г. [ Анализ и аналитическое рассуждение: «племянники» Декарта: труды 11-й меж-IREM коллоквиум по эпистемологии и истории математики, Реймс, 10–11 мая 1996 г.] (на французском языке). Реймс, Франция: IREM [Институт научных исследований по математике] в Реймсе. стр. 231–286.
21. Муавр, А. де (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis [ Аналитический сборник рядов и квадратур [т. е. интегралов] ]. Лондон, Англия: Дж. Тонсон и Дж. Уоттс. стр. 103–104.
22. Со стр. 102 из (Муавр, 1730 г.): «Проблема III. Invenire Coefficientem Termini medii potestatis permagnae & paris, seu invenire rationem quam Coefficiens termini medii habeat ad summam omnium Coefficientium.… ad 1 proxime».
    (Задача 3. Найти коэффициент при среднем члене [биномиального разложения] для очень большой и четной степени [ n ] или найти отношение коэффициента при среднем члене к сумме всех коэффициентов.
    Решение. Пусть n — степень степени, до которой возведен бином a  +  b , затем, полагая [оба] a и b = 1, отношение среднего члена к его степени ( a  +  b ) ⁿ или 2 ⁿ [Примечание: сумма всех коэффициентов биномиального разложения (1 + 1) ⁿ равна 2 ⁿ .] будет почти равна 1. Но когда некоторые ряды для исследования можно было определить более точно, [но] ими пренебрегали из-за отсутствия времени, я затем вычисляю путем повторного интегрирования [и] восстанавливаю для использования конкретные количества, которыми ранее пренебрегали; так получилось, что я наконец смог заключить, что искомое соотношение приблизительно равно или равно 1.) Приближение получено на стр. 124-128 (де Муавр, 1730). ${\displaystyle {\frac {2(n-1)^{n-{\frac {1}{2}}}}{{n}^{n}}}}$
    ${\displaystyle {\frac {2{\frac {21}{125}}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{n^{n}}}}$ ${\displaystyle {\frac {2{\frac {21}{125}}{(1-{\frac {1}{n}})}^{n}}{\sqrt {n-1}}}}$
    ${\displaystyle {\frac {{2}{\frac {21}{125}}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{{n}^{n}}}}$
23. Де Муавр определил значение константы , аппроксимировав значение ряда, используя только его первые четыре члена. Де Муавр думал, что ряд сходится, но английский математик Томас Байес (ок. 1701–1761) обнаружил, что ряд на самом деле расходится. Из стр. 127-128 (де Муавр, 1730): «Cum vero perciperem имеет Series valde implicatas evadere,… conclusi factem 2.168 seu » (Но когда я задумал, [как] избежать этих очень сложных серий — хотя все они были совершенно суммируемы — я думаю, что [не было] ничего другого, как преобразовать их в бесконечный случай; таким образом, приравняв m к бесконечности, тогда сумма первого рационального ряда сократится до 1/12, сумма второй [сократится] до 1/360; так бывает, что достигаются суммы всех рядов. Из этого одного ряда и т. д. можно будет отбросить столько членов, сколько заблагорассудится; но Я решил [сохранить] четыре [члена] этого [ряда], потому что они были достаточны [как] достаточно точное приближение; теперь, когда этот ряд сходится, то его члены убывают с чередованием положительных и отрицательных знаков, [и] можно сделать вывод, что первый член 1/12 больше, [чем] сумма ряда, или первый член больше, [чем] разница, существующая между всеми положительными членами и всеми отрицательными членами; но этот член следует рассматривать как гиперболический [т. е. натуральный] логарифм; кроме того, число, соответствующее этому логарифму, составляет почти 1,0869 [т.е. ln (1,0869) ≈ 1/12], что при умножении на 2 произведение будет 2,1738, и, таким образом, [в случае возведения бинома] к бесконечной степени, обозначаемой n, величина будет больше, чем отношение среднего члена бинома к сумме всех членов, а переходя к остальным членам, обнаружится, что коэффициент 2,1676 как раз меньше [чем отношение среднего члена к сумме всех членов], и аналогично, что 2,1695 больше, в свою очередь, что 2,1682 опускается немного ниже истинного [значения отношения]; учитывая это, я пришел к выводу, что коэффициент [составляет] 2,168 или Примечание. Коэффициент, который искал Муавр, был: (Lanier & Trotoux, 1998), с. 237. ${\displaystyle \textstyle 2{\frac {21}{125}}}$ ${\textstyle 2{\frac {21}{125}},\ldots }$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{12}}-{\frac {1}{360}}+{\frac {1}{1260}}-{\frac {1}{1680}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {{2.1738}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{n^{n}}}}$ ${\textstyle 2{\frac {21}{125}},\ldots }$ ${\displaystyle {\frac {2e}{\sqrt {2\pi }}}=2.16887\ldots }$
