Перевод единиц

Перевод единиц измерения — это перевод единицы измерения , в которой выражено количество , обычно через мультипликативный коэффициент перевода , который изменяет единицу измерения, не изменяя количество. Это также часто вольно подразумевает замену количества соответствующим количеством, которое описывает то же физическое свойство.

Преобразование единиц измерения в метрической системе, такой как СИ , часто проще , чем в других, из-за согласованности системы и ее метрических префиксов , которые действуют как множители степеней числа 10.

Обзор

Определение и выбор единиц для выражения количества может зависеть от конкретной ситуации и предполагаемой цели. Это может регулироваться нормативными актами, контрактами , техническими спецификациями или другими опубликованными стандартами . Инженерное суждение может включать такие факторы, как:

точность и достоверность измерения и связанная с этим неопределенность измерения
статистический доверительный интервал или интервал допуска первоначального измерения
количество значащих цифр измерения
предполагаемое использование измерения, включая технические допуски
исторические определения единиц измерения и их производных, используемых в старых измерениях; например, международный фут против американского геодезического фута .

Для некоторых целей преобразования из одной системы единиц в другую должны быть точными, без увеличения или уменьшения точности выраженной величины. Адаптивное преобразование может не давать точно эквивалентного выражения. Номинальные значения иногда допускаются и используются.

Метод фактор-метка

Метод фактор-метка , также известный как метод единиц-факторов или метод скобок единства , ^[1] является широко используемым методом преобразования единиц, который использует правила алгебры . ^[2]^[3]^[4]

Метод фактор-метка представляет собой последовательное применение коэффициентов преобразования, выраженных в виде дробей и расположенных таким образом, что любая размерная единица, появляющаяся как в числителе, так и в знаменателе любой дроби, может быть сокращена до тех пор, пока не будет получен только желаемый набор размерных единиц. Например, 10 миль в час можно преобразовать в метры в секунду , используя последовательность коэффициентов преобразования, как показано ниже: ${\frac {\mathrm {10~{\cancel {mi}}} }{\mathrm {1~{\cancel {h}}} }}\times {\frac {\mathrm {1609.344~m} }{\mathrm {1~{\cancel {mi}}} }}\times {\frac {\mathrm {1~{\cancel {h}}} }{\mathrm {3600~s} }}=\mathrm {4.4704~{\frac {m}{s}}} .$

Каждый коэффициент преобразования выбирается на основе соотношения между одной из исходных единиц и одной из желаемых единиц (или некоторой промежуточной единицей), прежде чем перегруппировываться для создания коэффициента, который отменяет исходную единицу. Например, поскольку «миля» является числителем в исходной дроби и ⁠ ⁠ $\mathrm {1~mi} =\mathrm {1609.344~m}$ , «миля» должна быть знаменателем в коэффициенте преобразования. Разделив обе стороны уравнения на 1 милю, получаем ⁠ ⁠ ${\frac {\mathrm {1~mi} }{\mathrm {1~mi} }}={\frac {\mathrm {1609.344~m} }{\mathrm {1~mi} }}$ , что при упрощении приводит к безразмерному ⁠ ⁠ $1={\frac {\mathrm {1609.344~m} }{\mathrm {1~mi} }}$ . Из-за свойства тождественности умножения умножение любой величины (физической или нет) на безразмерную 1 не меняет эту величину. ^[5] После того, как это и коэффициент преобразования для секунд в час были умножены на исходную дробь для отмены единиц миля и час , 10 миль в час преобразуются в 4,4704 метра в секунду.

В качестве более сложного примера, концентрацию оксидов азота ( NOx ) в дымовых газах промышленной печи можно преобразовать в массовый расход, выраженный в граммах в час (г/ч) NOx, _{используя} следующую информацию, как показано ниже:

Концентрация NO _x: = 10 частей на миллион по объему = 10 ppmv = 10 объемов/ ¹⁰⁶ объемов
NO _x молярная масса: = 46 кг/кмоль = 46 г/моль
Расход дымовых газов: = 20 кубических метров в минуту = 20 м ³ /мин; Дымовые газы выходят из печи при температуре 0 °C и абсолютном давлении 101,325 кПа.; Молярный объем газа при температуре 0 °C и давлении 101,325 кПа составляет 22,414 м ³ / кмоль .

