Пентакисдодекаэдр

Каталонское тело с 60 гранями

3D модель пентакисдодекаэдра

В геометрии , пентакисдодекаэдр или кисдодекаэдр — это многогранник, созданный путем присоединения пятиугольной пирамиды к каждой грани правильного додекаэдра ; то есть это вершина Клее додекаэдра. В частности, этот термин обычно относится к определенному каталонскому телу , а именно, двойственному усеченному икосаэдру .

Декартовы координаты

Пусть будет золотым сечением . 12 точек, заданных и циклическими перестановками этих координат, являются вершинами правильного икосаэдра . Его двойственный правильный додекаэдр , ребра которого пересекают ребра икосаэдра под прямым углом, имеет в качестве вершин точки вместе с точками и циклическими перестановками этих координат. Умножение всех координат икосаэдра на коэффициент дает немного меньший икосаэдр. 12 вершин этого икосаэдра вместе с вершинами додекаэдра являются вершинами пентакисдодекаэдра с центром в начале координат. Длина его длинных ребер равна . Его грани представляют собой остроугольные равнобедренные треугольники с одним углом и двумя углами . Отношение длин между длинными и короткими ребрами этих треугольников равно . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (0,\pm 1,\pm \phi )}$ ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1)}$ ${\displaystyle (\pm \phi ,\pm 1/\phi ,0)}$ ${\displaystyle (3\phi +12)/19\approx 0.887\,057\,998\,22}$ ${\displaystyle 2/\phi }$ ${\displaystyle \arccos((-8+9\phi )/18)\approx 68.618\,720\,931\,19^{\circ }}$ ${\displaystyle \arccos((5-\phi )/6)\approx 55.690\,639\,534\,41^{\circ }}$ ${\displaystyle (5-\phi )/3\approx 1.127\,322\,003\,75}$

Химия

Пентакисдодекаэдр в модели бакминстерфуллерена : каждый (сферический) сегмент поверхности представляет атом углерода , и если все заменить плоскими гранями, получится пентакисдодекаэдр. Эквивалентно, усеченный икосаэдр является моделью бакминстерфуллерена, в которой каждая вершина представляет атом углерода .

Биология

Пентакисдодекаэдр также является моделью некоторых икосаэдрически симметричных вирусов, таких как аденоассоциированный вирус . Они имеют 60 связанных с симметрией капсидных белков, которые объединяются , чтобы создать 60 симметричных граней пентакисдодекаэдра .

Ортогональные проекции

Пентакисдодекаэдр имеет три положения симметрии: два на вершинах и одно на срединном ребре:

Вогнутый пентакисдодекаэдр

Вогнутый пентакисдодекаэдр заменяет пятиугольные грани додекаэдра перевернутыми пирамидами.

Связанные многогранники

Грани правильного додекаэдра могут быть заменены (или дополнены) любой правильной пятиугольной пирамидой, чтобы получить то, что в общем случае называется приподнятым додекаэдром . Например, если использовать пятиугольные пирамиды с равносторонними треугольниками, то получится невыпуклый дельтаэдр . Любой такой приподнятый додекаэдр имеет ту же комбинаторную структуру, что и пентакисдодекаэдр, т. е. ту же диаграмму Шлегеля .

Сферический пентакисдодекаэдр

Смотрите также

• Выкопанный додекаэдр

Культурные ссылки

• Структура космического корабля «Земля» в парке развлечений Epcot Всемирного центра отдыха Уолта Диснея является производной от пентакисдодекаэдра.
• Модель художественной мастерской в ​​кампусе, разработанная Джеффри Линдсеем, на самом деле представляла собой полусферический пентакисдодекаэдр https://books.google.com/books?id=JD8EAAAAMBAJ&dq=jeffrey+lindsay&pg=PA92
• Форма «Хрустального купола», используемого в популярном телевизионном игровом шоу «Хрустальный лабиринт» , основана на пентакисдодекаэдре.
• В романе «Доктор Атомик» первая атомная бомба, взорванная в Нью-Мексико, имела форму пентакисдодекаэдра.[1]
• В De Blob 2 в Prison Zoo купола состоят из частей Пентакис Додекаэдра. Эти купола также появляются всякий раз, когда игрок трансформируется на куполе на уровне Hypno Ray.
• Некоторые геодома, на которых играют люди, представляют собой пентакис-додекаэдры или, по крайней мере, приподнятые додекаэдры.

Ссылки

• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Раздел 3-9)
• Селларс, Питер (2005). «Doctor Atomic Libretto». Буси и Хоукс. Мы окружаем плутониевое ядро ​​из тридцати двух точек, равномерно распределенных по его поверхности, тридцать две точки являются центрами двадцати треугольных граней икосаэдра, переплетенных с двенадцатью пятиугольными гранями додекаэдра.
• Веннингер, Магнус (1983). Двойные модели . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-54325-5. МР  0730208.(Тринадцать полуправильных выпуклых многогранников и их двойственные, Страница 18, Пентакисдодекаэдр)
• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Бургиль, Хаим Гудман-Штраус, ISBN 978-1-56881-220-5 [2] (Глава 21, Наименование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, стр. 284, Пентакисдодекаэдр) 

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Пентакисдодекаэдр» («Каталонское тело») на MathWorld .
• Пентакис Додекаэдр – интерактивная модель многогранника
• Визуальные многогранники пентакисдодекаэдр