След неравенства

В математике существует много видов неравенств , включающих матрицы и линейные операторы в гильбертовых пространствах . В этой статье рассматриваются некоторые важные операторные неравенства, связанные со следами матриц. ^{[1] [2] [3] [4]}

Основные определения

Пусть обозначает пространство эрмитовых матриц, обозначает множество, состоящее из положительно полуопределенных эрмитовых матриц, а обозначает множество положительно определенных эрмитовых матриц. Для операторов в бесконечномерном гильбертовом пространстве мы требуем, чтобы они были следовыми и самосопряженными , в этом случае применимы аналогичные определения, но для простоты мы обсуждаем только матрицы. ${\displaystyle \mathbf {H} _{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{n}^{+}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{n}^{++}}$

Для любой действительной функции на интервале можно определить матричную функцию для любого оператора с собственными значениями в , определив ее на собственных значениях и соответствующих проекторах , как задано спектральным разложением ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle A\in \mathbf {H} _{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle f(A)\equiv \sum _{j}f(\lambda _{j})P_{j}~,}$$ ${\displaystyle A=\sum _{j}\lambda _{j}P_{j}.}$

Оператор монотонный

Функция, определенная на интервале, называется операторно монотонной, если для всех и всех с собственными значениями в следующем выполняется неравенство, где неравенство означает, что оператор является положительно полуопределенным. Можно проверить , что на самом деле это не операторно монотонно! ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}}$ ${\displaystyle I,}$ $${\displaystyle A\geq B\implies f(A)\geq f(B),}$$ ${\displaystyle A\geq B}$ ${\displaystyle A-B\geq 0}$ ${\displaystyle f(A)=A^{2}}$

Оператор выпуклый

Функция называется операторно выпуклой, если для всех и всех с собственными значениями в и выполняется следующее. Обратите внимание, что оператор имеет собственные значения в , так как и имеют собственные значения в ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle 0<\lambda <1}$ $${\displaystyle f(\lambda A+(1-\lambda )B)\leq \lambda f(A)+(1-\lambda )f(B).}$$ ${\displaystyle \lambda A+(1-\lambda )B}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I.}$

Функция - это ${\displaystyle f}$оператор вогнутый, еслиесть оператор выпуклый;=, то есть неравенство выше длястановится обратным. ${\displaystyle -f}$ ${\displaystyle f}$

Выпуклость сустава

Функция, определенная на интервалах, называется ${\displaystyle g:I\times J\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle I,J\subseteq \mathbb {R} }$совместно выпуклы , если для всехи всех с собственными значениями ви всехс собственными значениями ви любыхвыполняется следующее ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2}\in \mathbf {H} _{n}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle B_{1},B_{2}\in \mathbf {H} _{n}}$ ${\displaystyle J,}$ ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$ $${\displaystyle g(\lambda A_{1}+(1-\lambda )A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda )B_{2})~\leq ~\lambda g(A_{1},B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2}).}$$

Функция - это ${\displaystyle g}$совместно вогнутым, если −является совместно выпуклым, т.е. неравенство выше дляменяется на противоположное. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

Функция трассировки

Для данной функции соответствующая функция следа задается выражением, где имеет собственные значения и обозначает след оператора. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{n}}$ $${\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)=\sum _{j}f(\lambda _{j}),}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} }$

Выпуклость и монотонность функции следа

Пусть будет непрерывным, а n — любым целым числом. Тогда, если монотонно возрастает, то так же и на H _n . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle t\mapsto f(t)}$ ${\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)}$

Аналогично, если f выпукла , то она будет и на H _n , и она строго выпукла, если f строго выпукла. ${\displaystyle t\mapsto f(t)}$ ${\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)}$

См. доказательство и обсуждение, например , в ^{[1] .}

Теорема Лёвнера–Хайнца

Для функция является операторно монотонной и операторно вогнутой. ${\displaystyle -1\leq p\leq 0}$ ${\displaystyle f(t)=-t^{p}}$

Для функция является операторно монотонной и операторно вогнутой. ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ ${\displaystyle f(t)=t^{p}}$

Для функция является операторно выпуклой. Кроме того, ${\displaystyle 1\leq p\leq 2}$ ${\displaystyle f(t)=t^{p}}$

${\displaystyle f(t)=\log(t)}$является оператором вогнутым и оператором монотонным, в то время как

${\displaystyle f(t)=t\log(t)}$является оператором выпуклым.

