Обратное преобразование Лапласа

Математическая функция

В математике обратное преобразование Лапласа функции — это кусочно- непрерывная и экспоненциально ограниченная ^{[ требуется пояснение ]} действительная функция , обладающая свойством: ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle f(t)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)=F(s),}$

где обозначает преобразование Лапласа . ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Можно доказать, что если функция имеет обратное преобразование Лапласа , то однозначно определяется (рассматривая функции, которые отличаются друг от друга только на множестве точек, имеющих нулевую меру Лебега, как одинаковые). Этот результат был впервые доказан Матиасом Лерхом в 1903 году и известен как теорема Лерха. ^{[1] [2]} ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle f(t)}$

Преобразование Лапласа и обратное преобразование Лапласа обладают рядом свойств, которые делают их полезными для анализа линейных динамических систем .

Обратная формула Меллина

Интегральная формула для обратного преобразования Лапласа , называемая обратной формулой Меллина , интегралом Бромвича или интегралом Фурье – Меллина , задается линейным интегралом :

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds}$

где интегрирование выполняется вдоль вертикальной линии в комплексной плоскости таким образом, что больше действительной части всех особенностей и ограничено на линии, например, если контурная траектория находится в области сходимости . Если все особенности находятся в левой полуплоскости или является целой функцией , то можно приравнять к нулю, и приведенная выше формула обратного интеграла становится идентичной обратному преобразованию Фурье . ${\displaystyle Re(s)=\gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle \gamma }$

На практике вычисление комплексного интеграла можно выполнить с помощью теоремы Коши о вычетах .

Формула обращения Поста

Формула обращения Поста для преобразований Лапласа , названная в честь Эмиля Поста ^[3] , представляет собой простую на вид, но обычно непрактичную формулу для оценки обратного преобразования Лапласа.

Формулировка формулы выглядит следующим образом: Пусть — непрерывная функция на интервале экспоненциального порядка, т.е. ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle \sup _{t>0}{\frac {f(t)}{e^{bt}}}<\infty }$

для некоторого действительного числа . Тогда для всех преобразование Лапласа для существует и бесконечно дифференцируемо относительно . Кроме того, если — преобразование Лапласа для , то обратное преобразование Лапласа для задается выражением ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle s>b}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle F(s)}$

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)=\lim _{k\to \infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left({\frac {k}{t}}\right)^{k+1}F^{(k)}\left({\frac {k}{t}}\right)}$

для , где - -я производная по . ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle F^{(k)}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle s}$

Как видно из формулы, необходимость вычисления производных произвольно высоких порядков делает эту формулу непригодной для большинства целей.

С появлением мощных персональных компьютеров основные усилия по использованию этой формулы были направлены на работу с приближениями или асимптотическим анализом обратного преобразования Лапласа с использованием дифференциального интеграла Грюнвальда–Летникова для вычисления производных.

Инверсия Поста привлекла интерес благодаря прогрессу в вычислительной науке и тому факту, что нет необходимости знать, где лежат полюса , что позволяет вычислять асимптотическое поведение для больших , используя обратные преобразования Меллина для нескольких арифметических функций, связанных с гипотезой Римана . ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle x}$

Программные инструменты

• InverseLaplaceTransform выполняет символьные обратные преобразования в Mathematica
• Численное обращение преобразования Лапласа с многократной точностью с использованием комплексной области в системе Mathematica дает численные решения ^[4]
• ilaplace Архивировано 2014-09-03 в Wayback Machine выполняет символические обратные преобразования в MATLAB
• Численное обращение преобразований Лапласа в Matlab
• Численное обращение преобразований Лапласа на основе концентрированных матрично-экспоненциальных функций в Matlab

Смотрите также

• Обратное преобразование Фурье
• Формула суммирования Пуассона

Ссылки

1. Коэн, AM (2007). "Формулы обращения и практические результаты". Численные методы обращения преобразования Лапласа . Численные методы и алгоритмы. Том 5. С. 23–44. doi :10.1007/978-0-387-68855-8_2. ISBN 978-0-387-28261-9.
2. Лерх, М. (1903). «Sur un point de la theorie des génératrices d'Abel». Акта Математика . 27 : 339–351. дои : 10.1007/BF02421315 . hdl : 10338.dmlcz/501554 .
3. Пост, Эмиль Л. (1930). «Обобщенное дифференцирование». Труды Американского математического общества . 32 (4): 723–781. doi : 10.1090/S0002-9947-1930-1501560-X . ISSN  0002-9947.
4. Abate, J.; Valkó, PP (2004). "Многоточечное обращение преобразования Лапласа". Международный журнал численных методов в машиностроении . 60 (5): 979. Bibcode : 2004IJNME..60..979A. doi : 10.1002/nme.995. S2CID  119889438.

Дальнейшее чтение

• Дэвис, Б. Дж. (2002), Интегральные преобразования и их приложения (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95314-4
• Манжиров А.В.; Полянин, Андрей Д. (1998), Справочник интегральных уравнений , Лондон: CRC Press , ISBN 978-0-8493-2876-3
• Боас, Мэри (1983), Математические методы в физических науках , John Wiley & Sons , стр. 662, ISBN 0-471-04409-1(стр. 662 или найдите в индексе «Интеграл Бромвича», хорошее объяснение, показывающее связь с преобразованием Фурье)
• Виддер, Д.В. (1946), Преобразование Лапласа , Princeton University Press
• Элементарное обращение преобразования Лапласа. Брайан, Курт. Доступ 14 июня 2006 г.

Внешние ссылки

• Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: Мир математических уравнений.

В данной статье использованы материалы из обратной формулы Меллина на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .