Ортодиагональный четырехугольник

Специальный четырехугольник, диагонали которого пересекаются под прямым углом

Ортодиагональный четырехугольник (желтый). Согласно характеристике этих четырехугольников, два красных квадрата на двух противоположных сторонах четырехугольника имеют ту же общую площадь , что и два синих квадрата на другой паре противоположных сторон.

В евклидовой геометрии ортодиагональный четырёхугольник — это четырёхугольник , в котором диагонали пересекаются под прямым углом . Другими словами, это четырёхсторонняя фигура, в которой отрезки прямых между несмежными вершинами ортогональны (перпендикулярны) друг другу.

Особые случаи

Воздушный змей — это ортодиагональный четырехугольник, в котором одна диагональ является линией симметрии . Воздушные змеи — это в точности ортодиагональные четырехугольники, которые содержат окружность, касательную ко всем четырем их сторонам; то есть, воздушные змеи — это касательные ортодиагональные четырехугольники. ^[1]

Ромб — это ортодиагональный четырёхугольник с двумя парами параллельных сторон (то есть ортодиагональный четырёхугольник, который также является параллелограммом ).

Квадрат является предельным случаем как воздушного змея , так и ромба.

Ортодиагональные равнодиагональные четырехугольники , в которых диагонали по крайней мере такой же длины, как все стороны четырехугольника, имеют максимальную площадь для своего диаметра среди всех четырехугольников, решая случай n  = 4 задачи о самом большом маленьком многоугольнике . Квадрат является одним из таких четырехугольников, но есть бесконечно много других. Ортодиагональный четырехугольник, который также является равнодиагональным, является четырехугольником середины квадрата , потому что его параллелограмм Вариньона является квадратом. Его площадь может быть выражена исключительно через его стороны.

Характеристика

Для любого ортодиагонального четырехугольника сумма квадратов двух противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон: для последовательных сторон a , b , c и d имеем ^{[2] [3]}

${\displaystyle \displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}.}$

Это следует из теоремы Пифагора , по которой любая из этих двух сумм двух квадратов может быть расширена до суммы четырех квадратов расстояний от вершин четырехугольника до точки пересечения диагоналей. И наоборот , любой четырехугольник, в котором a ² + c ² = b ² + d ^2, должен быть ортодиагональным. ^[4] Это можно доказать несколькими способами, включая использование закона косинусов , векторов , косвенного доказательства и комплексных чисел . ^[5]

Диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда две бимедианы имеют одинаковую длину. ^[5]

Согласно другой характеристике, диагонали выпуклого четырехугольника ABCD перпендикулярны тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \angle PAB+\angle PBA+\angle PCD+\angle PDC=\pi }$

где P — точка пересечения диагоналей. Из этого уравнения почти сразу следует, что диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда проекции диагонального пересечения на стороны четырехугольника являются вершинами вписанного четырехугольника . ^[5]

Ортодиагональный четырехугольник ABCD (синий). Параллелограмм Вариньона (зеленый), образованный серединами сторон ABCD, является прямоугольником. Кроме того, четыре середины (серые) и четыре ножки мальтитуд (красные) являются социклическими на окружности с 8 точками .

Выпуклый четырехугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона (вершины которого являются серединами его сторон) является прямоугольником . ^[5] Связанная характеристика гласит, что выпуклый четырехугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда середины сторон и основания четырех малтид являются восемью конциклическими точками ; окружностью с восемью точками . Центр этой окружности является центроидом четырехугольника. Четырехугольник, образованный основаниями малтид, называется главным ортическим четырехугольником . ^[6]

Вторая окружность из 8 точек может быть построена из ортодиагонального четырехугольника ABCD (синего цвета). Прямые, перпендикулярные каждой стороне через пересечение диагоналей, пересекают стороны в 8 различных точках, которые все являются коциклическими.

