Нильпотентный

Элемент в кольце, некоторая мощность которого равна 0

В математике элемент кольца называется нильпотентным , если существует некоторое положительное целое число , называемое индексом (или иногда степенью ), такое, что . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x^{n}=0}$

Термин, наряду с родственным ему термином идемпотент , был введен Бенджамином Пирсом в контексте его работы по классификации алгебр. ^[1]

Примеры

• Это определение можно применить, в частности, к квадратным матрицам . Матрица

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

нильпотентна, потому что . Подробнее см. нильпотентную матрицу . ${\displaystyle A^{3}=0}$

• В фактор-кольце класс эквивалентности 3 нильпотентен, поскольку 3 ^{· 2} сравнимо с 0 по модулю 9. ${\displaystyle \mathbb {Z} /9\mathbb {Z} }$
• Предположим, что два элемента и в кольце удовлетворяют . Тогда элемент нильпотентен как Пример с матрицами (для a ,  b ): Здесь и . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle ab=0}$ ${\displaystyle c=ba}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=(ba)^{2}\\&=b(ab)a\\&=0.\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle AB=0}$ ${\displaystyle BA=B}$

• По определению любой элемент нильполугруппы нильпотентен .

Характеристики

Ни один нильпотентный элемент не может быть единицей (за исключением тривиального кольца , которое имеет только один элемент 0 = 1 ). Все нильпотентные элементы являются делителями нуля .

Матрица с элементами из поля нильпотентна тогда и только тогда, когда ее характеристический многочлен равен . ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t^{n}}$

Если нильпотентно, то является единицей , поскольку влечет за собой ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1-x}$ ${\displaystyle x^{n}=0}$ $${\displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.}$$

В более общем смысле сумма единичного элемента и нильпотентного элемента равна единице, если они коммутируют.

Коммутативные кольца

Нильпотентные элементы из коммутативного кольца образуют идеал ; это следствие биномиальной теоремы . Этот идеал является нильрадикалом кольца. Каждый нильпотентный элемент в коммутативном кольце содержится в каждом простом идеале этого кольца, так как . Поэтому содержится в пересечении всех простых идеалов. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$

Если не нильпотентно, мы можем локализовать относительно степеней : чтобы получить ненулевое кольцо . Простые идеалы локализованного кольца в точности соответствуют тем простым идеалам с . ^[2] Поскольку каждое ненулевое коммутативное кольцо имеет максимальный идеал, который является простым, каждое ненильпотентное не содержится в некотором простом идеале. Таким образом, это в точности пересечение всех простых идеалов. ^[3] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S=\{1,x,x^{2},...\}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$

Характеристика, аналогичная характеристике радикала Джекобсона и аннулирования простых модулей, доступна для нильрадикала: нильпотентные элементы кольца — это как раз те, которые аннулируют все внутренние по отношению к кольцу области целостности (то есть имеющие вид для простых идеалов ). Это следует из того факта, что нильрадикал является пересечением всех простых идеалов. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$

Нильпотентные элементы в алгебре Ли

Пусть будет алгеброй Ли . Тогда элемент называется нильпотентным, если он входит в и является нильпотентным преобразованием. См. также: Разложение Жордана в алгебре Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} x}$

Нильпотентность в физике

Любой оператор лестницы в конечномерном пространстве нильпотентен. Они представляют операторы создания и уничтожения , которые преобразуются из одного состояния в другое, например, повышающие и понижающие матрицы Паули . ${\displaystyle \sigma _{\pm }=(\sigma _{x}\pm i\sigma _{y})/2}$

Операнд , удовлетворяющий , нильпотентен. Числа Грассмана , которые допускают представление интеграла по траектории для фермионных полей, нильпотентны, поскольку их квадраты обращаются в нуль. BRST-заряд — важный пример в физике . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q^{2}=0}$

Поскольку линейные операторы образуют ассоциативную алгебру и, следовательно, кольцо, это частный случай исходного определения. ^{[4] [5]} В более общем смысле, ввиду приведенных выше определений, оператор нильпотентен, если существует такое, что ( нулевая функция ). Таким образом, линейное отображение нильпотентно тогда и только тогда, когда оно имеет нильпотентную матрицу в некотором базисе. Другим примером этого является внешняя производная (снова с ). Оба связаны, также через суперсимметрию и теорию Морса , ^[6], как показано Эдвардом Виттеном в его знаменитой статье. ^[7] ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle Q^{n}=0}$ ${\displaystyle n=2}$

Электромагнитное поле плоской волны без источников нильпотентно, если оно выражено в терминах алгебры физического пространства . ^[8] В более общем смысле, метод микроаддитивности (который может применяться для вывода теорем в физике) использует нильпотентные или нильквадратичные бесконечно малые величины и является частью гладкого анализа бесконечно малых величин .

Алгебраические нильпотенты

Двумерные дуальные числа содержат нильпотентное пространство. Другие алгебры и числа, содержащие нильпотентные пространства, включают расщепленные кватернионы (кокватернионы), расщепленные октонионы , бикватернионы и комплексные октонионы . Если нильпотентная бесконечно малая величина является переменной, стремящейся к нулю, можно показать, что любая сумма членов, для которых она является субъектом, является бесконечно малой долей члена первого порядка. ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {O} }$

Смотрите также

• Идемпотентный элемент (теория колец)
• Унипотентный
• Уменьшенное кольцо
• Ноль идеала
• Нильпотентная матрица

Ссылки

1. Полчино Милис и Сехгал (2002), Введение в групповые кольца . стр. 127.
2. Мацумура, Хидеюки (1970). «Глава 1: Элементарные результаты». Коммутативная алгебра . В. А. Бенджамин. п. 6. ISBN 978-0-805-37025-6.
3. Атья, МФ; Макдональд, И.Г. (21 февраля 1994 г.). "Глава 1: Кольца и идеалы". Введение в коммутативную алгебру . Westview Press. стр. 5. ISBN 978-0-201-40751-8.
4. Пирс, Б. Линейная ассоциативная алгебра . 1870.
5. Polcino Milies, César; Sehgal, Sudarshan K. Введение в групповые кольца . Алгебры и приложения, том 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0 
6. А. Роджерс, Топологическая частица и теория Морса , Класс. Квантовая гравитация. 17:3703–3714, 2000 doi :10.1088/0264-9381/17/18/309.
7. E Witten, Суперсимметрия и теория Морса . J.Diff.Geom.17:661–692,1982.
8. Роулендс, П. От нуля до бесконечности: основы физики , Лондон, World Scientific 2007, ISBN 978-981-270-914-1