Нормальный комплект

В дифференциальной геометрии , области математики , нормальное расслоение — это особый вид векторного расслоения , дополнительного к касательному расслоению и полученного в результате вложения (или погружения ).

Определение

риманово многообразие

Пусть будет римановым многообразием , и римановым подмногообразием . Определим для заданного вектор , который будет нормален к всякий раз, когда для всех (так что ортогонален к ). Множество всех таких тогда называется нормальным пространством к при . ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle S\subset M}$ ${\displaystyle p\in S}$ ${\displaystyle n\in \mathrm {T} _{p}M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g(n,v)=0}$ ${\displaystyle v\in \mathrm {T} _{p}S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {T} _{p}S}$ ${\displaystyle \mathrm {N} _{p}S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p}$

Так же, как полное пространство касательного расслоения к многообразию строится из всех касательных пространств к многообразию, полное пространство нормального расслоения ^[1] к определяется как ${\displaystyle \mathrm {N} S}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \mathrm {N} S:=\coprod _{p\in S}\mathrm {N} _{p}S}$.

Конормальное расслоение определяется как двойственное расслоение к нормальному расслоению. Оно может быть естественным образом реализовано как подрасслоение кокасательного расслоения .

Общее определение

Более абстрактно, учитывая погружение (например, вложение), можно определить нормальное расслоение N в M , в каждой точке N взяв факторпространство касательного пространства на M по касательному пространству на N. Для риманова многообразия можно отождествить это факторпространство с ортогональным дополнением, но в общем случае это невозможно (такой выбор эквивалентен сечению проекции ) . ${\displaystyle i:N\to M}$ ${\displaystyle V\to V/W}$

Таким образом, нормальное расслоение в общем случае является фактором касательного расслоения объемлющего пространства, ограниченного подпространством.

Формально нормальное расслоение ^[2] к N в M является фактор-расслоением касательного расслоения на M : имеется короткая точная последовательность векторных расслоений на N :

${\displaystyle 0\to TN\to TM\vert _{i(N)}\to T_{M/N}:=TM\vert _{i(N)}/TN\to 0}$

где — ограничение касательного расслоения на M на N (точнее, обратный прообраз касательного расслоения на M в векторное расслоение на N посредством отображения ). Слой нормального расслоения в называется нормальным пространством в ( в ). ${\displaystyle TM\vert _{i(N)}}$ ${\displaystyle i^{*}TM}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle T_{M/N}{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}N}$ ${\displaystyle p\in N}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$

Конормальный пучок

Если является гладким подмногообразием многообразия , мы можем выбрать локальные координаты вокруг так, что локально определяется как ; тогда при таком выборе координат ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle p\in Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x_{k+1}=\dots =x_{n}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{p}X&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\T_{p}Y&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\{T_{X/Y}}_{p}&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{k+1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\\end{aligned}}}$

и идеальный пучок локально порождается . Поэтому мы можем определить невырожденное спаривание ${\displaystyle x_{k+1},\dots ,x_{n}}$

${\displaystyle (I_{Y}/I_{Y}^{2})_{p}\times {T_{X/Y}}_{p}\longrightarrow \mathbb {R} }$

что индуцирует изоморфизм пучков . Мы можем перефразировать этот факт, введя конормальное расслоение, определяемое через конормальную точную последовательность ${\displaystyle T_{X/Y}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{2})^{\vee }}$ ${\displaystyle T_{X/Y}^{*}}$

${\displaystyle 0\to T_{X/Y}^{*}\rightarrowtail \Omega _{X}^{1}|_{Y}\twoheadrightarrow \Omega _{Y}^{1}\to 0}$,

тогда , а именно, сечения конормального расслоения являются кокасательными векторами к , исчезающими на . ${\displaystyle T_{X/Y}^{*}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{2})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle TY}$

Когда — точка, то идеальный пучок — это пучок гладких ростков, исчезающих в точке , и изоморфизм сводится к определению касательного пространства через ростки гладких функций на ${\displaystyle Y=\lbrace p\rbrace }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle T_{X/\lbrace p\rbrace }^{*}\simeq (T_{p}X)^{\vee }\simeq {\frac {{\mathfrak {m}}_{p}}{{\mathfrak {m}}_{p}^{2}}}}$.

Стабильный нормальный комплект

Абстрактные многообразия имеют каноническое касательное расслоение, но не имеют нормального расслоения: только вложение (или погружение) многообразия в другое дает нормальное расслоение. Однако, поскольку каждое многообразие может быть вложено в , по теореме Уитни о вложении , каждое многообразие допускает нормальное расслоение при таком вложении. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$

В общем случае нет естественного выбора вложения, но для заданного M любые два вложения в для достаточно большого N являются регулярными гомотопными и, следовательно, индуцируют одно и то же нормальное расслоение. Результирующий класс нормальных расслоений (это класс расслоений, а не конкретное расслоение, поскольку N может меняться) называется стабильным нормальным расслоением . ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$

Двойственное касательное расслоение

Нормальное расслоение двойственно касательному расслоению в смысле К-теории : согласно приведенной выше короткой точной последовательности,

${\displaystyle [TN]+[T_{M/N}]=[TM]}$

в группе Гротендика . В случае погружения в касательное расслоение объемлющего пространства тривиально (так как стягиваемо, следовательно, параллелизуемо ), поэтому , и, таким образом , . ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$ ${\displaystyle [TN]+[T_{M/N}]=0}$ ${\displaystyle [T_{M/N}]=-[TN]}$

Это полезно при вычислении характеристических классов и позволяет доказать нижние границы погружаемости и вложимости многообразий в евклидово пространство .

Для симплектических многообразий

Предположим, что многообразие вложено в симплектическое многообразие , так что обратный образ симплектической формы имеет постоянный ранг на . Тогда можно определить симплектическое нормальное расслоение к X как векторное расслоение над X со слоями ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle (T_{i(x)}X)^{\omega }/(T_{i(x)}X\cap (T_{i(x)}X)^{\omega }),\quad x\in X,}$

где обозначает вложение. Обратите внимание, что условие постоянного ранга гарантирует, что эти нормальные пространства подходят друг другу, образуя расслоение. Более того, любое волокно наследует структуру симплектического векторного пространства. ^[3] ${\displaystyle i:X\rightarrow M}$

По теореме Дарбу вложение постоянного ранга локально определяется . Изоморфизм ${\displaystyle i^{*}(TM)}$

${\displaystyle i^{*}(TM)\cong TX/\nu \oplus (TX)^{\omega }/\nu \oplus (\nu \oplus \nu ^{*}),\quad \nu =TX\cap (TX)^{\omega },}$

симплектических векторных расслоений над подразумевает, что симплектическое нормальное расслоение уже определяет вложение постоянного ранга локально. Эта особенность аналогична риманову случаю. ${\displaystyle X}$

Ссылки

1. Джон М. Ли, Римановы многообразия, введение в кривизну , (1997) Springer-Verlag Нью-Йорк, Graduate Texts in Mathematics 176 ISBN  978-0-387-98271-7
2. Таммо Том Дик , Алгебраическая топология , (2010) EMS Учебники по математике ISBN 978-3-03719-048-7 
3. Ральф Абрахам и Джерролд Э. Марсден , Основы механики , (1978) Benjamin-Cummings, Лондон ISBN 0-8053-0102-X