Если нормали к сторонам выпуклого четырехугольника ABCD через диагональное пересечение пересекают противоположные стороны в R , S , T , U , и K , L , M , N являются основаниями этих нормалей, то ABCD является ортодиагональным тогда и только тогда, когда восемь точек K , L , M , N , R , S , T и U являются концентрическими; вторая окружность из восьми точек . Связанная характеристика утверждает, что выпуклый четырехугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда RSTU является прямоугольником, стороны которого параллельны диагоналям ABCD . ^[5]

Существует несколько метрических характеристик, касающихся четырех треугольников, образованных диагональным пересечением P и вершинами выпуклого четырехугольника ABCD . Обозначим через m ₁ , m ₂ , m ₃ , m ₄ медианы в треугольниках ABP , BCP , CDP , DAP из P к сторонам AB , BC , CD , DA соответственно. Если R ₁ , R ₂ , R ₃ , R ₄ и h ₁ , h ₂ , h ₃ , h ₄ обозначают радиусы описанных окружностей и высоты соответственно этих треугольников, то четырехугольник ABCD является ортодиагональным тогда и только тогда , когда выполняется любое из следующих равенств: ^[5]

• ${\displaystyle m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2}}$
• ${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2}^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}}$

Более того, четырехугольник ABCD с пересечением диагоналей в точке P является ортодиагональным тогда и только тогда, когда центры описанных окружностей треугольников ABP , BCP , CDP и DAP являются серединами сторон четырехугольника. ^[5]

Сравнение с касательным четырехугольником

Некоторые метрические характеристики тангенциальных четырехугольников и _{ортодиагональных} четырехугольников очень похожи по внешнему виду, как можно увидеть в этой таблице. ^[5] Обозначения сторон a , b , c , d , радиусов описанных окружностей R1 , R2 , _{R3 ,} R4 _и высот h1 _, h2 _, h3 , h4 такие же , как _{и выше для} обоих типов четырехугольников.

Область

Площадь K ортодиагонального четырехугольника равна половине произведения длин диагоналей p и q : ^[7]

${\displaystyle K={\frac {pq}{2}}.}$

И наоборот, любой выпуклый четырехугольник, площадь которого можно вычислить с помощью этой формулы, должен быть ортодиагональным. ^[5] Ортодиагональный четырехугольник имеет наибольшую площадь среди всех выпуклых четырехугольников с данными диагоналями.

Другие свойства

• Ортодиагональные четырехугольники — единственные четырехугольники, для которых стороны и угол, образованный диагоналями, не определяют площадь однозначно. ^[3] Например, два ромба, оба имеющие общую сторону a (и, как и для всех ромбов, оба имеющие прямой угол между диагоналями), но один из которых имеет меньший острый угол, чем другой, имеют разные площади (площадь первого стремится к нулю, когда острый угол стремится к нулю).
• Если квадраты возведены наружу на сторонах любого четырехугольника (выпуклого, вогнутого или скрещенного), то их центры ( центроиды ) являются вершинами ортодиагонального четырехугольника, который также является равнодиагональным (то есть имеет диагонали одинаковой длины). Это называется теоремой Ван Аубеля .
• Каждая сторона ортодиагонального четырехугольника имеет по крайней мере одну общую точку с окружностью точек Паскаля. ^[8]

Свойства ортодиагональных четырехугольников, которые также являются вписанными

Радиус описанной окружности и площадь

Для вписанного ортодиагонального четырехугольника (четырехугольника, который можно вписать в окружность) предположим, что пересечение диагоналей делит одну диагональ на отрезки длиной p ₁ и p ₂ , а другую диагональ — на отрезки длиной q ₁ и q _2. Тогда ^[9] (первое равенство — это предложение 11 в Книге лемм Архимеда )

${\displaystyle D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}$

где D — диаметр описанной окружности. Это справедливо, поскольку диагонали являются перпендикулярными хордами окружности . Эти уравнения дают выражение для радиуса описанной окружности

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}}$

или, в терминах сторон четырехугольника, как ^[2]

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.}$

Из этого также следует, что ^[2]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.}$

Таким образом, согласно теореме Эйлера о четырехугольнике , радиус описанной окружности можно выразить через диагонали p и q , а расстояние x между серединами диагоналей — как

