Почти комплексное многообразие

Гладкий коллектор

В математике почти комплексное многообразие — это гладкое многообразие , снабженное гладкой линейной комплексной структурой на каждом касательном пространстве . Каждое комплексное многообразие является почти комплексным многообразием, но существуют почти комплексные многообразия, которые не являются комплексными многообразиями. Почти комплексные структуры имеют важные приложения в симплектической геометрии .

Эта концепция была предложена Чарльзом Эресманном и Хайнцем Хопфом в 1940-х годах. ^[1]

Формальное определение

Пусть M — гладкое многообразие. Почти комплексная структура J на ​​M — это линейная комплексная структура (то есть линейное отображение , квадрат которого равен −1) на каждом касательном пространстве многообразия, которое плавно меняется на многообразии. Другими словами, у нас есть гладкое тензорное поле J степени (1, 1), такое что при рассмотрении в качестве изоморфизма векторного расслоения на касательном расслоении . Многообразие, снабженное почти комплексной структурой, называется почти комплексным многообразием . ${\displaystyle J^{2}=-1}$ ${\displaystyle J\colon TM\to TM}$

Если M допускает почти комплексную структуру, она должна быть четномерной. Это можно увидеть следующим образом. Предположим, что M является n -мерным, и пусть J  : TM → TM будет почти комплексной структурой. Если J ² = −1 , то (det J ) ² = (−1) ⁿ . Но если M является действительным многообразием, то det J является действительным числом – таким образом, n должно быть четным, если M имеет почти комплексную структуру. Можно показать, что оно также должно быть ориентируемым .

Легкое упражнение по линейной алгебре показывает, что любое четномерное векторное пространство допускает линейную комплексную структуру. Следовательно, четномерное многообразие всегда допускает тензор ранга (1, 1) поточечно (который является просто линейным преобразованием на каждом касательном пространстве) такой, что J _p ² = −1 в каждой точке p . Только когда этот локальный тензор может быть склеен вместе для определения глобально, точечно-линейная комплексная структура дает почти комплексную структуру, которая затем определяется однозначно. Возможность этого склеивания и, следовательно, существование почти комплексной структуры на многообразии M эквивалентны редукции структурной группы касательного расслоения с GL(2 n , R ) до GL( n , C ) . Тогда вопрос существования является чисто алгебраическим топологическим и довольно хорошо изучен.

Примеры

Для каждого целого числа n плоское пространство R ^{2 n} допускает почти сложную структуру. Примером такой почти сложной структуры является (1 ≤ i , j ≤ 2 n ): для нечетного i , для четного i . ${\displaystyle J_{ij}=-\delta _{i,j-1}}$ ${\displaystyle J_{ij}=\delta _{i,j+1}}$

Единственными сферами , которые допускают почти комплексные структуры, являются S ² и S ⁶ (Борель и Серр (1953)). В частности, S ⁴ не может быть задана почти комплексная структура (Эресман и Хопф). В случае S ² почти комплексная структура происходит из честной комплексной структуры на сфере Римана . 6-сфера, S ⁶ , рассматриваемая как множество единичной нормы мнимых октонионов , наследует почти комплексную структуру от умножения октонионов; вопрос о том, имеет ли она сложную структуру, известен как проблема Хопфа, в честь Хайнца Хопфа . ^[2]

Дифференциальная топология почти комплексных многообразий

Так же, как комплексная структура на векторном пространстве V допускает разложение V ^C на V ⁺ и V ⁻ ( собственные пространства J, соответствующие + i и − i , соответственно), так и почти комплексная структура на M допускает разложение комплексифицированного касательного расслоения TM ^C (которое является векторным расслоением комплексифицированных касательных пространств в каждой точке) на TM ⁺ и TM ⁻ . Сечение TM ⁺ называется векторным полем типа (1, 0), тогда как сечение TM ⁻ является векторным полем типа (0, 1). Таким образом, J соответствует умножению на i на (1, 0)-векторных полях комплексифицированного касательного расслоения и умножению на − i на (0, 1)-векторных полях.

Так же, как мы строим дифференциальные формы из внешних степеней кокасательного расслоения , мы можем строить внешние степени комплексированного кокасательного расслоения (которое канонически изоморфно расслоению двойственных пространств комплексированного касательного расслоения). Почти комплексная структура индуцирует разложение каждого пространства r -форм

${\displaystyle \Omega ^{r}(M)^{\mathbf {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Omega ^{(p,q)}(M).\,}$

Другими словами, каждое Ω ^r ( M ) ^C допускает разложение в сумму Ω ^{( p ,  q )} ( M ), где r  =  p  +  q .

Как и в случае любой прямой суммы , существует каноническая проекция π _{p , q} из Ω ^r ( M ) ^C в Ω ^{( p , q )} . У нас также есть внешняя производная d , которая отображает Ω ^r ( M ) ^C в Ω ^{r +1} ( M ) ^C . Таким образом, мы можем использовать почти комплексную структуру для уточнения действия внешней производной до форм определенного типа

${\displaystyle \partial =\pi _{p+1,q}\circ d}$

${\displaystyle {\overline {\partial }}=\pi _{p,q+1}\circ d}$

так что это отображение, которое увеличивает голоморфную часть типа на единицу (переводит формы типа ( p ,  q ) в формы типа ( p +1, q )), и это отображение, которое увеличивает антиголоморфную часть типа на единицу. Эти операторы называются операторами Дольбо . ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$

Поскольку сумма всех проекций должна быть тождественным отображением , заметим, что внешняя производная может быть записана

${\displaystyle d=\sum _{r+s=p+q+1}\pi _{r,s}\circ d=\partial +{\overline {\partial }}+\cdots .}$

Интегрируемые почти сложные структуры

Каждое комплексное многообразие само по себе является почти комплексным многообразием. В локальных голоморфных координатах можно определить отображения ${\displaystyle z^{\mu }=x^{\mu }+iy^{\mu }}$

${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}={\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}=-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}$

(точно так же, как вращение против часовой стрелки на π/2) или

${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}=i{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}=-i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}.}$

Легко проверить, что это отображение определяет почти комплексную структуру. Таким образом, любая комплексная структура на многообразии дает почти комплексную структуру, которая, как говорят, «индуцирована» комплексной структурой, а комплексная структура, как говорят, «совместима» с почти комплексной структурой.

Обратный вопрос, подразумевает ли почти комплексная структура существование комплексной структуры, гораздо менее тривиален и в общем случае неверен. На произвольном почти комплексном многообразии всегда можно найти координаты, для которых почти комплексная структура принимает указанную выше каноническую форму в любой заданной точке p . Однако в общем случае невозможно найти координаты, чтобы J принимал каноническую форму на всей окрестности p . Такие координаты , если они существуют, называются «локальными голоморфными координатами для J». Если M допускает локальные голоморфные координаты для J вокруг каждой точки, то они объединяются, образуя голоморфный атлас для M, придавая ему комплексную структуру, которая, кроме того, индуцирует J . Тогда J называется « интегрируемым ». Если J индуцируется комплексной структурой, то он индуцируется уникальной комплексной структурой.

Если задано любое линейное отображение A на каждом касательном пространстве M ; т. е. A — тензорное поле ранга (1, 1), то тензор Нейенхейса — тензорное поле ранга (1, 2), заданное формулой

${\displaystyle N_{A}(X,Y)=-A^{2}[X,Y]+A([AX,Y]+[X,AY])-[AX,AY].\,}$

или, для обычного случая почти сложной структуры A=J такой, что , ${\displaystyle J^{2}=-Id}$

${\displaystyle N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J([JX,Y]+[X,JY])-[JX,JY].\,}$

Отдельные выражения справа зависят от выбора гладких векторных полей X и Y , но левая часть фактически зависит только от точечных значений X и Y , поэтому N _A является тензором. Это также ясно из формулы компонента

${\displaystyle -(N_{A})_{ij}^{k}=A_{i}^{m}\partial _{m}A_{j}^{k}-A_{j}^{m}\partial _{m}A_{i}^{k}-A_{m}^{k}(\partial _{i}A_{j}^{m}-\partial _{j}A_{i}^{m}).}$

В терминах скобки Фрёлихера–Нийенхейса , которая обобщает скобку Ли векторных полей, тензор Нийенхейса N _A равен всего лишь половине [ A ,  A ].

Теорема Ньюлендера –Ниренберга утверждает, что почти комплексная структура J интегрируема тогда и только тогда, когда N _J  = 0. Совместимая комплексная структура единственна, как обсуждалось выше. Поскольку существование интегрируемой почти комплексной структуры эквивалентно существованию комплексной структуры, это иногда принимается за определение комплексной структуры.

Существует несколько других критериев, которые эквивалентны исчезновению тензора Нийенхейса и которые, следовательно, предоставляют методы проверки интегрируемости почти сложной структуры (и фактически каждый из них можно найти в литературе):

• Скобка Ли любых двух (1, 0)-векторных полей снова имеет тип (1, 0)
• ${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$
• ${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0.}$

Любое из этих условий подразумевает существование уникальной совместимой сложной структуры.

Существование почти комплексной структуры является топологическим вопросом и на него относительно легко ответить, как обсуждалось выше. Существование интегрируемой почти комплексной структуры, с другой стороны, является гораздо более сложным аналитическим вопросом. Например, до сих пор неизвестно, допускает ли S ⁶ интегрируемую почти комплексную структуру, несмотря на долгую историю в конечном счете непроверенных утверждений. Вопросы гладкости важны. Для вещественно-аналитического J теорема Ньюлендера–Ниренберга следует из теоремы Фробениуса ; для C ^∞ (и менее гладкого) J требуется анализ (с более сложными методами по мере ослабления гипотезы регулярности).

