Парадокс Браесса

Парадокс, связанный с увеличением пропускной способности дорог

Парадокс Браесса — это наблюдение, что добавление одной или нескольких дорог к дорожной сети может замедлить общий транспортный поток через нее. Парадокс был впервые обнаружен Артуром Пигу в 1920 году ^[1] и позже назван в честь немецкого математика Дитриха Браесса в 1968 году ^[2].

Парадокс может иметь аналогии в электрических сетях и биологических системах. Было высказано предположение, что в теории улучшение неисправной сети может быть достигнуто путем удаления определенных ее частей. Парадокс использовался для объяснения случаев улучшения транспортного потока , когда существующие основные дороги закрыты.

Открытие и определение

Дитрих Браесс, математик из Рурского университета , Германия , заметил, что поток в дорожной сети может быть затруднен добавлением новой дороги, когда он работал над моделированием трафика . Его идея заключалась в том, что если каждый водитель принимает оптимальное решение в собственных интересах относительно того, какой маршрут является самым быстрым, короткий путь может выбираться слишком часто, чтобы водители имели максимально короткое время в пути. Более формально, идея, лежащая в основе открытия Браесса, заключается в том, что равновесие Нэша может не совпадать с наилучшим общим потоком через сеть. ^[3]

Парадокс формулируется следующим образом:

«Для каждой точки дорожной сети пусть будет задано количество автомобилей, отправляющихся с нее, и пункт назначения автомобилей. При этих условиях требуется оценить распределение транспортного потока. Является ли одна улица предпочтительнее другой, зависит не только от качества дороги, но и от плотности потока . Если каждый водитель выбирает путь, который кажется ему наиболее выгодным, результирующее время в пути не обязательно должно быть минимальным. Более того, на примере показано, что расширение дорожной сети может вызвать перераспределение трафика, что приведет к увеличению индивидуального времени в пути».

Добавление дополнительной пропускной способности к сети , когда движущиеся объекты эгоистично выбирают свой маршрут, может в некоторых случаях снизить общую производительность. Это происходит потому, что равновесие Нэша такой системы не обязательно является оптимальным. Изменение сети вызывает новую игровую структуру, которая приводит к (многопользовательской) дилемме заключенного . В равновесии Нэша у водителей нет стимула менять свои маршруты. Хотя система не находится в равновесии Нэша, отдельные водители могут улучшить свое соответствующее время в пути, изменив маршруты, которые они выбирают. В случае парадокса Браеса водители будут продолжать переключаться, пока не достигнут равновесия Нэша, несмотря на снижение общей производительности.

Если функции задержки линейны, добавление ребра никогда не может ухудшить общее время перемещения в равновесии более чем в 4/3 раза. ^[4]

Возможные примеры парадокса в действии

Распространенность

В 1983 году Штейнберг и Зангвилл предоставили, при разумных ^{[ требуется сторонний источник ]} предположениях, необходимые и достаточные условия для возникновения парадокса Браесса в общей транспортной сети при добавлении нового маршрута. (Обратите внимание, что их результат применим к добавлению любого нового маршрута, а не только к случаю добавления одного звена.) В качестве следствия они получили, что парадокс Браесса примерно с такой же вероятностью может возникнуть, как и не возникнуть при добавлении случайного нового маршрута. ^[5]

Трафик

Когда в Сеуле убрали автомагистраль, чтобы восстановить ручей, транспортный поток в этом районе улучшился

Парадокс Браеса имеет аналог в случае сокращения дорожной сети, что может привести к сокращению времени, затрачиваемого человеком на поездку на работу. ^[6]

В Сеуле , Южная Корея , движение по городу ускорилось, когда автомагистраль была удалена в рамках проекта по восстановлению Чхонгечхон . ^[7] В Штутгарте , Германия , после инвестиций в дорожную сеть в 1969 году ситуация с движением не улучшалась, пока участок недавно построенной дороги не был снова закрыт для движения. ^[8] В 1990 году временное закрытие 42-й улицы на Манхэттене , Нью-Йорк , в День Земли уменьшило количество заторов в этом районе. ^[9] В 2008 году Юн, Гастнер и Чон продемонстрировали конкретные маршруты в Бостоне, Нью-Йорке и Лондоне, где это могло бы произойти, и указали дороги, которые можно было бы закрыть, чтобы сократить прогнозируемое время в пути. ^[10] В 2009 году Нью-Йорк экспериментировал с закрытием Бродвея на Таймс-сквер и Геральд-сквер , что привело к улучшению транспортного потока и появлению постоянных пешеходных площадей. ^[11]

В 2012 году Поль Лекроар из Института планирования и развития Иль-де-Франс написал, что «Несмотря на первоначальные опасения, удаление основных дорог не приводит к ухудшению условий дорожного движения за пределами начальных корректировок. Перераспределение трафика ограничено и не соответствует ожиданиям». ^[6] Он также отмечает, что некоторые поездки на частном транспорте (и связанная с этим экономическая деятельность) не переносятся на общественный транспорт и просто исчезают («испаряются»). ^[6]

Такое же явление наблюдалось и тогда, когда закрытие дороги не было частью городского проекта, а следствием аварии. В 2012 году в Руане пожар уничтожил мост. В течение следующих двух лет другие мосты использовались больше, но общее количество автомобилей, пересекающих мосты, сократилось. ^[6]

Электричество

В 2012 году ученые из Института динамики и самоорганизации Общества Макса Планка продемонстрировали с помощью компьютерного моделирования возможность возникновения этого явления в сетях передачи электроэнергии , где генерация электроэнергии децентрализована. ^[12]

В 2012 году международная группа исследователей из Института Нееля (CNRS, Франция), INP (Франция), IEMN (CNRS, Франция) и UCL (Бельгия) опубликовала в Physical Review Letters ^[13] статью, показывающую, что парадокс Браесса может возникать в мезоскопических электронных системах. В частности, они показали, что добавление пути для электронов в наноскопической сети парадоксальным образом снижает ее проводимость. Это было показано как моделированием, так и экспериментами при низкой температуре с использованием сканирующей затворной микроскопии .

Пружины

Справа — две пружины, соединенные последовательно короткой веревкой. Когда короткая веревка, соединяющая B и C, удалена (слева), груз висит выше.

Модель с пружинами и веревками может показать, что подвешенный груз может подняться вверх, несмотря на то, что натянутая веревка в системе подвешивания разрезана, и следует из той же математической структуры, что и исходный парадокс Браеса. ^[14]

Для двух одинаковых пружин, соединенных последовательно короткой веревкой, их общая жесткость пружины составляет половину каждой отдельной пружины, что приводит к большому растяжению при подвешивании определенного веса. Это остается в силе, когда мы добавляем две более длинные веревки в слабине, чтобы соединить нижний конец верхней пружины с подвешенным грузом (нижний конец нижней пружины), а верхний конец нижней пружины с точкой подвешивания (верхний конец верхней пружины). Однако, когда короткая веревка обрезается, более длинные веревки становятся натянутыми, и две пружины становятся параллельными (в механическом смысле ) друг другу. Общая жесткость пружины в два раза больше, чем у каждой отдельной пружины, и когда длина длинных веревок не слишком велика, подвешенный вес фактически будет выше по сравнению с тем, что было до того, как короткая веревка была обрезана.

Тот факт, что подвешенный груз поднимается, несмотря на разрезание натянутой веревки (короткой веревки) в системе подвешивания, противоречит здравому смыслу, но это следует из закона Гука и принципа работы пружин при последовательном и параллельном включении.

Биология

Адилсон Э. Моттер и его коллеги продемонстрировали, что парадоксальные результаты Браесса могут часто возникать в биологических и экологических системах. ^[15] Моттер предполагает, что удаление части нарушенной сети может спасти ее. Для управления ресурсами пищевых цепей исчезающих видов , в которых вымирание многих видов может следовать последовательно, выборочное удаление обреченного вида из сети может в принципе привести к положительному результату предотвращения серии дальнейших вымираний. ^[16]

Стратегия командных видов спорта

Было высказано предположение, что в баскетболе команду можно рассматривать как сеть возможностей для маршрута к броску в корзину, с различной эффективностью для каждого пути, и звездный игрок может снизить общую эффективность команды, аналогично сокращению пути, которое используется слишком часто, увеличивая общее время поездки по дорожной сети. Предлагаемое решение для максимальной эффективности в броске заключается в том, чтобы звездный игрок делал примерно такое же количество бросков, как и товарищи по команде. Однако этот подход не подкреплен строгими статистическими доказательствами, как отмечено в оригинальной статье. ^[17]

Блокчейн-сети

Было показано, что парадокс Браесса проявляется в сетях платежных каналов на основе блокчейна, также известных как сети уровня 2. ^[18] Сети платежных каналов реализуют решение проблемы масштабируемости сетей блокчейна, позволяя проводить транзакции с высокой скоростью без их записи в блокчейн. В такой сети пользователи могут устанавливать канал, блокируя средства на каждой стороне канала. Транзакции выполняются либо через канал, напрямую соединяющий плательщика и получателя, либо через путь каналов с промежуточными пользователями, которые запрашивают некоторые комиссии.

Хотя интуитивно открытие новых каналов обеспечивает большую гибкость маршрутизации, добавление нового канала может привести к более высоким комиссиям, а закрытие существующих каналов может снизить комиссии. В статье представлен теоретический анализ с условиями парадокса, методами смягчения парадокса, а также эмпирический анализ, показывающий проявление парадокса на практике и его влияние на сеть Lightning Bitcoin.

Математический подход

Пример

Рассмотрим дорожную сеть, показанную на соседней диаграмме, на которой 4000 водителей хотят проехать из точки Start в End. Время в пути в минутах на дороге Start–A равно количеству путешественников (T), деленному на 100, а на дороге Start–B — постоянному значению 45 минут (аналогично с дорогами напротив них). Если пунктирной дороги не существует (то есть в дорожной сети всего 4 дороги), время, необходимое для проезда по маршруту Start–A–End с водителями, составит . Время, необходимое для проезда по маршруту Start–B–End с водителями, составит . Поскольку имеется 4000 водителей, тот факт, что можно использовать для вывода того факта, что когда система находится в равновесии. Следовательно, каждый маршрут занимает минут. Если бы любой из маршрутов занимал меньше времени, это не было бы равновесием Нэша: рациональный водитель переключился бы с более длинного маршрута на более короткий. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{100}}+45}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\tfrac {b}{100}}+45}$ ${\displaystyle a+b=4000}$ ${\displaystyle a=b=2000}$ ${\displaystyle {\tfrac {2000}{100}}+45=65}$

Теперь предположим, что пунктирная линия A–B — это дорога с чрезвычайно коротким временем в пути, приблизительно 0 минут. Предположим, что дорога открыта, и один водитель пытается проехать по маршруту Start–A–B–End. К своему удивлению он обнаруживает, что его время составляет минуты, что экономит почти 25 минут. Вскоре больше из 4000 водителей пробуют этот новый маршрут. Затраченное время увеличивается с 40,01 и продолжает расти. Когда количество водителей, пробующих новый маршрут, достигает 2500, а 1500 все еще находятся на маршруте Start–B–End, их время составит минуты, что не является улучшением по сравнению с исходным маршрутом. Между тем, эти 1500 водителей замедлились до минут, что на 20 минут больше. Они обязаны переключиться на новый маршрут также через A, поэтому теперь это занимает минуты. Ни у кого нет стимула ехать по маршруту A-End или Start-B, потому что любой водитель, попробовавший их, потратит 85 минут. Таким образом, открытие перекрестного маршрута влечет за собой необратимое изменение его всеми участниками, что обойдется каждому в 80 минут вместо первоначальных 65. Если бы каждый водитель согласился не пользоваться маршрутом A–B или если бы этот маршрут был закрыт, каждый водитель выиграл бы за счет сокращения времени в пути на 15 минут. ${\displaystyle {\tfrac {2000}{100}}+{\tfrac {2001}{100}}=40.01}$ ${\displaystyle {\tfrac {2500}{100}}+{\tfrac {4000}{100}}=65}$ ${\displaystyle 45+{\tfrac {4000}{100}}=85}$ ${\displaystyle {\tfrac {4000}{100}}+{\tfrac {4000}{100}}=80}$

Существование равновесия

Если предположить, что время в пути для каждого человека, едущего по краю, одинаково, то равновесие будет существовать всегда.

Пусть будет формулой для времени путешествия каждого человека, путешествующего вдоль ребра , когда люди выбирают это ребро. Предположим, что есть график трафика с людьми, едущими вдоль ребра . Пусть энергия , , будет ${\displaystyle L_{e}(x)}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle E(e)}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{x_{e}}L_{e}(i)=L_{e}(1)+L_{e}(2)+\cdots +L_{e}(x_{e})}$

(Если пусть ). Пусть общая энергия графа трафика будет суммой энергий каждого ребра в графе. ${\displaystyle x_{e}=0}$ ${\displaystyle E(e)=0}$

Возьмем выбор маршрутов, который минимизирует общую энергию. Такой выбор должен существовать, поскольку существует конечное число вариантов маршрутов. Это будет равновесие.

Предположим, от противного, что это не так. Тогда есть по крайней мере один водитель, который может изменить маршрут и улучшить время в пути. Предположим, что исходный маршрут — это , а новый маршрут — . Пусть будет полной энергией графика трафика, и рассмотрим, что произойдет, если удалить маршрут. Энергия каждого ребра уменьшится на , поэтому уменьшится на . Это просто общее время в пути, необходимое для следования по исходному маршруту. Если затем добавить новый маршрут, , общая энергия увеличится на общее время в пути, необходимое для следования по новому маршруту. Поскольку новый маршрут короче исходного, должно уменьшиться относительно исходной конфигурации, что противоречит предположению о том, что исходный набор маршрутов минимизировал общую энергию. ${\displaystyle e_{0},e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle e'_{0},e'_{1},\ldots ,e'_{m}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e_{0},e_{1},...e_{n}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle L_{e_{i}}(x_{e_{i}})}$ ${\displaystyle E}$ ${\textstyle \sum _{i=0}^{n}L_{e_{i}}(x_{e_{i}})}$ ${\displaystyle e'_{0},e'_{1},\ldots ,e'_{m}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Поэтому выбор маршрутов, минимизирующих общую энергию, является равновесием.

Нахождение равновесия

Вышеприведенное доказательство описывает процедуру, известную как динамика наилучшего ответа , которая находит равновесие для линейного графика трафика и завершается за конечное число шагов. Алгоритм называется «наилучшим ответом», потому что на каждом шаге алгоритма, если график не находится в равновесии, то какой-то водитель имеет наилучший ответ на стратегии всех других водителей и переключается на этот ответ.

Псевдокод для лучшей динамики отклика:

Пусть P — некоторая схема движения, при этом  P не находится в состоянии равновесия: вычислить потенциальную энергию e P для каждого драйвера d в ​​P : для каждого альтернативного пути p, доступного для d :  вычислить потенциальную энергию n узора, когда d выбирает путь p,  если  n < e : изменить P так, чтобы d принял путь p продолжить самый верхний, пока

На каждом шаге, если какой-то конкретный водитель мог бы добиться большего, выбрав альтернативный путь («лучший ответ»), это строго уменьшает энергию графика. Если ни один водитель не имеет наилучшего ответа, график находится в равновесии. Поскольку энергия графика строго уменьшается с каждым шагом, алгоритм динамики наилучшего ответа должен в конечном итоге остановиться.

Насколько далек от оптимального трафик в состоянии равновесия?

Если функции времени в пути линейны, то есть для некоторого , то в худшем случае движение в равновесии, минимизирующем энергию, будет вдвое хуже, чем в социально оптимальном состоянии. ^[19] ${\displaystyle L_{e}(x)=a_{e}x+b_{e}}$ ${\displaystyle a_{e},b_{e}\geq 0}$

Доказательство: Пусть будет некоторой конфигурацией трафика, с соответствующей энергией и общим временем в пути . Для каждого ребра энергия является суммой арифметической прогрессии , и используя формулу для суммы арифметической прогрессии, можно показать, что . Если — социально-оптимальный поток трафика, а — поток трафика, минимизирующий энергию, неравенство подразумевает, что . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle E(Z)}$ ${\displaystyle T(Z)}$ ${\displaystyle E(Z)\leq T(Z)\leq 2E(Z)}$ ${\displaystyle Z_{o}}$ ${\displaystyle Z_{e}}$ ${\displaystyle T(Z_{e})\leq 2E(Z_{e})\leq 2E(Z_{o})\leq 2T(Z_{o})}$

Таким образом, общее время перемещения для равновесия, минимизирующего энергию, максимум в два раза хуже, чем для оптимального потока.

Влияние топологии сети

Млихтайх ^[20] доказал, что парадокс Браеса может возникнуть тогда и только тогда, когда сеть не является последовательно-параллельным графом .

Смотрите также

• Парадокс Даунса-Томсона  – парадокс в организации дорожного движения, связанный с улучшением дорожной сети.
• Парадокс Джевонса  – Эффективность приводит к увеличению спроса
• Константа Маркетти  – Среднее время в пути
• Позиция Льюиса–Могриджа  – Теория дорожного движения
• Цена анархии в играх с перегрузкой — количественный анализ потери эффективности, вызванной внешними эффектами перегрузки.

Ссылки

1. Пигу, Артур Сесил (24 октября 2017 г.), «Благосостояние и экономическое благосостояние», Экономика благосостояния , Routledge, стр. 3–22, doi :10.4324/9781351304368-1, ISBN 978-1-351-30436-8, получено 24 марта 2023 г.
2. Браесс, Д. (декабрь 1968 г.). «Über ein Paradoxon aus der Verkehrsplanung». Unternehmensforschung Operations Research — Recherche Opérationnelle . 12 (1): 258–268. дои : 10.1007/bf01918335. ISSN  0340-9422. S2CID  39202189.
3. New Scientist, 42nd St Paradox: Отбирайте лучших, чтобы сделать вещи лучше, 16 января 2014 г. Джастин Маллинс
4. Рафгарден, Тим; Тардос, Ива. "Насколько плоха эгоистичная маршрутизация?" (PDF) . Журнал ACM. Архивировано (PDF) из оригинала 9 апреля 2016 г. . Получено 18 июля 2016 г. .
5. Steinberg, R.; Zangwill, WI (1983). «Распространенность парадокса Браесса». Transportation Science . 17 (3): 301. doi :10.1287/trsc.17.3.301.
6. (на французском языке) Оливье Раземон, «Le paradoxde de l'« évaporation » du trafic car», Le Monde , четверг, 25 августа 2016 г., стр. 5. Опубликовано в Интернете под названием «Quand les voitures s'évaporent» 24 августа. 2016 г. и обновлено 25 августа 2016 г. (страница посещена 3 августа 2023).
7. Изли, Д.; Клейнберг, Дж. (2008). Сети . Cornell Store Press. стр. 71.
8. Кнедель, В. (31 января 1969 г.). Grapheneoretische Methoden Und Ihre Anwendungen. Спрингер-Верлаг . стр. 57–59. ISBN 978-3-540-04668-4.
9. Колата, Джина (25 декабря 1990 г.). «Что, если бы они закрыли 42-ю улицу, и никто бы этого не заметил?». New York Times . Получено 16 ноября 2008 г.
10. Youn, Hyejin; Gastner, Michael; Jeong, Hawoong (2008). «Цена анархии в транспортных сетях: эффективность и оптимальность управления». Physical Review Letters . 101 (12): 128701. arXiv : 0712.1598 . Bibcode : 2008PhRvL.101l8701Y. doi : 10.1103/PhysRevLett.101.128701. ISSN  0031-9007. PMID  18851419. S2CID  20779255.
11. Бойд, Эндрю. «Парадокс Брейсса». Двигатели нашей изобретательности . Эпизод 2814.
12. Сотрудники (Институт Макса Планка) (14 сентября 2012 г.), «Исследование: солнечная и ветровая энергия может стабилизировать электросеть», R&D Magazine , rdmag.com , получено 14 сентября 2012 г.
13. Pala, MG; Baltazar, S.; Liu, P.; Sellier, H.; Hackens, B.; Martins, F.; Bayot, V.; Wallart, X.; Desplanque, L.; Huant, S. (2012) [6 декабря 2011 г. (v1)]. "Транспортная неэффективность в разветвленных мезоскопических сетях: аналог парадокса Браесса". Physical Review Letters . 108 (7): 076802. arXiv : 1112.1170 . Bibcode : 2012PhRvL.108g6802P. doi : 10.1103/PhysRevLett.108.076802. ISSN  0031-9007. PMID  22401236. S2CID  23243934.
14. Mould, Steve (29 июля 2021 г.). «The Spring Paradox». YouTube . Получено 2 декабря 2022 г. .
15. Motter, Adilson E. (2010). «Улучшение производительности сети за счет антагонизма: от синтетических спасательных средств до многолекарственных комбинаций». BioEssays . 32 (3): 236–245. arXiv : 1003.3391 . doi :10.1002/bies.200900128. PMC 2841822 . PMID  20127700. 
16. Сахасрабудхе С., Моттер А.Е., Спасение экосистем от каскадов вымирания посредством компенсаторных возмущений, Nature Communications 2, 170 (2011)
17. Скиннер, Брайан; Гастнер, Майкл Т; Чжон, Хавунг (2009). «Цена анархии в баскетболе». Журнал количественного анализа в спорте . 6 (1). arXiv : 0908.1801 . Bibcode : 2009arXiv0908.1801S. CiteSeerX 10.1.1.215.1658 . doi : 10.2202/1559-0410.1217. S2CID  119275142. 
18. Коцер, Арад; Роттенстрейх, Ори (2023). «Парадокс Браесса в платежных сетях на основе блокчейна второго уровня». Международная конференция IEEE по блокчейну и криптовалютам (ICBC) 2023 г. стр. 1–9. doi :10.1109/ICBC56567.2023.10174986. ISBN 979-8-3503-1019-1.
19. Изли, Дэвид; Клейнберг, Джон. «Сети, толпы и рынки: рассуждения о высокосвязанном мире (8.3 Продвинутый материал: Социальная стоимость трафика в равновесии)» (PDF) . Домашняя страница Джона Клейнберга . Джон Клейнберг. Архивировано (PDF) из оригинала 16 марта 2015 г. . Получено 30 мая 2015 г. .– Это препринт ISBN 9780521195331 
20. Мильхтайх, Игал (1 ноября 2006 г.). «Топология сети и эффективность равновесия». Игры и экономическое поведение . 57 (2): 321–346. doi :10.1016/j.geb.2005.09.005. hdl : 10419/259308 . ISSN  0899-8256.

Дальнейшее чтение

• Браесс, Д. (1969). «Über ein Paradoxon aus der Verkehrsplanung» [О парадоксе планирования дорожного движения] (PDF) . Unternehmensforschung (на немецком языке). 12 : 258–268.(перевод Нагурни и Ваколбингера)
• Катарина Белага-Вербицки: «Das Paradoxon von Braess in erweiterten Wheatstone-Netzen mit M/M/1-Bedienern» ISBN 3-89959-123-2 
• Перевод статьи Braess 1968 с немецкого на английский язык появился как статья "On a paradox of traffic planning" Д. Браесса, А. Нагурни и Т. Ваколбингера в журнале Transportation Science, том 39, 2005, стр. 446–450. Дополнительная информация Архивировано 27 сентября 2011 г. в Wayback Machine
• Ирвин, А.Д. (1993). «Как парадокс Браесса решает проблему Ньюкомба». Международные исследования по философии науки . 7 (2): 141–160. doi :10.1080/02698599308573460.
• Steinberg, R.; Zangwill, WI (1983). «Распространенность парадокса Браесса». Transportation Science . 17 (3): 301. doi :10.1287/trsc.17.3.301.
• Рапопорт, А.; Куглер, Т.; Дугар, С.; Гишес, Э.Дж. (2009). «Выбор маршрутов в перегруженных транспортных сетях: экспериментальные тесты парадокса Браесса» (PDF) . Игры и экономическое поведение . 65 (2): 538–571. doi :10.1016/j.geb.2008.02.007.
• Т. Рафгарден. «Цена анархии». MIT Press, Кембридж, Массачусетс, 2005.

Внешние ссылки

• Парадоксы тестирования программного обеспечения (декабрь 2005 г.) Прямая ссылка
• Домашняя страница Дитриха Браесса
• Парадокс дорожной сети
• Парадокс весны, видео на YouTube Стива Молда, объясняющее парадокс Браеса, а также тесно связанный с ним парадокс весны