Комплексное аналитическое разнообразие

Обобщение комплексного многообразия, позволяющее использовать особенности

В математике , и в частности в дифференциальной геометрии и комплексной геометрии , комплексное аналитическое многообразие ^{[примечание 1]} или комплексное аналитическое пространство является обобщением комплексного многообразия , которое допускает наличие особенностей . Комплексные аналитические многообразия являются локально окольцованными пространствами , которые локально изоморфны локальным модельным пространствам, где локальное модельное пространство является открытым подмножеством исчезающего множества конечного набора голоморфных функций .

Определение

Обозначим постоянный пучок на топологическом пространстве со значением через . -Пространство - это локально окольцованное пространство , структурный пучок которого является алгеброй над . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\underline {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbb {C} }}}$

Выберем открытое подмножество некоторого комплексного аффинного пространства и зафиксируем конечное число голоморфных функций в . Пусть будет общим исчезающим множеством этих голоморфных функций, то есть . Определим пучок колец на , положив ограничение на , где — пучок голоморфных функций на . Тогда локально окольцованное -пространство является локальным модельным пространством . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X=V(f_{1},\dots ,f_{k})}$ ${\displaystyle X=\{x\mid f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}/(f_{1},\ldots ,f_{k})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Комплексное аналитическое многообразие — это локально окольцованное -пространство , локально изоморфное локальному модельному пространству. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Морфизмы комплексных аналитических многообразий определяются как морфизмы базовых локально окольцованных пространств, их также называют голоморфными отображениями. Структурный пучок может иметь нильпотентный элемент, ^[1] а также, когда комплексное аналитическое пространство, структурный пучок которого редуцируется, то комплексное аналитическое пространство редуцируется, то есть комплексное аналитическое пространство может не редуцироваться.

Ассоциированное комплексное аналитическое пространство (многообразие) таково, что; ^[1] ${\displaystyle X_{h}}$

Пусть X — схемы конечного типа над , и покрывают X открытым аффинным подмножеством ( ) ( Спектр кольца ). Тогда каждая из них является алгеброй конечного типа над , и . Где — полиномиальные по , которые можно рассматривать как голоморфную функцию на . Следовательно, их общий нуль множества — это комплексное аналитическое подпространство . Здесь схема X получена путем склеивания данных множества , а затем те же данные можно использовать для склеивания комплексного аналитического пространства в комплексное аналитическое пространство , поэтому мы называем ассоциированное комплексное аналитическое пространство с X. Комплексное аналитическое пространство X приведено тогда и только тогда, когда ассоциированное комплексное аналитическое пространство приведено. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Y_{i}=\operatorname {Spec} A_{i}}$ ${\displaystyle X=\cup Y_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle A_{i}\simeq \mathbb {C} [z_{1},\dots ,z_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})}$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}}$ ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (Y_{i})_{h}\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle (Y_{i})_{h}}$ ${\displaystyle X_{h}}$ ${\displaystyle X_{h}}$ ${\displaystyle X_{h}}$

Смотрите также

• Алгебраическое многообразие . Грубо говоря, (комплексное) аналитическое многообразие — это нулевое множество множества (комплексной) аналитической функции, в то время как алгебраическое многообразие — это нулевое множество множества полиномиальной функции, допускающее особую точку.
• Аналитическое пространство
• Комплексное алгебраическое многообразие
• ГАГА
• Жесткое аналитическое пространство

Примечание

1. Hartshorne 1977, стр. 439.
2. Гротендик и Рейно (2002) (SGA 1 §XII. Предложение 2.1.)

Аннотация

1. Иногда требуется, чтобы комплексное аналитическое многообразие (или просто многообразие) было неприводимым и (или) приводимым