Совместимые тройки

Предположим, что M снабжено симплектической формой ω, римановой метрикой g и почти комплексной структурой J. Поскольку ω и g невырождены , каждое из них индуцирует изоморфизм расслоений TM → T * M , где первое отображение , обозначаемое φ _ω , задается внутренним произведением φ _ω ( u ) =  i _u ω  =  ω ( u , •), а другое, обозначаемое φ _g , задается аналогичной операцией для g . С учетом этого три структуры ( g , ω , J ) образуют совместимую тройку , когда каждая структура может быть задана двумя другими следующим образом:

• g ( u , v ) = ω ( u , Jv )
• ω( u , v ) = g ( Ju , v )
• J ( ты ) знак равно ( φ _г ) ^-1 ( φ _ω ( ты )).

В каждом из этих уравнений две структуры в правой части называются совместимыми, когда соответствующая конструкция дает структуру указанного типа. Например, ω и J совместимы тогда и только тогда, когда ω (•, J •) — риманова метрика. Расслоение на M , сечения которого являются почти комплексными структурами, совместимыми с ω, имеет стягиваемые слои : комплексные структуры на касательных слоях совместимы с ограничением на симплектические формы.

Используя элементарные свойства симплектической формы ω , можно показать, что совместимая почти комплексная структура J является почти кэлеровой структурой для римановой метрики ω ( u , Jv ). Кроме того, если J интегрируема, то ( M , ω , J ) является кэлеровым многообразием .

Эти тройки связаны со свойством 2 из 3 унитарной группы .

Обобщенная почти сложная структура

Найджел Хитчин ввел понятие обобщенной почти комплексной структуры на многообразии M , которое было разработано в докторских диссертациях его студентов Марко Гуальтиери и Джила Кавальканти. Обычная почти комплексная структура — это выбор полумерного подпространства каждого слоя комплексифицированного касательного расслоения TM . Обобщенная почти комплексная структура — это выбор полумерного изотропного подпространства каждого слоя прямой суммы комплексифицированных касательного и кокасательного расслоений . В обоих случаях требуется, чтобы прямая сумма подрасслоения и его комплексного сопряжения давала исходное расслоение.

Почти комплексная структура интегрируется в комплексную структуру, если полумерное подпространство замкнуто относительно скобки Ли . Обобщенная почти комплексная структура интегрируется в обобщенную комплексную структуру, если подпространство замкнуто относительно скобки Куранта . Если, кроме того, это полумерное пространство является аннулятором нигде не исчезающего чистого спинора, то M является обобщенным многообразием Калаби–Яу .

Смотрите также

• Почти кватернионное многообразие  – Концепция в геометрииСтраницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Класс Черна  – Характеристические классы векторных расслоений
• Кронштейн Фрелихера – Ниенхейса
• Кэлерово многообразие  – многообразие с римановой, комплексной и симплектической структурой
• Пуассоново многообразие  – Математическая структура в дифференциальной геометрии
• Коллектор Рицца  – почти сложный коллектор, оснащенный совместимой структурой Финслера.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Симплектическое многообразие  – Тип многообразия в дифференциальной геометрии

Ссылки

1. Ван де Вен, А. (июнь 1966 г.). «О числах Черна некоторых комплексных и почти комплексных многообразий». Труды Национальной академии наук . 55 (6): 1624–1627. Bibcode :1966PNAS...55.1624V. doi : 10.1073/pnas.55.6.1624 . PMC  224368 . PMID  16578639.
2. Агрикола, Илка ; Баццони, Джованни; Герчес, Оливер; Константис, Панайотис; Ролленске, Зёнке (2018). «Об истории проблемы Хопфа». Дифференциальная геометрия и её приложения . 57 : 1–9. arXiv : 1708.01068 . doi : 10.1016/j.difgeo.2017.10.014. S2CID  119297359.

• Ньюлендер, Август; Ниренберг, Луис (1957). «Комплексные аналитические координаты в почти комплексных многообразиях». Annals of Mathematics . Вторая серия. 65 (3): 391–404. doi :10.2307/1970051. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970051. MR  0088770.
• Каннас да Силва, Ана (2001). Лекции по симплектической геометрии . Спрингер. ISBN 3-540-42195-5.Информация о совместимых тройках, кэлеровых и эрмитовых многообразиях и т. д.
• Уэллс, Рэймонд О. (1980). Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0.Короткий раздел, в котором представлен стандартный базовый материал.
• Рубей, Елена (2014). Алгебраическая геометрия, краткий словарь . Берлин/Бостон: Вальтер Де Грюйтер. ISBN 978-3-11-031622-3.
• Борель, Арман ; Серр, Жан-Пьер (1953). «Группы лжи и мощи Стинрода». Американский журнал математики . 75 (3): 409–448. дои : 10.2307/2372495. JSTOR  2372495. MR  0058213.