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}\,.}$

Формула для площади K вписанного ортодиагонального четырехугольника через четыре стороны получается непосредственно при объединении теоремы Птолемея и формулы для площади ортодиагонального четырехугольника. Результат ^{[10] : стр.222}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).}$

Другие свойства

• Во вписанном ортодиагональном четырехугольнике антицентр совпадает с точкой пересечения диагоналей. ^[2]
• Теорема Брахмагупты утверждает, что для вписанного ортодиагонального четырехугольника перпендикуляр с любой стороны, проходящий через точку пересечения диагоналей, делит противоположную сторону пополам. ^[2]
• Если ортодиагональный четырехугольник является также вписанным, то расстояние от центра описанной окружности (центра описанной окружности) до любой стороны равно половине длины противоположной стороны. ^[2]
• В вписанном ортодиагональном четырехугольнике расстояние между серединами диагоналей равно расстоянию между центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей. ^[2]

Бесконечные множества вписанных прямоугольников

${\displaystyle ABCD}$является ортодиагональным четырехугольником и представляет собой прямоугольники, стороны которых параллельны диагоналям четырехугольника. ${\displaystyle P_{1}X_{1}Z_{1}Y_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}X_{2}Z_{2}Y_{2}}$

${\displaystyle ABCD}$— ортодиагональный четырехугольник. и — точки Паскаля, образованные окружностью , — точки Паскаля, окружность, определяющая прямоугольник . и — точки Паскаля, образованные окружностью , — точки Паскаля, окружность , определяющая прямоугольник . ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{P_{1}Q_{1}}}$ ${\displaystyle P_{1}V_{1}Q_{1}W_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{P_{2}Q_{2}}}$ ${\displaystyle P_{2}V_{2}Q_{2}W_{2}}$

Для каждого ортодиагонального четырехугольника мы можем вписать два бесконечных набора прямоугольников:

(i) набор прямоугольников, стороны которых параллельны диагоналям четырехугольника

(ii) набор прямоугольников, определяемых окружностями точек Паскаля. ^[11]

Ссылки

1. Йозефссон, Мартин (2010), «Вычисления, касающиеся длин касательных и хорд касательных касательного четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 10 : 119–130.
2. Альтшиллер-Корт, Н. (2007), College Geometry , Dover Publications. Переиздание второго издания, 1952, Barnes & Noble, стр. 136-138.
3. Mitchell, Douglas, W. (2009), «Площадь четырехугольника», The Mathematical Gazette , 93 (июль): 306–309.
4. Исмаилеску, Дан; Войдани, Адам (2009), «Сохраняющие классы рассечения выпуклых четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 9 : 195–211.
5. Йозефссон, Мартин (2012), «Характеристики ортодиагональных четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 13–25.
6. Маммана, Мария Флавия; Микале, Бьяджо; Пенниси, Марио (2011), «Окружности Дроз-Фарни выпуклого четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 109–119.
7. Харрис, Дж. (2002), «Площадь четырехугольника», The Mathematical Gazette , 86 (июль): 310–311
8. Дэвид, Фрайверт (2017), «Свойства окружности точек Паскаля в четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями» (PDF) , Forum Geometricorum , 17 : 509–526.
9. Посаментье, Альфред С .; Салкинд, Чарльз Т. (1996), Сложные задачи по геометрии (второе издание), Dover Publications, стр. 104–105, № 4–23.
10. Йозефссон, Мартин (2016), «Свойства пифагорейских четырехугольников», The Mathematical Gazette , 100 (июль): 213–224.
11. Дэвид, Фрайверт (2019), «Набор прямоугольников, вписанных в ортогональный четырехугольник и определенных окружностями в точках Паскаля», Журнал геометрии и графики , 23 : 5–27.

Внешние ссылки

• Свойство ортодиагонального четырехугольника, подобное свойству Ван Обеля, в Dynamic Geometry Sketches, интерактивных геометрических эскизах.