Ссылки

• Арока, Хосе Мануэль; Хиронака, Хейсуке; Висенте, Хосе Луис (3 ноября 2018 г.). Комплексная аналитическая десингуляризация. дои : 10.1007/978-4-431-49822-3. ISBN 978-4-431-49822-3.
• Блум, Томас; Эррера, Мигель (1969). «Когомологии Де Рама аналитического пространства». Математические изобретения . 7 (4): 275–296. Бибкод : 1969InMat...7..275B. дои : 10.1007/BF01425536. S2CID  122113902.
• Картан, Х .; Брюа, Ф.; Серф, Жан; Дольбо, П.; Френкель, Жан; Эрве, Мишель; Малатян.; Серр, Дж.П. «Семинар Анри Картана, Том 4 (1951–1952)».(№ 10-13)
• Фишер, Г. (14 ноября 2006 г.). Комплексная аналитическая геометрия. Springer. ISBN 978-3-540-38121-1.
• Ганнинг, Роберт Клиффорд; Росси, Хьюго (2009). "Глава III. Разнообразие (Раздел B. Аналитическая обложка)". Аналитические функции нескольких комплексных переменных . Американское математическое общество. ISBN 9780821821657.
• Ганнинг, Роберт Клиффорд; Росси, Хьюго (2009). "Глава V. Аналитическое пространство". Аналитические функции нескольких комплексных переменных . Американское математическое общество. ISBN 9780821821657.
• Грауэрт, Ганс; Реммерт, Рейнхольд (1958). «Комплекс Ряуме». Математические Аннален . 136 (3): 245–318. дои : 10.1007/BF01362011. S2CID  121348794.
• Грауэрт, Х.; Реммерт, Р. (6 декабря 2012 г.). Когерентные аналитические пучки. Springer. ISBN 978-3-642-69582-7.
• Grauert, H.; Peternell, Thomas; Remmert, R. (9 марта 2013 г.). Несколько комплексных переменных VII: методы теории пучков в комплексном анализе . Springer. ISBN 978-3-662-09873-8.
• Гротендик, Александр ; Рейно, Мишель (2002). «Revêtements étales et groupe Fondamental §XII. Алгебричная и аналитическая геометрия». Revêtements étales et groupe Fondamental (SGA 1) (на французском языке). arXiv : math/0206203 . дои : 10.1007/BFb0058656. ISBN 978-2-85629-141-2.
• Хартшорн, Робин (1970). Обильные подмногообразия алгебраических многообразий. Конспект лекций по математике. Том 156. doi :10.1007/BFb0067839. ISBN 978-3-540-05184-8.
• Hartshorne, Robin (1977). Алгебраическая геометрия. Graduate Texts in Mathematics. Том 52. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. MR  0463157. S2CID  197660097. Zbl  0367.14001.
• Гекльберри, Алан (2013). «Ганс Грауэрт (1930–2011)». Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 115 : 21–45. arXiv : 1303.6933 . дои : 10.1365/s13291-013-0061-7. S2CID  119685542.
• Реммерт, Рейнхольд (1998). «От римановых поверхностей к комплексным пространствам». Семинары и конгрессы . Збл  1044.01520.
• Серр, Жан-Пьер (1956). «Алгебрическая и аналитическая геометрия». Анналы Института Фурье . 6 : 1–42. дои : 10.5802/aif.59 . ISSN  0373-0956. МР  0082175.
• Тоньоли, А. (2 июня 2011 г.). Тоньоли, А. (ред.). Особенности аналитических пространств: лекции, прочитанные в летней школе Centro Internazionale Matematico Estivo (CIME), проходившей в Брессаноне (Больцано), Италия, 16-25 июня 1974 г. doi :10.1007/978-3-642-10944-7. ISBN 978-3-642-10944-7.
• "Глава II. Предварительные сведения". Разложение Зарисского и изобилие. Мемуары Математического общества Японии. Том 14. Математическое общество Японии. 2004. С. 13–78. doi :10.2969/msjmemoirs/01401C020. ISBN 978-4-931469-31-0.
• Флорес, Артуро Джайлс; Тейсье, Бернар (2018). «Локальные полярные многообразия в геометрическом изучении особенностей». Анналы факультета наук Тулузы: математика . 27 (4): 679–775. arXiv : 1607.07979 . дои : 10.5802/afst.1582. S2CID  119150240.

Будущее чтение

• Гекльберри, Алан (2013). «Ганс Грауэрт (1930–2011)». Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 115 : 21–45. дои : 10.1365/s13291-013-0061-7. S2CID  256084531.

Внешние ссылки

• Киран Кедлая. 18.726 Алгебраическая геометрия (LEC # 30 - 33 GAGA) Весна 2009 г. Массачусетский технологический институт: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA .
• Вкусные кусочки нескольких комплексных переменных (стр. 137) книга с открытым исходным кодом Иржи Лебла BY-NC-SA .
• Онищик, А.Л. (2001) [1994], "Аналитическое пространство", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Элькин, А.Г. (2001) [1994], «Аналитическое множество», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС