кэлерово многообразие

Многообразие с римановой, комплексной и симплектической структурой

В математике и особенно в дифференциальной геометрии , кэлерово многообразие — это многообразие с тремя взаимно совместимыми структурами: комплексной структурой , римановой структурой и симплектической структурой . Это понятие впервые было изучено Яном Арнольдусом Схоутеном и Дэвидом ван Данцигом в 1930 году, а затем введено Эрихом Кэлером в 1933 году. Терминология была зафиксирована Андре Вейлем . Кэлерова геометрия относится к изучению кэлеровых многообразий, их геометрии и топологии, а также к изучению структур и построений, которые могут быть выполнены на кэлеровых многообразиях, таких как существование специальных связей, таких как эрмитовые связи Янга–Миллса , или специальных метрик, таких как метрики Кэлера–Эйнштейна .

Каждое гладкое комплексное проективное многообразие является кэлеровым многообразием. Теория Ходжа является центральной частью алгебраической геометрии , доказанной с использованием кэлеровых метрик.

Определения

Поскольку коллекторы Кэлера оснащены несколькими совместимыми структурами, их можно описать с разных точек зрения:

Симплектическая точка зрения

Кэлерово многообразие — это симплектическое многообразие, снабженное интегрируемой почти комплексной структурой , которая совместима с симплектической формой , что означает, что билинейная форма ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle g(u,v)=\omega (u,Jv)}$

на касательном пространстве в каждой точке симметрична и положительно определена (и, следовательно, является римановой метрикой на ). ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Сложная точка зрения

Кэлерово многообразие — это комплексное многообразие с эрмитовой метрикой , ассоциированная 2-форма которой замкнута . Более подробно, дает положительно определенную эрмитову форму на касательном пространстве в каждой точке , а 2-форма определяется как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega (u,v)=\operatorname {Re} h(iu,v)=\operatorname {Im} h(u,v)}$

для касательных векторов и (где — комплексное число ). Для кэлерова многообразия кэлерова форма — это вещественная замкнутая (1,1)-форма . Кэлерово многообразие можно также рассматривать как риманово многообразие с римановой метрикой, определяемой как ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(u,v)=\operatorname {Re} h(u,v).}$

Эквивалентно, кэлерово многообразие является эрмитовым многообразием комплексной размерности, таким, что для каждой точки из существует голоморфная координатная карта вокруг, в которой метрика согласуется со стандартной метрикой на уровне 2 вблизи . ^[2] То есть, если карта принимает значение в , а метрика записывается в этих координатах как , то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\textstyle h_{ab}=({\frac {\partial }{\partial z_{a}}},{\frac {\partial }{\partial z_{b}}})}$

${\displaystyle h_{ab}=\delta _{ab}+O(\|z\|^{2})}$

для всех , в ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \{1,\cdots ,n\}}$

Поскольку 2-форма замкнута, она определяет элемент в когомологиях де Рама , известный как класс Кэлера . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {R} )}$

Риманова точка зрения

Кэлерово многообразие — это риманово многообразие четной размерности , группа голономии которого содержится в унитарной группе . ^[3] Эквивалентно, существует комплексная структура на касательном пространстве в каждой точке (то есть действительное линейное отображение из в себя с ), такая, что сохраняет метрику (то есть ) и сохраняется при параллельном переносе . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle J^{2}=-1}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(Ju,Jv)=g(u,v)}$ ${\displaystyle J}$

потенциал Кэлера

Гладкая вещественная функция на комплексном многообразии называется строго плюрисубгармонической, если вещественная замкнутая (1,1)-форма ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\rho }$

является положительным, то есть кэлеровой формой. Вот операторы Дольбо . Функция называется кэлеровым потенциалом для . ${\displaystyle \partial ,{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \omega }$

Наоборот, по комплексной версии леммы Пуанкаре , известной как локальная -лемма ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ , каждая кэлерова метрика может быть локально описана таким образом. То есть, если — кэлерово многообразие, то для каждой точки в существует окрестность и гладкая вещественная функция на такая, что . ^[4] Здесь называется локальным кэлеровым потенциалом для . Не существует сопоставимого способа описания общей римановой метрики в терминах одной функции. ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\omega \vert }_{U}=(i/2)\partial {\bar {\partial }}\rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \omega }$

Пространство кэлеровских потенциалов

Хотя не всегда возможно описать кэлерову форму глобально, используя один кэлеров потенциал, можно описать разность двух кэлеровых форм таким образом, при условии, что они находятся в одном классе когомологий де Рама . Это следствие -леммы из теории Ходжа . ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

А именно, если — компактное кэлерово многообразие, то класс когомологий называется кэлеровым классом . Любой другой представитель этого класса, скажем, отличается от на для некоторой одномерной формы . Далее в -лемме утверждается, что эта точная форма может быть записана как для гладкой функции . В локальном обсуждении выше берется локальный кэлеров класс на открытом подмножестве , и по лемме Пуанкаре любая кэлерова форма будет локально когомологична нулю. Таким образом, локальный кэлеров потенциал одинаков для локально. ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle [\omega ]\in H_{\text{dR}}^{2}(X)}$ ${\displaystyle \omega '}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega '=\omega +d\beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle d\beta }$ ${\displaystyle d\beta =i\partial {\bar {\partial }}\varphi }$ ${\displaystyle \varphi :X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle [\omega ]=0}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [\omega ]=0}$

В общем случае, если — класс Кэлера, то любая другая метрика Кэлера может быть записана как для такой гладкой функции. Эта форма не является автоматически положительной формой , поэтому пространство потенциалов Кэлера для класса определяется как эти положительные случаи и обычно обозначается как : ${\displaystyle [\omega ]}$ ${\displaystyle \omega _{\varphi }=\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi }$ ${\displaystyle [\omega ]}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{[\omega ]}:=\{\varphi :X\to \mathbb {R} {\text{ smooth}}\mid \omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi >0\}.}$

Если два кэлерова потенциала отличаются на константу, то они определяют одну и ту же кэлерову метрику, поэтому пространство кэлеровых метрик в классе можно отождествить с фактором . Пространство кэлеровых потенциалов является стягиваемым пространством . Таким образом, пространство кэлеровых потенциалов позволяет изучать все кэлеровы метрики в данном классе одновременно, и эта перспектива в изучении существования приводит к кэлеровым метрикам. ${\displaystyle [\omega ]}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}/\mathbb {R} }$

Коллекторы Кэлера и минимизаторы объема

Для компактного кэлерова многообразия X объем замкнутого комплексного подпространства X определяется его классом гомологии . В некотором смысле это означает, что геометрия комплексного подпространства ограничена в терминах его топологии. (Это полностью не выполняется для вещественных подмногообразий.) Явно формула Виртингера гласит, что

${\displaystyle \mathrm {vol} (Y)={\frac {1}{r!}}\int _{Y}\omega ^{r},}$

где Y — r -мерное замкнутое комплексное подпространство, а ω — кэлерова форма. ^[5] Поскольку ω замкнуто, этот интеграл зависит только от класса Y в H _{2 r} ( X , R ) . Эти объемы всегда положительны, что выражает сильную положительность кэлерова класса ω в H ² ( X , R ) относительно комплексных подпространств. В частности, ω ⁿ не равен нулю в H ^{2 n} ( X , R ) для компактного кэлерова многообразия X комплексной размерности n .

Связанный факт заключается в том, что каждое замкнутое комплексное подпространство Y компактного кэлерова многообразия X является минимальным подмногообразием (вне своего особого множества). Более того: по теории калиброванной геометрии Y минимизирует объем среди всех (действительных) циклов в одном и том же классе гомологии.

Идентификации Келера

Вследствие сильного взаимодействия между гладкими, комплексными и римановыми структурами на кэлеровом многообразии существуют естественные тождества между различными операторами на комплексных дифференциальных формах кэлеровых многообразий, которые не выполняются для произвольных комплексных многообразий. Эти тождества связывают внешнюю производную , операторы Дольбо и их сопряженные операторы, лапласианы , а также оператор Лефшеца и его сопряженный оператор, оператор сжатия . ^[6] Эти тождества составляют основу аналитического инструментария на кэлеровых многообразиях и в сочетании с теорией Ходжа являются основополагающими для доказательства многих важных свойств кэлеровых многообразий и их когомологий. В частности, тождества Кэлера имеют решающее значение для доказательства теорем Кодаиры и Накано об исчезновении , теоремы Лефшеца о гиперплоскости , жесткой теоремы Лефшеца , билинейных соотношений Ходжа-Римана и теоремы Ходжа об индексе . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \partial ,{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \Delta _{d},\Delta _{\partial },\Delta _{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle L:=\omega \wedge -}$ ${\displaystyle \Lambda =L^{*}}$

Лапласиан на кэлеровом многообразии

На римановом многообразии размерности лапласиан на гладких -формах определяется соотношением, где — внешняя производная и , где — оператор звезды Ходжа . (Эквивалентно, — сопряженный оператор относительно внутреннего произведения L 2 на -формах с компактным носителем.) Для эрмитова многообразия и разлагаются как ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \Delta _{d}=dd^{*}+d^{*}d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d^{*}=-(-1)^{n(r+1)}\star d\,\star }$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle d^{*}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d^{*}}$

${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }},\ \ \ \ d^{*}=\partial ^{*}+{\bar {\partial }}^{*},}$

и определены два других лапласиана:

${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}={\bar {\partial }}{\bar {\partial }}^{*}+{\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }},\ \ \ \ \Delta _{\partial }=\partial \partial ^{*}+\partial ^{*}\partial .}$

Если — кэлерово, то тождества кэлеровы подразумевают, что все эти лапласианы одинаковы с точностью до константы: ^[7] ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Delta _{d}=2\Delta _{\bar {\partial }}=2\Delta _{\partial }.}$

Эти тождества подразумевают , что на кэлеровом многообразии ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{r}(X)=\bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {H}}^{p,q}(X),}$

где — пространство гармонических -форм на (формы с ), а — пространство гармонических -форм . То есть дифференциальная форма является гармоничной тогда и только тогда, когда каждая из ее -компонент является гармоничной. ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Delta \alpha =0}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p,q}}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (p,q)}$

Далее, для компактного кэлерова многообразия теория Ходжа дает интерпретацию расщепления выше, которая не зависит от выбора кэлеровой метрики. А именно, когомологии с комплексными коэффициентами расщепляются как прямая сумма некоторых когерентных групп когомологий пучков : ^[8] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{p+q=r}H^{q}(X,\Omega ^{p}).}$

Группа слева зависит только от как топологическое пространство, тогда как группы справа зависят от как комплексное многообразие. Таким образом, эта теорема Ходжа о разложении связывает топологию и комплексную геометрию для компактных кэлеровых многообразий. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Пусть — комплексное векторное пространство , которое можно отождествить с пространством гармонических форм относительно заданной кэлеровой метрики. Числа Ходжа определяются как . Разложение Ходжа подразумевает разложение чисел Бетти компактного кэлерова многообразия в терминах его чисел Ходжа: ${\displaystyle H^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle H^{q}(X,\Omega ^{p})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h^{p,q}(X)=\mathrm {dim} _{\mathbf {C} }H^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle b_{r}=\sum _{p+q=r}h^{p,q}.}$

Числа Ходжа компактного кэлерова многообразия удовлетворяют нескольким тождествам. Симметрия Ходжа выполняется, поскольку лапласиан является действительным оператором, и поэтому . Тождество можно доказать, используя то, что оператор звезды Ходжа дает изоморфизм . Это также следует из двойственности Серра . ${\displaystyle h^{p,q}=h^{q,p}}$ ${\displaystyle \Delta _{d}}$ ${\displaystyle H^{p,q}={\overline {H^{q,p}}}}$ ${\displaystyle h^{p,q}=h^{n-p,n-q}}$ ${\displaystyle H^{p,q}\cong {\overline {H^{n-p,n-q}}}}$

Топология компактных кэлеровых многообразий

Простым следствием теории Ходжа является то, что каждое нечетное число Бетти b _{2 a +1} компактного кэлерова многообразия является четным, по симметрии Ходжа. Это неверно для компактных комплексных многообразий в целом, как показано на примере поверхности Хопфа , которая диффеоморфна S ¹ × S ³ и, следовательно, имеет b ₁ = 1 .

«Пакет Кэлера» — это набор дополнительных ограничений на когомологии компактных кэлеровых многообразий, основанных на теории Ходжа. Результаты включают теорему Лефшеца о гиперплоскости , жесткую теорему Лефшеца и билинейные отношения Ходжа-Римана . ^[9] Связанный с этим результат заключается в том, что каждое компактное кэлерово многообразие формально в смысле рациональной гомотопической теории. ^[10]

Вопрос о том, какие группы могут быть фундаментальными группами компактных кэлеровых многообразий, называемых кэлеровыми группами , широко открыт. Теория Ходжа накладывает множество ограничений на возможные кэлеровые группы. ^[11] Простейшее ограничение состоит в том, что абелианизация кэлеровой группы должна иметь четный ранг, поскольку число Бетти b ₁ компактного кэлерового многообразия четно. (Например, целые числа Z не могут быть фундаментальной группой компактного кэлерового многообразия.) Расширения теории, такие как неабелева теория Ходжа, накладывают дополнительные ограничения на то, какие группы могут быть кэлеровыми группами.

Без условия Кэлера ситуация проста: Клиффорд Таубс показал, что каждая конечно представленная группа возникает как фундаментальная группа некоторого компактного комплексного многообразия размерности 3. ^[12] (И наоборот, фундаментальная группа любого замкнутого многообразия конечно представлена.)

Характеристика комплексных проективных многообразий и компактных кэлеровых многообразий

Теорема вложения Кодаиры характеризует гладкие комплексные проективные многообразия среди всех компактных кэлеровых многообразий. А именно, компактное комплексное многообразие X проективно тогда и только тогда, когда существует кэлерова форма ω на X , класс которой в H ² ( X , R ) находится в образе целочисленной группы когомологий H ² ( X , Z ) . (Поскольку положительное кратное кэлеровой формы является кэлеровой формой, эквивалентно сказать, что X имеет кэлерову форму, класс которой в H ² ( X , R ) происходит из H ² ( X , Q ) .) Эквивалентно, X проективно тогда и только тогда, когда существует голоморфное линейное расслоение L на X с эрмитовой метрикой, форма кривизны которой ω положительна (так как ω тогда является кэлеровой формой, которая представляет первый класс Черна L в H 2 ⁽ X , Z ) ) . Кэлерова форма ω, удовлетворяющая этим условиям (то есть кэлерова форма ω является интегральной дифференциальной формой), также называется формой Ходжа, а кэлерова метрика в настоящее время называется метрикой Ходжа. Компактные кэлеровы многообразия с метрикой Ходжа также называются многообразиями Ходжа. ^{[13] [14]}

Многие свойства кэлеровых многообразий сохраняются в несколько большей общности -многообразий, то есть компактных комплексных многообразий, для которых выполняется -лемма . В частности, когомологии Ботта–Черна являются альтернативой когомологиям Дольбо компактных комплексных многообразий, и они изоморфны тогда и только тогда, когда многообразие удовлетворяет -лемме , и, в частности, совпадают, когда многообразие является кэлеровым. В общем случае ядро ​​естественного отображения из когомологий Ботта–Черна в когомологии Дольбо содержит информацию о неспособности многообразия быть кэлеровым. ^[15] ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

Каждая компактная комплексная кривая проективна, но в комплексной размерности по крайней мере 2 существует много компактных кэлеровых многообразий, которые не являются проективными; например, большинство компактных комплексных торов не являются проективными. Можно спросить, может ли каждое компактное кэлерово многообразие по крайней мере быть деформировано (непрерывным изменением комплексной структуры) в гладкое проективное многообразие. Работа Кунихико Кодаиры по классификации поверхностей подразумевает, что каждое компактное кэлерово многообразие комплексной размерности 2 действительно может быть деформировано в гладкое проективное многообразие. Однако Клэр Вуазен обнаружила, что это не выполняется в размерностях по крайней мере 4. Она построила компактное кэлерово многообразие комплексной размерности 4, которое даже не является гомотопически эквивалентным ни одному гладкому комплексному проективному многообразию. ^[16]

Можно также попросить охарактеризовать компактные кэлеровы многообразия среди всех компактных комплексных многообразий. В комплексной размерности 2 Кодаира и Юм-Тонг Сиу показали, что компактная комплексная поверхность имеет кэлерову метрику тогда и только тогда, когда ее первое число Бетти четно. ^[17] Альтернативное доказательство этого результата, которое не требует сложного индивидуального исследования с использованием классификации компактных комплексных поверхностей, было предоставлено независимо Бухдалем и Ламари. ^{[18] [19]} Таким образом, «кэлеровость» является чисто топологическим свойством для компактных комплексных поверхностей. Пример Хиронаки , однако, показывает, что это не выполняется в размерностях по крайней мере 3. Более подробно, пример представляет собой 1-параметрическое семейство гладких компактных комплексных 3-слоев, такое, что большинство слоев являются кэлеровыми (и даже проективными), но одно волокно не является кэлеровым. Таким образом, компактное кэлерово многообразие может быть диффеоморфно некэлерову комплексному многообразию.

Многообразия Кэлера–Эйнштейна

Кэлерово многообразие называется Кэлеровым–Эйнштейном, если оно имеет постоянную кривизну Риччи . Эквивалентно, тензор кривизны Риччи равен константе λ, умноженной на метрический тензор , Ric = λg . Ссылка на Эйнштейна происходит из общей теории относительности , которая утверждает, что при отсутствии массы пространство-время является 4-мерным лоренцевым многообразием с нулевой кривизной Риччи. Подробнее см. статью о многообразиях Эйнштейна .

Хотя кривизна Риччи определена для любого риманова многообразия, она играет особую роль в кэлеровой геометрии: кривизна Риччи кэлерова многообразия X может рассматриваться как вещественная замкнутая (1,1)-форма, которая представляет c ₁ ( X ) (первый класс Черна касательного расслоения ) в H ² ( X , R ) . Отсюда следует, что компактное многообразие Кэлера–Эйнштейна X должно иметь каноническое расслоение K _{X ,} либо антиобильное, либо гомологически тривиальное, либо обильное , в зависимости от того, является ли константа Эйнштейна λ положительной, нулевой или отрицательной. Кэлеровы многообразия этих трех типов называются Фано , Калаби–Яу или с обильным каноническим расслоением (что подразумевает общий тип ), соответственно. По теореме вложения Кодаиры многообразия Фано и многообразия с обильным каноническим расслоением автоматически являются проективными многообразиями.

Шинг-Тунг Яу доказал гипотезу Калаби : каждое гладкое проективное многообразие с обильным каноническим расслоением имеет метрику Кэлера–Эйнштейна (с постоянной отрицательной кривизной Риччи), а каждое многообразие Калаби–Яу имеет метрику Кэлера–Эйнштейна (с нулевой кривизной Риччи). Эти результаты важны для классификации алгебраических многообразий, с такими приложениями, как неравенство Мияоки–Яу для многообразий с обильным каноническим расслоением и разложение Бовилля–Богомолова для многообразий Калаби–Яу. ^[20]

Напротив, не каждое гладкое многообразие Фано имеет метрику Кэлера–Эйнштейна (которая имела бы постоянную положительную кривизну Риччи). Однако Сюсюн Чен, Саймон Дональдсон и Сун Сан доказали гипотезу Яу– Тяня –Дональдсона: гладкое многообразие Фано имеет метрику Кэлера–Эйнштейна тогда и только тогда, когда оно является K-стабильным , чисто алгебро-геометрическим условием.

В ситуациях, когда не может существовать метрика Кэлера–Эйнштейна, можно изучать мягкие обобщения, включая метрики Кэлера постоянной скалярной кривизны и экстремальные метрики Кэлера . Когда метрика Кэлера–Эйнштейна может существовать, эти более широкие обобщения автоматически являются метриками Кэлера–Эйнштейна.

Голоморфная секционная кривизна

Отклонение риманова многообразия X от стандартной метрики на евклидовом пространстве измеряется секционной кривизной , которая является действительным числом, связанным с любой действительной 2-плоскостью в касательном пространстве X в точке. Например, секционная кривизна стандартной метрики на CP ⁿ (для n ≥ 2 ) изменяется между 1/4 и 1 в каждой точке. Для эрмитова многообразия (например, кэлерова многообразия) голоморфная секционная кривизна означает секционную кривизну, ограниченную комплексными линиями в касательном пространстве. Это ведет себя проще, поскольку CP ⁿ имеет голоморфную секционную кривизну, равную 1 всюду. С другой стороны, открытый единичный шар в C ⁿ имеет полную кэлерову метрику с голоморфной секционной кривизной, равной −1. (С этой метрикой шар также называется комплексным гиперболическим пространством .)

Голоморфная секционная кривизна тесно связана с комплексной геометрией базового комплексного многообразия. Элементарным следствием леммы Альфорса-Шварца является то, что если — эрмитово многообразие с эрмитовой метрикой отрицательной голоморфной секционной кривизны (ограниченной сверху отрицательной константой), то оно является гиперболическим по Броди (т. е. каждое голоморфное отображение является постоянным). Если X оказывается компактным, то это эквивалентно тому, что многообразие является гиперболическим по Кобаяши . ^[21] ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \to X}$

С другой стороны, если X — компактное кэлерово многообразие с кэлеровой метрикой положительной голоморфной секционной кривизны, то Ян Сяокуй показал, что X рационально связно. ${\displaystyle (X,\omega )}$

Замечательной особенностью комплексной геометрии является то, что голоморфная секционная кривизна уменьшается на комплексных подмногообразиях. ^[22] (То же самое касается более общего понятия — голоморфной бисекторной кривизны.) Например, каждое комплексное подмногообразие C ⁿ (с индуцированной метрикой из C ⁿ ) имеет голоморфную секционную кривизну ≤ 0.

Для голоморфных отображений между эрмитовыми многообразиями голоморфная секционная кривизна недостаточно сильна, чтобы контролировать член целевой кривизны, появляющийся в оценке второго порядка леммы Шварца. Это мотивировало рассмотрение действительной бисекционной кривизны , введенной Сяокуйем Яном и Фанъяном Чжэном. ^[23] Это также появляется в работе Ман-Чуна Ли и Джеффри Стритса под названием оператор комплексной кривизны . ^[24]

Примеры

1. Комплексное пространство C ⁿ со стандартной эрмитовой метрикой является кэлеровым многообразием.
2. Компактный комплексный тор C ⁿ /Λ (Λ — полная решетка ) наследует плоскую метрику от евклидовой метрики на C ⁿ и, следовательно, является компактным кэлеровым многообразием.
3. Каждая риманова метрика на ориентированном 2-многообразии является кэлеровой. (Действительно, ее группа голономии содержится в группе вращений SO(2), которая равна унитарной группе U(1).) В частности, ориентированное риманово 2-многообразие является римановой поверхностью каноническим образом; это известно как существование изотермических координат . Наоборот, каждая риманова поверхность является кэлеровой, поскольку кэлерова форма любой эрмитовой метрики замкнута по размерностным причинам.
4. Существует стандартный выбор метрики Кэлера на комплексном проективном пространстве CP ⁿ , метрика Фубини–Штуди . Одно описание включает унитарную группу U( n + 1) , группу линейных автоморфизмов C ^{n +1} , которые сохраняют стандартную эрмитову форму. Метрика Фубини–Штуди является единственной римановой метрикой на CP ⁿ (с точностью до положительного кратного), которая инвариантна относительно действия U( n + 1) на CP ⁿ . Одно естественное обобщение CP ⁿ обеспечивается эрмитовыми симметрическими пространствами компактного типа, такими как грассманианы . Естественная кэлерова метрика на эрмитовом симметрическом пространстве компактного типа имеет секционную кривизну ≥ 0.
5. Индуцированная метрика на комплексном подмногообразии кэлерова многообразия является кэлеровой. В частности, любое многообразие Штейна (вложенное в C ⁿ ) или гладкое проективное алгебраическое многообразие (вложенное в CP ⁿ ) является кэлеровым. Это большой класс примеров.
6. Открытый единичный шар B в C ⁿ имеет полную кэлерову метрику, называемую метрикой Бергмана , с голоморфной секционной кривизной, равной −1. Естественное обобщение шара обеспечивается эрмитовыми симметрическими пространствами некомпактного типа, такими как верхнее полупространство Зигеля . Каждое эрмитово симметрическое пространство X некомпактного типа изоморфно ограниченной области в некотором C ⁿ , а метрика Бергмана пространства X является полной кэлеровой метрикой с секционной кривизной ≤ 0.
7. Каждая поверхность K3 является кэлеровой (по Сиу). ^[17]

Смотрите также

• Почти комплексное многообразие
• Гиперкэлерово многообразие
• Кватернионно-кэлерово многообразие
• функционал К-энергии

Примечания

1. Каннас да Силва (2001), Определение 16.1.
2. Чжэн (2000), Предложение 7.14.
3. Кобаяши и Номидзу (1996), т. 2, с. 149.
4. Морояну (2007), Предложение 8.8.
5. Чжэн (2000), раздел 7.4.
6. Хайбрехтс (2005), раздел 3.1.
7. Хайбрехтс (2005), Предложение 3.1.12.
8. Хайбрехтс (2005), Следствие 3.2.12.
9. Хайбрехтс (2005), разделы 3.3 и 5.2,
10. Хайбрехтс (2005), Предложение 3.A.28.
11. Аморос и др. (1996)
12. Аморос и др. (1996), Следствие 1.66.
13. Уэллс (2007) стр.217 Определение 1.1
14. Кодайра (1954)
15. Анджела Д. и Томассини А., 2013. О -лемме и когомологиях Ботта-Черна. Inventiones Mathematicae , 192 (1), стр. 71-81. ${\displaystyle \partial {\overline {\partial }}}$
16. Вуазен (2004)
17. Барт и др. (2004), раздел IV.3.
18. Бухдаль (1999)
19. Ламари (1999)
20. Чжэн (2000), Следствие 9.8.
21. Чжэн (2000), Лемма 9.14.
22. Кобаяши и Номидзу (1996), т. 2, Предложение IX.9.2.
23. Ян и Чжэн (2018)
24. Ли и улицы (2021)