Первоначальное доказательство этой теоремы принадлежит К. Лёвнеру , который дал необходимое и достаточное условие для того, чтобы f была операторно монотонной. ^[5] Элементарное доказательство теоремы обсуждается в ^[1] , а более общая версия — в ^{[6] .}

Неравенство Клейна

Для всех эрмитовых n × n матриц A и B и всех дифференцируемых выпуклых функций с производной f ' или для всех положительно определенных эрмитовых n × n матриц A и B и всех дифференцируемых выпуклых функций f :(0,∞) → справедливо следующее неравенство: ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \operatorname {Tr} [f(A)-f(B)-(A-B)f'(B)]\geq 0~.}$

В любом случае, если f строго выпукло, равенство выполняется тогда и только тогда, когда A = B. Популярным выбором в приложениях является f ( t ) = t log t , см. ниже.

Доказательство

Пусть так, что для , ${\displaystyle C=A-B}$ ${\displaystyle t\in (0,1)}$

${\displaystyle B+tC=(1-t)B+tA}$,

варьируется от до . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

Определять

${\displaystyle F(t)=\operatorname {Tr} [f(B+tC)]}$.

В силу выпуклости и монотонности следовых функций является выпуклой, и поэтому для всех , ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle t\in (0,1)}$

${\displaystyle F(0)+t(F(1)-F(0))\geq F(t)}$,

что есть,

${\displaystyle F(1)-F(0)\geq {\frac {F(t)-F(0)}{t}}}$,

и, на самом деле, правая часть монотонно убывает по . ${\displaystyle t}$

Принимая предельную доходность, ${\displaystyle t\to 0}$

${\displaystyle F(1)-F(0)\geq F'(0)}$,

что с перестановкой и подстановкой представляет собой неравенство Клейна:

${\displaystyle \mathrm {tr} [f(A)-f(B)-(A-B)f'(B)]\geq 0}$

Заметим, что если строго выпукло и , то строго выпукло. Окончательное утверждение следует из этого и того факта, что монотонно убывает по . ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle C\neq 0}$ ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle {\tfrac {F(t)-F(0)}{t}}}$ ${\displaystyle t}$

Неравенство Голдена–Томпсона

В 1965 году С. Голден ^[7] и К. Дж. Томпсон ^[8] независимо друг от друга обнаружили, что

Для любых матриц , ${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} e^{A+B}\leq \operatorname {Tr} e^{A}e^{B}.}$

Это неравенство можно обобщить для трех операторов: ^[9] для неотрицательных операторов , ${\displaystyle A,B,C\in \mathbf {H} _{n}^{+}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} e^{\ln A-\ln B+\ln C}\leq \int _{0}^{\infty }\operatorname {Tr} A(B+t)^{-1}C(B+t)^{-1}\,\operatorname {d} t.}$

Неравенство Пайерлса–Боголюбова

Пусть будет таким, что Tr e ^R = 1. Определяя g = Tr Fe ^R , имеем ${\displaystyle R,F\in \mathbf {H} _{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} e^{F}e^{R}\geq \operatorname {Tr} e^{F+R}\geq e^{g}.}$

Доказательство этого неравенства следует из вышесказанного в сочетании с неравенством Клейна. Возьмем f ( x ) = exp( x ), A = R + F и B = R + gI . ^[10]

вариационный принцип Гиббса

Пусть будет самосопряженным оператором таким, что является классом следа . Тогда для любого с ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle e^{-H}}$ ${\displaystyle \gamma \geq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} \gamma =1,}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} \gamma H+\operatorname {Tr} \gamma \ln \gamma \geq -\ln \operatorname {Tr} e^{-H},}$

с равенством тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \gamma =\exp(-H)/\operatorname {Tr} \exp(-H).}$

Теорема Либа о вогнутости

Следующая теорема была доказана Э. Х. Либом в ^[9] . Она доказывает и обобщает гипотезу Э. П. Вигнера , М. М. Янасе и Фримена Дайсона . ^[11] Шесть лет спустя другие доказательства были даны Т. Андо ^[12] и Б. Саймоном ^[3] , и с тех пор было дано еще несколько доказательств.

Для всех матриц , и всех и таких, что и , с вещественнозначным отображением на заданным ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 0\leq q\leq 1}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle q+r\leq 1}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{m}^{+}\times \mathbf {H} _{n}^{+}}$

${\displaystyle F(A,B,K)=\operatorname {Tr} (K^{*}A^{q}KB^{r})}$

• совместно вогнут в ${\displaystyle (A,B)}$
• является выпуклым в . ${\displaystyle K}$

Здесь обозначает сопряженный оператор ${\displaystyle K^{*}}$ ${\displaystyle K.}$

Теорема Либа

Для фиксированной эрмитовой матрицы функция ${\displaystyle L\in \mathbf {H} _{n}}$

${\displaystyle f(A)=\operatorname {Tr} \exp\{L+\ln A\}}$

вогнутый на . ${\displaystyle \mathbf {H} _{n}^{++}}$

Теорема и доказательство принадлежат EH Lieb, ^[9] Thm 6, где он получает эту теорему как следствие теоремы Либа о вогнутости. Наиболее прямое доказательство принадлежит H. Epstein; ^[13] см. статьи MB Ruskai , ^{[14] [15]} для обзора этого аргумента.

Теорема Андо о выпуклости

Доказательство Т. Андо ^[12] теоремы Либа о вогнутости привело к следующему существенному дополнению к ней:

Для всех матриц и всех и с , действительное отображение на задано формулой ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 1\leq q\leq 2}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle q-r\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{m}^{++}\times \mathbf {H} _{n}^{++}}$

${\displaystyle (A,B)\mapsto \operatorname {Tr} (K^{*}A^{q}KB^{-r})}$

является выпуклым.

Совместная выпуклость относительной энтропии

Для двух операторов определим следующую карту ${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}^{++}}$

${\displaystyle R(A\parallel B):=\operatorname {Tr} (A\log A)-\operatorname {Tr} (A\log B).}$

Для матриц плотности и отображение представляет собой квантовую относительную энтропию Умегаки . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle R(\rho \parallel \sigma )=S(\rho \parallel \sigma )}$

Обратите внимание, что неотрицательность следует из неравенства Клейна с . ${\displaystyle R(A\parallel B)}$ ${\displaystyle f(t)=t\log t}$

Заявление

Карта является совместно выпуклой. ${\displaystyle R(A\parallel B):\mathbf {H} _{n}^{++}\times \mathbf {H} _{n}^{++}\rightarrow \mathbf {R} }$

Доказательство

Для всех , является совместно вогнутым, по теореме Либа о вогнутости, и, таким образом, ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle (A,B)\mapsto \operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})}$

${\displaystyle (A,B)\mapsto {\frac {1}{p-1}}(\operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})-\operatorname {Tr} A)}$

выпуклый. Но

${\displaystyle \lim _{p\rightarrow 1}{\frac {1}{p-1}}(\operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})-\operatorname {Tr} A)=R(A\parallel B),}$

и выпуклость сохраняется в пределе.

Доказательство принадлежит Г. Линдбладу. ^[16]

Оператор Йенсена и неравенства следов

Операторная версия неравенства Йенсена принадлежит К. Дэвису. ^[17]

Непрерывная действительная функция на интервале удовлетворяет операторному неравенству Йенсена , если выполняется следующее: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle f\left(\sum _{k}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}\right)\leq \sum _{k}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k},}$

для операторов с и для самосопряженных операторов со спектром на . ${\displaystyle \{A_{k}\}_{k}}$ ${\displaystyle \sum _{k}A_{k}^{*}A_{k}=1}$ ${\displaystyle \{X_{k}\}_{k}}$ ${\displaystyle I}$

Доказательство следующих двух теорем см . в ^{[17] [18] .}

Неравенство следов Йенсена

Пусть f — непрерывная функция, определенная на интервале I, и пусть m и n — натуральные числа. Если f — выпуклая функция, то мы имеем неравенство

${\displaystyle \operatorname {Tr} {\Bigl (}f{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}{\Bigr )}{\Bigr )}\leq \operatorname {Tr} {\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k}{\Bigr )},}$

для всех ( X ₁ , ... , X _n ) самосопряженных матриц размера m × m со спектрами, содержащимися в I и всех ( A ₁ , ... , A _n ) матриц размера m × m со спектрами

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}A_{k}=1.}$

Наоборот, если указанное выше неравенство выполняется для некоторых n и m , где n > 1, то f является выпуклой.

