Нормальный (геометрия)

Линия или вектор, перпендикулярный кривой или поверхности

Многоугольник и два его нормальных вектора

Нормаль к поверхности в точке совпадает с нормалью к касательной плоскости к поверхности в той же точке.

В геометрии нормаль — это объект (например, линия , луч или вектор ), перпендикулярный данному объекту. Например, нормаль к плоской кривой в данной точке — это линия, перпендикулярная касательной к кривой в этой точке.

Нормальный вектор длины один называется единичным нормальным вектором . Вектор кривизны — это нормальный вектор, длина которого равна кривизне объекта. Умножение нормального вектора на−1 дает противоположный вектор , который можно использовать для указания сторон (например, внутренней или внешней).

В трехмерном пространстве нормалью поверхности , или просто нормалью , к поверхности в точке P называется вектор, перпендикулярный касательной плоскости поверхности в точке P. Слово нормаль также используется как прилагательное: линия, нормальная к плоскости , нормальная составляющая силы , нормальный вектор и т. д. Понятие нормальности обобщается до ортогональности ( прямые углы ).

Эта концепция была обобщена на дифференцируемые многообразия произвольной размерности, вложенные в евклидово пространство . Нормальное векторное пространство или нормальное пространство многообразия в точке — это множество векторов, ортогональных касательному пространству в Нормальные векторы представляют особый интерес в случае гладких кривых и гладких поверхностей . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P.}$

Нормаль часто используется в трехмерной компьютерной графике (обратите внимание на единственное число, поскольку будет определена только одна нормаль) для определения ориентации поверхности по отношению к источнику света для плоского затенения или ориентации каждого из углов ( вершин ) поверхности для имитации искривленной поверхности с помощью затенения по Фонгу .

Основание нормали в интересующей точке Q (аналогично основанию перпендикуляра ) можно определить в точке P на поверхности, где вектор нормали содержит Q. Нормальное расстояние точки Q до кривой или поверхности — это евклидово расстояние между Q и ее основанием P.

Нормальные кривые пространства

Нормальное направление (красный) к кривой (черный).

Нормальное направление к пространственной кривой :

${\displaystyle \mathbf {N} =R{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}}$

где - радиус кривизны (обратная кривизна ); - касательный вектор , в терминах положения кривой и длины дуги : ${\displaystyle R=\kappa ^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle \mathbf {T} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}}$

Нормаль к плоскостям и полигонам

Уравнение плоскости в нормальной форме

Для выпуклого многоугольника (например, треугольника ) нормаль поверхности можно вычислить как векторное векторное произведение двух (непараллельных) ребер многоугольника.

Для плоскости, заданной уравнением плоскости общего вида, вектор является нормалью. ${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$

Для плоскости, уравнение которой задано в параметрической форме, где — точка на плоскости, а — непараллельные векторы, направленные вдоль плоскости, нормаль к плоскости — это вектор, нормальный к обеим точкам , который можно найти как векторное произведение $${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=\mathbf {r} _{0}+s\mathbf {p} +t\mathbf {q} ,}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} .}$

Нормаль к общим поверхностям в трехмерном пространстве

Изогнутая поверхность, показывающая единичные нормальные векторы (синие стрелки) к поверхности

Если (возможно, неплоская) поверхность в трехмерном пространстве параметризована системой криволинейных координат с и действительными переменными , то нормаль к S по определению является нормалью к касательной плоскости, заданной векторным произведением частных производных ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)),}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}.}$$

Если поверхность задана неявно как множество точек, удовлетворяющих , то нормаль в точке на поверхности задается градиентом, поскольку градиент в любой точке перпендикулярен множеству уровней ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle F(x,y,z)=0,}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ $${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z).}$$ ${\displaystyle S.}$

Для поверхности в заданной как график функции нормаль, направленную вверх, можно найти либо из параметризации, дающей , либо, что проще, из ее неявной формы, дающей Поскольку поверхность не имеет касательной плоскости в особой точке , она не имеет четко определенной нормали в этой точке: например, вершина конуса . В общем случае можно определить нормаль почти всюду для поверхности, которая является непрерывной по Липшицу . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle z=f(x,y),}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)),}$ $${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}=\left(1,0,{\tfrac {\partial f}{\partial x}}\right)\times \left(0,1,{\tfrac {\partial f}{\partial y}}\right)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right);}$$ ${\displaystyle F(x,y,z)=z-f(x,y)=0,}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right).}$

Ориентация

Вектор поля нормалей к поверхности

Нормаль к (гипер)поверхности обычно масштабируется так, чтобы иметь единичную длину , но она не имеет уникального направления, поскольку ее противоположность также является единичной нормалью. Для поверхности, которая является топологической границей множества в трех измерениях, можно различать две нормальные ориентации : нормаль, направленную внутрь, и нормаль, направленную наружу . Для ориентированной поверхности нормаль обычно определяется правилом правой руки или его аналогом в более высоких измерениях.

Если нормаль построена как векторное произведение касательных векторов (как описано в тексте выше), то это псевдовектор .

Преобразование нормалей

При применении преобразования к поверхности часто бывает полезно вывести нормали для результирующей поверхности из исходных нормалей.

В частности, имея матрицу преобразования 3×3, мы можем определить матрицу , которая преобразует вектор , перпендикулярный касательной плоскости , в вектор, перпендикулярный преобразованной касательной плоскости, с помощью следующей логики: ${\displaystyle \mathbf {M} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {W} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} ^{\prime }}$ ${\displaystyle \mathbf {Mt} ,}$

Запишите n′ как Мы должны найти ${\displaystyle \mathbf {Wn} .}$ ${\displaystyle \mathbf {W} .}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}W\mathbb {n} {\text{ is perpendicular to }}M\mathbb {t} \quad \,&{\text{ if and only if }}\quad 0=(W\mathbb {n} )\cdot (M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=(W\mathbb {n} )^{\mathrm {T} }(M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=\left(\mathbb {n} ^{\mathrm {T} }W^{\mathrm {T} }\right)(M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=\mathbb {n} ^{\mathrm {T} }\left(W^{\mathrm {T} }M\right)\mathbb {t} \\\end{alignedat}}}$$

Выбирая такой, что или будет удовлетворять приведенному выше уравнению, давая перпендикуляр к или перпендикуляр к в зависимости от того, что требуется. ${\displaystyle \mathbf {W} }$ ${\displaystyle W^{\mathrm {T} }M=I,}$ ${\displaystyle W=(M^{-1})^{\mathrm {T} },}$ ${\displaystyle W\mathbb {n} }$ ${\displaystyle M\mathbb {t} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {n} ^{\prime }}$ ${\displaystyle \mathbf {t} ^{\prime },}$

Поэтому при преобразовании нормалей поверхности следует использовать обратное транспонирование линейного преобразования. Обратное транспонирование равно исходной матрице, если матрица ортонормальная, то есть чисто вращательная без масштабирования или сдвига.

Гиперповерхности вн-мерное пространство

Для -мерной гиперплоскости в -мерном пространстве , заданной ее параметрическим представлением, где — точка на гиперплоскости, а для — линейно независимые векторы, направленные вдоль гиперплоскости, нормалью к гиперплоскости является любой вектор в нулевом пространстве матрицы, означающей То есть любой вектор, ортогональный всем векторам в плоскости, по определению является нормалью поверхности. В качестве альтернативы, если гиперплоскость определяется как множество решений одного линейного уравнения, то вектор является нормалью. ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \mathbf {r} \left(t_{1},\ldots ,t_{n-1}\right)=\mathbf {p} _{0}+t_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +t_{n-1}\mathbf {p} _{n-1},}$$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle P={\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{1}&\cdots &\mathbf {p} _{n-1}\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle P\mathbf {n} =\mathbf {0} .}$ ${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=c,}$ ${\displaystyle \mathbb {n} =\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$

Определение нормали к поверхности в трехмерном пространстве может быть расширено до -мерных гиперповерхностей в Гиперповерхность может быть локально определена неявно как множество точек, удовлетворяющих уравнению, где - заданная скалярная функция . Если непрерывно дифференцируема , то гиперповерхность является дифференцируемым многообразием в окрестности точек, где градиент не равен нулю. В этих точках нормальный вектор задается градиентом: ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle \mathbb {n} =\nabla F\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=\left({\tfrac {\partial F}{\partial x_{1}}},{\tfrac {\partial F}{\partial x_{2}}},\ldots ,{\tfrac {\partial F}{\partial x_{n}}}\right)\,.}$$

Нормальная линия — это одномерное подпространство с базисом ${\displaystyle \{\mathbf {n} \}.}$

Многообразия, определяемые неявными уравнениями вн-мерное пространство

Дифференциальное многообразие, определяемое неявными уравнениями в -мерном пространстве , представляет собой множество общих нулей конечного набора дифференцируемых функций от переменных. Матрица Якоби многообразия представляет собой матрицу, -я строка которой является градиентом По теореме о неявной функции многообразие является многообразием в окрестности точки, где матрица Якоби имеет ранг. В такой точке нормальное векторное пространство представляет собой векторное пространство, порожденное значениями в векторов градиента ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle f_{1}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\ldots ,f_{k}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right).}$$ ${\displaystyle k\times n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f_{i}.}$ ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f_{i}.}$

Другими словами, многообразие определяется как пересечение гиперповерхностей, а нормальное векторное пространство в точке — это векторное пространство, порожденное нормальными векторами гиперповерхностей в этой точке. ${\displaystyle k}$

Нормальное (аффинное) пространство в точке многообразия — это аффинное подпространство, проходящее через нормальное векторное пространство в точке и порождаемое им. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P.}$

Эти определения можно дословно распространить на те моменты, где многообразие не является многообразием.

Пример

Пусть V — многообразие, определяемое в трехмерном пространстве уравнениями Это многообразие является объединением -оси и -оси. $${\displaystyle x\,y=0,\quad z=0.}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

В точке , где строки матрицы Якоби и Таким образом, нормальное аффинное пространство является плоскостью уравнения Аналогично, если нормальная плоскость в является плоскостью уравнения ${\displaystyle (a,0,0),}$ ${\displaystyle a\neq 0,}$ ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle (0,a,0).}$ ${\displaystyle x=a.}$ ${\displaystyle b\neq 0,}$ ${\displaystyle (0,b,0)}$ ${\displaystyle y=b.}$

В точке строки матрицы Якоби равны и Таким образом, нормальное векторное пространство и нормальное аффинное пространство имеют размерность 1, а нормальное аффинное пространство является осью -. ${\displaystyle (0,0,0)}$ ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle (0,0,0).}$ ${\displaystyle z}$

Использует

• Поверхностные нормали полезны при определении поверхностных интегралов векторных полей .
• Нормали поверхности обычно используются в трехмерной компьютерной графике для расчетов освещения (см. закон косинуса Ламберта ), часто корректируемые с помощью отображения нормалей .
• Слои рендеринга, содержащие информацию о нормалях поверхности, могут использоваться в цифровом композитинге для изменения видимого освещения визуализируемых элементов. ^{[ необходима ссылка ]}
• В компьютерном зрении формы трехмерных объектов оцениваются по нормалям поверхности с использованием фотометрического стерео . ^[1]
• Вектор нормали может быть получен как градиент функции расстояния со знаком .

Нормальный в геометрической оптике

Диаграмма зеркального отражения

TheНормальный луч — это направленный наружу луч,перпендикулярныйповерхности оптическойсредыв данной точке.^[2]Приотражении светауголпаденияиугол отражения— это соответственно угол между нормалью ипадающим лучом(вплоскости падения) и угол между нормалью иотраженным лучом.

Смотрите также

• Дуальное пространство  – в математике векторное пространство линейных форм.
• Вектор нормали эллипсоида
• Нормальное расслоение  – векторное расслоение, дополнительное к касательному расслоению, связанное с вложениемPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Псевдовектор  – физическая величина, которая меняет знак при неправильном вращении.
• Тангенциальные и нормальные компоненты
• Нормаль вершины  – направленный вектор, связанный с вершиной, предназначенный для замены истинной геометрической нормали поверхности.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Ссылки

1. Ин Ву. «Радиометрия, BRDF и фотометрическое стерео» (PDF) . Северо-Западный университет.
2. "Закон отражения". Учебник по физике . Архивировано из оригинала 27 апреля 2009 г. Получено 31 марта 2008 г.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Нормальный вектор». MathWorld .
• Объяснение нормальных векторов из MSDN Microsoft
• Понятный псевдокод для расчета нормали к поверхности из треугольника или многоугольника.