    • Байес, Томас (31 декабря 1763 г.). «Письмо покойного преподобного г-на Байеса, ФРС, Джону Кантону, Массачусетс и ФРС». Философские труды Лондонского королевского общества . 53 : 269–271. дои : 10.1098/rstl.1763.0044. S2CID  186214800.
24. (де Муавр, 1730), стр. 170–172.
25. В письме Стирлинга де Муару от 19 июня 1729 года Стирлинг заявил, что он написал Александру Кьюмингу «quadrienium circiter abhinc» (около четырех лет назад [т. е. 1725 г.]) о (среди прочего) аппроксимации с использованием теории Исаака Ньютона. метод дифференциалов, коэффициент среднего члена биномиального разложения. Стирлинг признал, что де Муавр решил проблему несколькими годами ранее: «…; ответьте Illustrissimus vir se dubitare an Issuea a Te aliquot ante annos solutum de invenienda Uncia media in quavis dignitate Binonii solvi posset per Differentias». (...; этот самый прославленный человек [Александр Каминг] ответил, что он сомневается в том, что проблема, решенная вами несколькими годами ранее, касающаяся поведения среднего члена любой степени бинома, может быть решена с помощью дифференциалов.) Стирлинг писал что затем он начал исследовать проблему, но поначалу его прогресс был медленным.
    • (де Муавр, 1730), с. 170.
    • Забелл, С.Л. (2005). Симметрия и ее недостатки: Очерки истории индуктивной вероятности. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Издательство Кембриджского университета. п. 113. ИСБН 9780521444705.
26. См.:
    • Стерлинг, Джеймс (1730). Methodus Differentialis… (на латыни). Лондон: Г. Страхан. п. 137. Из стр. 137: «Ceterum si velis summam quotcunque Logarithmorum numerorum naturalam 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. pone z – n esse ultimum numerorum, существует n = ½ ; & tres vel quatuor Termini hujus Seriei ${\displaystyle zl,z-az-{\frac {a}{24z}}+{\frac {7a}{2880z^{3}}}-{}}$ [Примечание: l, z = log(z)] additi Logarithmocircerentiae Circuli cujus Radius est Unitas, id est, huic 0.39908.99341.79 dabunt summam quaesitam, idque eo smalle Labore quo plures Logarithmi sunt summandi." (Более того, если вы хотите получить сумму любого логарифма натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., установите z–n в качестве последнего числа, n равно ½; и три или четыре члена этого числа ряд , добавленный к [половине] логарифма длины окружности, радиус которого равен единице [т.е. ½ log(2 π )] – то есть, [добавленный] к этому: 0,39908,99341,79 – даст сумму [это] ищем, и чем больше логарифмов [которые] нужно добавить, тем меньше это работы.) Примечание: (См. стр. 135.) = 1/ln(10). ${\displaystyle z\log(z)-az-{\frac {a}{24z}}+{\frac {7a}{2880z^{3}}}-{}}$ ${\displaystyle a=0.434294481903252}$
    • Английский перевод: Стерлинг, Джеймс (1749). Дифференциальный метод. Перевод Холлидея, Фрэнсиса. Лондон, Англия: Э. Кейв. п. 121.[Примечание: принтер неправильно пронумеровал страницы этой книги, поэтому страница 125 имеет номер «121», страница 126 — «122» и так далее до стр. 129.]
27. См.:
    • Арчибальд, Р.К. (октябрь 1926 г.). «Редкая брошюра о Муавре и некоторых его открытиях». Исида (на английском и латыни). 8 (4): 671–683. дои : 10.1086/358439. S2CID  143827655.
    • Английский перевод брошюры опубликован в книге « Муавр, Авраам де» (1738 г.). Доктрина шансов… (2-е изд.). Лондон, Англия: Самостоятельная публикация. стр. 235–243.

Рекомендации

• См. Miscellanea Analytica де Муавра (Лондон: 1730), стр. 26–42.
• HJR Мюррей , 1913. История шахмат . Издательство Оксфордского университета: стр. 846.
• Шнайдер И., 2005, «Учение о шансах» в книге Граттан-Гиннесс, И. , изд., «Веховые статьи в западной математике ». Эльзевир: стр. 105–20.

дальнейшее чтение

• «Де Муавр, Авраам». Архивировано из оригинала 19 декабря 2007 года . Проверено 15 июня 2002 г.
• «Авраам Демуавр»  . Британская энциклопедия . Том. VII (9-е изд.). 1878. с. 60.
• Доктрина шанса на MathPages.
• Биография (PDF), Биография Авраама Де Муавра Мэтью Мэти , переведенная, аннотированная и дополненная .
• Отрывок из «Тригонометрических наслаждений» ^{[ мертвая ссылка ]}
• де Муавр, О законе нормальной вероятности.