Операторное неравенство Йенсена

Для непрерывной функции, определенной на интервале, следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$

• ${\displaystyle f}$является оператором выпуклым.
• Для каждого натурального числа имеем неравенство ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}{\Bigr )}\leq \sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k},}$

для всех ограниченных самосопряженных операторов в произвольном гильбертовом пространстве со спектрами, содержащимися в и всех на с ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (A_{1},\ldots ,A_{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}A_{k}=1.}$

• ${\displaystyle f(V^{*}XV)\leq V^{*}f(X)V}$для каждой изометрии на бесконечномерном гильбертовом пространстве и ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

каждый самосопряженный оператор со спектром в . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$

• ${\displaystyle Pf(PXP+\lambda (1-P))P\leq Pf(X)P}$для каждой проекции на бесконечномерное гильбертово пространство , каждого самосопряженного оператора со спектром в и каждого в . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle I}$

Неравенство Араки–Либа–Тирринга

Э. Х. Либ и В. Э. Тирринг доказали следующее неравенство в ^[19] 1976 г.: Для любых и ${\displaystyle A\geq 0,}$ ${\displaystyle B\geq 0}$ ${\displaystyle r\geq 1,}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} (B^{r}A^{r}B^{r}).}$$

В 1990 г. ^[20] Х. Араки обобщил указанное выше неравенство до следующего: Для любых и для и для ${\displaystyle A\geq 0,}$ ${\displaystyle B\geq 0}$ ${\displaystyle q\geq 0,}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB)^{rq})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{r}A^{r}B^{r})^{q}),}$$ ${\displaystyle r\geq 1,}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} ((B^{r}A^{r}B^{r})^{q})~\leq ~\operatorname {Tr} ((BAB)^{rq}),}$$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1.}$

Существует несколько других неравенств, близких к неравенству Либа–Тирринга, например следующее: ^[21] для любых и и даже в более общем виде: ^[22] для любых и Приведенное выше неравенство обобщает предыдущее, как можно увидеть, заменив и на и используя цикличность следа, что приводит к ${\displaystyle A\geq 0,}$ ${\displaystyle B\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,1],}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} (BA^{\alpha }BBA^{1-\alpha }B)~\leq ~\operatorname {Tr} (B^{2}AB^{2}),}$$ ${\displaystyle A\geq 0,}$ ${\displaystyle B\geq 0,}$ ${\displaystyle r\geq 1/2}$ ${\displaystyle c\geq 0,}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB^{2c}AB)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{c+1}A^{2}B^{c+1})^{r}).}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B^{2}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A^{(1-\alpha )/2}}$ ${\displaystyle \alpha =2c/(2c+2)}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} ((BA^{\alpha }BBA^{1-\alpha }B)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{2}AB^{2})^{r}).}$$

Кроме того, на основе неравенства Либа-Тирринга было выведено следующее неравенство: ^[23] Для любого и всех с справедливо, что ${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n},T\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }$ ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$ $${\displaystyle |\operatorname {Tr} (TAT^{*}B)|~\leq ~\operatorname {Tr} (T^{*}T|A|^{p})^{\frac {1}{p}}\operatorname {Tr} (TT^{*}|B|^{q})^{\frac {1}{q}}.}$$

Теорема Эффроса и ее расширение

Э. Эффрос в ^[24] доказал следующую теорему.

Если — операторная выпуклая функция, а и — коммутирующие ограниченные линейные операторы, т.е. коммутатор , то перспектива ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle [L,R]=LR-RL=0}$

${\displaystyle g(L,R):=f(LR^{-1})R}$

является совместно выпуклым, т.е. если и при (i=1,2), , ${\displaystyle L=\lambda L_{1}+(1-\lambda )L_{2}}$ ${\displaystyle R=\lambda R_{1}+(1-\lambda )R_{2}}$ ${\displaystyle [L_{i},R_{i}]=0}$ ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$

${\displaystyle g(L,R)\leq \lambda g(L_{1},R_{1})+(1-\lambda )g(L_{2},R_{2}).}$

Эбадиан и др. позднее распространили неравенство на случай, когда и не коммутируют. ^[25] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$

Неравенство следов фон Неймана и связанные с ним результаты

Неравенство следов фон Неймана , названное в честь его создателя Джона фон Неймана , утверждает, что для любыхкомплексных матрицис сингулярными значениями исоответственно, ^[26] с равенством тогда и только тогда, когдаиимеют общие сингулярные векторы. ^[27] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \alpha _{1}\geq \alpha _{2}\geq \cdots \geq \alpha _{n}}$ ${\displaystyle \beta _{1}\geq \beta _{2}\geq \cdots \geq \beta _{n}}$ $${\displaystyle |\operatorname {Tr} (AB)|~\leq ~\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\beta _{i}\,,}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B^{\dagger }}$

Простым следствием этого является следующий результат: ^[28] Для эрмитовых положительно полуопределенных комплексных матриц и где теперь собственные значения отсортированы по убыванию ( и соответственно), ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}$ ${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i+1}~\leq ~\operatorname {Tr} (AB)~\leq ~\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\,.}$$

Смотрите также

• Неравенство Либа–Тирринга
• Теорема Шура–Хорна  – Характеризует диагональ эрмитовой матрицы с заданными собственными значениями.
• Идентичность следа  – Уравнения, включающие след матрицы
• Энтропия фон Неймана  – Тип энтропии в квантовой теории