Ссылки

• Аморос, Жауме; Бургер, Марк; Корлетт, Кевин; Котчик, Дитер; Толедо, Доминго (1996), Фундаментальные группы компактных кэлеровых многообразий, Математические обзоры и монографии, т. 44, Американское математическое общество , doi :10.1090/surv/044, ISBN 978-0-8218-0498-8, МР  1379330
• Барт, Вольф П .; Хулек, Клаус ; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004) [1984], Компактные комплексные поверхности , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге / Серия современных обзоров по математике, вып. 4, Спрингер , номер документа : 10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN. 978-3-540-00832-3, МР  2030225
• Бухдал, Николас (1999). «О компактных кэлеровых поверхностях». Анналы Института Фурье . 49 (1): 287–302. дои : 10.5802/aif.1674 . МР  1688136. Збл  0926.32025.
• Каннас да Силва, Ана (2001), Лекции по симплектической геометрии , Lecture Notes in Mathematics, т. 1764, Springer , doi :10.1007/978-3-540-45330-7, ISBN 978-3540421955, г-н  1853077
• Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (1994) [1978]. Принципы алгебраической геометрии . John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-05059-9. МР  0507725.
• Келер, Эрих (1933), «Ùber eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik», Abh. Математика. Сем. унив. Гамбург , 9 : 173–186, номер документа : 10.1007/BF02940642, JFM  58.0780.02, S2CID  122246578
• Хайбрехтс, Дэниел (2005), Сложная геометрия: введение , Springer , ISBN 978-3-540-21290-4, МР  2093043
• Кобаяши, Сошичи ; Номидзу, Кацуми (1996) [1969], Основы дифференциальной геометрии , том. 2, Джон Уайли и сыновья , ISBN 978-0-471-15732-8, г-н  1393941
• Кодаира, К. (1954). «О кэлеровых многообразиях ограниченного типа (внутренняя характеристика алгебраических многообразий)». Annals of Mathematics . 60 (1): 28–48. doi :10.2307/1969701. JSTOR  1969701.
• Ламари, Асен (1999). «Courants kähliriens et Surfaces Compactes». Анналы Института Фурье . 49 (1): 263–285. дои : 10.5802/aif.1673 . МР  1688140. Збл  0926.32026.
• Ли, Ман-Чун; Стритс, Джеффри (2021). «Комплексные многообразия с оператором отрицательной кривизны». Международные уведомления по математическим исследованиям . 2021 (24): 18520–18528. arXiv : 1903.12645 . doi : 10.1093/imrn/rnz331. S2CID  88524040.
• Морояну, Андрей (2007), Лекции по геометрии Кэхлера , Студенческие тексты Лондонского математического общества, т. 69, Cambridge University Press , arXiv : math/0402223 , doi :10.1017/CBO9780511618666, ISBN 978-0-521-68897-0, МР  2325093
• Voisin, Claire (2004), «О гомотопических типах компактных кэлеровых и комплексных проективных многообразий», Inventiones Mathematicae , 157 (2): 329–343, arXiv : math/0312032 , Bibcode : 2004InMat.157..329V, doi : 10.1007/s00222-003-0352-1, MR  2076925, S2CID  11984149
• Ян, Сяокуй; Чжэн, Фанъян (2018). «О реальной бисекционной кривизне для эрмитовых многообразий». Труды Американского математического общества . 371 (4): 2703–2718. arXiv : 1610.07165 . doi : 10.1090/tran/7445. S2CID  119669591.
• Уэллс, Рэймонд О. (2007). Дифференциальный анализ комплексных многообразий. Springer. ISBN 9780387738925.
• Чжэн, Фаньян (2000), Комплексная дифференциальная геометрия , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2163-3, г-н  1777835

Внешние ссылки

• «Кэлерово многообразие», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Морояну, Андрей (2004), Лекции по кэлеровой геометрии (PDF)