Ссылки

1. E. Carlen, Неравенства следов и квантовая энтропия: вводный курс, Contemp. Math. 529 (2010) 73–140 doi :10.1090/conm/529/10428
2. Р. Бхатия, Матричный анализ, Springer, (1997).
3. B. Simon, Trace Ideals and their Applications, Cambridge Univ. Press, (1979); Второе издание. Amer. Math. Soc., Providence, RI, (2005).
4. М. Ойя, Д. Петц, Квантовая энтропия и ее использование, Springer, (1993).
5. Лёвнер, Карл (1934). «Убер монотонные матричные функции». Mathematische Zeitschrift (на немецком языке). 38 (1). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 177–216. дои : 10.1007/bf01170633. ISSN  0025-5874. S2CID  121439134.
6. У. Ф. Донохью-младший , Монотонные матричные функции и аналитическое продолжение, Springer, (1974).
7. Голден, Сидней (1965-02-22). "Нижние границы для функции Гельмгольца". Physical Review . 137 (4B). Американское физическое общество (APS): B1127–B1128. Bibcode : 1965PhRv..137.1127G. doi : 10.1103/physrev.137.b1127. ISSN  0031-899X.
8. Томпсон, Колин Дж. (1965). «Неравенство с приложениями в статистической механике». Журнал математической физики . 6 (11). Издательство AIP: 1812–1813. Bibcode : 1965JMP.....6.1812T. doi : 10.1063/1.1704727. ISSN  0022-2488.
9. Либ, Эллиотт Х (1973). «Выпуклые функции следа и гипотеза Вигнера-Янасе-Дайсона». Успехи математики . 11 (3): 267–288. doi : 10.1016/0001-8708(73)90011-x . ISSN  0001-8708.
10. Д. Рюэль, Статистическая механика: строгие результаты, World Scient. (1969).
11. Вигнер, Юджин П.; Янасэ, Муцуо М. (1964). «О положительной полуопределенной природе определенного матричного выражения». Канадский журнал математики . 16. Канадское математическое общество: 397–406. doi :10.4153/cjm-1964-041-x. ISSN  0008-414X. S2CID  124032721.
12. Ando, ​​T. (1979). «Вогнутость некоторых отображений на положительно определенных матрицах и приложения к произведениям Адамара». Линейная алгебра и ее приложения . 26. Elsevier BV: 203–241. doi : 10.1016/0024-3795(79)90179-4 . ISSN  0024-3795.
13. Эпштейн, Х. (1973). «Замечания о двух теоремах Э. Либа». Сообщения по математической физике . 31 (4). Springer Science and Business Media LLC: 317–325. Bibcode : 1973CMaPh..31..317E. doi : 10.1007/bf01646492. ISSN  0010-3616. S2CID  120096681.
14. Ruskai, Mary Beth (2002). «Неравенства для квантовой энтропии: обзор с условиями равенства». Журнал математической физики . 43 (9). AIP Publishing: 4358–4375. arXiv : quant-ph/0205064 . Bibcode :2002JMP....43.4358R. doi :10.1063/1.1497701. ISSN  0022-2488. S2CID  3051292.
15. Ruskai, Mary Beth (2007). «Еще одно короткое и элементарное доказательство сильной субаддитивности квантовой энтропии». Reports on Mathematical Physics . 60 (1). Elsevier BV: 1–12. arXiv : quant-ph/0604206 . Bibcode :2007RpMP...60....1R. doi :10.1016/s0034-4877(07)00019-5. ISSN  0034-4877. S2CID  1432137.
16. Линдблад, Гёран (1974). «Ожидания и неравенства энтропии для конечных квантовых систем». Communications in Mathematical Physics . 39 (2). Springer Science and Business Media LLC: 111–119. Bibcode : 1974CMaPh..39..111L. doi : 10.1007/bf01608390. ISSN  0010-3616. S2CID  120760667.
17. C. Davis, Неравенство Шварца для выпуклых операторных функций, Proc. Amer. Math. Soc. 8, 42–44, (1957).
18. Хансен, Франк; Педерсен, Герт К. (2003-06-09). «Операторное неравенство Йенсена». Бюллетень Лондонского математического общества . 35 (4): 553–564. arXiv : math/0204049 . doi :10.1112/s0024609303002200. ISSN  0024-6093. S2CID  16581168.
19. EH Lieb, WE Thirring, Неравенства для моментов собственных значений гамильтониана Шредингера и их связь с неравенствами Соболева, в Исследованиях по математической физике, под редакцией E. Lieb, B. Simon и A. Wightman, Princeton University Press, 269–303 (1976).
20. Араки, Хузихиро (1990). «О неравенстве Либа и Тирринга». Письма в математическую физику . 19 (2). Springer Science and Business Media LLC: 167–170. Bibcode : 1990LMaPh..19..167A. doi : 10.1007/bf01045887. ISSN  0377-9017. S2CID  119649822.
21. Z. Allen-Zhu, Y. Lee, L. Orecchia, Использование оптимизации для получения независимого от ширины, параллельного, более простого и быстрого решателя положительных SDP, в симпозиуме ACM-SIAM по дискретным алгоритмам, 1824–1831 (2016).
22. Л. Лафлеш, К. Саффирио, Сильный квазиклассический предел от уравнений Хартри и Хартри-Фока к уравнению Власова-Пуассона, arXiv:2003.02926 [math-ph].
23. В. Босбум, М. Шлоттбом, Ф. Л. Швеннингер, Об однозначной разрешимости уравнений переноса излучения с поляризацией, в журнале дифференциальных уравнений, (2024).
24. Эффрос, Э.Г. (2009-01-21). «Подход к некоторым знаменитым квантовым неравенствам с помощью матричной выпуклости». Труды Национальной академии наук США . 106 (4). Труды Национальной академии наук: 1006–1008. arXiv : 0802.1234 . Bibcode :2009PNAS..106.1006E. doi : 10.1073/pnas.0807965106 . ISSN  0027-8424. PMC 2633548 . PMID  19164582. 
25. Эбадиан, А.; Никуфар, И.; Эшаги Горджи, М. (2011-04-18). "Перспективы матричных выпуклых функций". Труды Национальной академии наук . 108 (18). Труды Национальной академии наук США: 7313–7314. Bibcode :2011PNAS..108.7313E. doi : 10.1073/pnas.1102518108 . ISSN  0027-8424. PMC 3088602 . 
26. Мирский, Л. (декабрь 1975 г.). «Следовое неравенство Джона фон Неймана». Монашефте по математике . 79 (4): 303–306. дои : 10.1007/BF01647331. S2CID  122252038.
27. Карлссон, Маркус (2021). «Неравенство следа фон Неймана для операторов Гильберта-Шмидта». Экспозиции Mathematicae . 39 (1): 149–157. doi :10.1016/j.exmath.2020.05.001.
28. Маршалл, Альберт В.; Олкин, Ингрэм; Арнольд, Барри (2011). Неравенства: теория мажорирования и ее приложения (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer. стр. 340-341. ISBN 978-0-387-68276-1.

• Первоисточник Scholarpedia.