{\frac {1000\ {\ce {g\ NO}}_{x}}{1{\cancel {{\ce {kg\ NO}}_{x}}}}}\times {\frac {46\ {\cancel {{\ce {kg\ NO}}_{x}}}}{1\ {\cancel {{\ce {kmol\ NO}}_{x}}}}}\times {\frac {1\ {\cancel {{\ce {kmol\ NO}}_{x}}}}{22.414\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {NO}}_{x}}}}}\times {\frac {10\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {NO}}_{x}}}}{10^{6}\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {gas}}}}}}\times {\frac {20\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {gas}}}}}{1\ {\cancel {\ce {minute}}}}}\times {\frac {60\ {\cancel {\ce {minute}}}}{1\ {\ce {hour}}}}=24.63\ {\frac {{\ce {g\ NO}}_{x}}{\ce {hour}}}

После исключения любых размерных единиц, которые появляются как в числителях, так и в знаменателях дробей в приведенном выше уравнении, концентрация NO _x 10 ppm _v преобразуется в массовый расход 24,63 грамма в час.

Проверка уравнений, включающих размерности

Метод фактор-метка также может быть использован для любого математического уравнения, чтобы проверить, совпадают ли размерные единицы в левой части уравнения с размерными единицами в правой части уравнения. Наличие одинаковых единиц в обеих частях уравнения не гарантирует, что уравнение правильное, но наличие разных единиц в двух частях (выраженных в терминах базовых единиц) уравнения означает, что уравнение неверное.

Например, проверьте уравнение универсального газового закона PV = nRT , когда:

давление P измеряется в паскалях (Па)
объем V в кубических метрах (м ³ )
количество вещества n в молях (моль)
универсальная газовая постоянная R равна 8,3145 Па⋅м ³ /(моль⋅К)
температура T измеряется в кельвинах (К)

$\mathrm {Pa{\cdot }m^{3}} ={\frac {\cancel {\mathrm {mol} }}{1}}\times {\frac {\mathrm {Pa{\cdot }m^{3}} }{{\cancel {\mathrm {mol} }}\ {\cancel {\mathrm {K} }}}}\times {\frac {\cancel {\mathrm {K} }}{1}}$

Как можно видеть, когда размерные единицы, появляющиеся в числителе и знаменателе правой части уравнения, отменяются, обе стороны уравнения имеют одинаковые размерные единицы. Размерный анализ может быть использован в качестве инструмента для построения уравнений, которые связывают неассоциированные физико-химические свойства. Уравнения могут раскрывать неоткрытые или упущенные из виду свойства материи в форме оставшихся измерений – размерных корректировщиков – которым затем может быть приписано физическое значение. Важно отметить, что такая «математическая манипуляция» не является ни беспрецедентной, ни не имеющей значительного научного значения. Действительно, постоянная Планка , фундаментальная физическая константа, была «открыта» как чисто математическая абстракция или представление, которое было построено на законе Рэлея-Джинса для предотвращения ультрафиолетовой катастрофы . Она была назначена и вознесена до своего квантово-физического значения либо в тандеме, либо после математической размерной корректировки – не ранее.

Ограничения

Метод фактор-метка может преобразовывать только единичные величины, для которых единицы находятся в линейной зависимости, пересекающейся в 0 ( шкала отношений в типологии Стивенса). Большинство преобразований соответствуют этой парадигме. Примером, для которого он не может быть использован, является преобразование между шкалой Цельсия и шкалой Кельвина (или шкалой Фаренгейта ). Между градусами Цельсия и кельвинами существует постоянная разность, а не постоянное отношение, в то время как между градусами Цельсия и градусами Фаренгейта нет ни постоянной разности, ни постоянного отношения. Однако между ними существует аффинное преобразование ( ⁠ ⁠ $x\mapsto ax+b$ , а не линейное преобразование ⁠ ⁠ ). $x\mapsto ax$

Например, точка замерзания воды равна 0 °C и 32 °F, а изменение на 5 °C равно изменению на 9 °F. Таким образом, чтобы перевести единицы Фаренгейта в единицы Цельсия, нужно вычесть 32 °F (смещение от точки отсчета), разделить на 9 °F и умножить на 5 °C (масштабируется по отношению единиц) и добавить 0 °C (смещение от точки отсчета). Обратное дает формулу для получения количества в единицах Цельсия из единиц Фаренгейта; можно было бы начать с эквивалентности между 100 °C и 212 °F, что дает ту же самую формулу.

Следовательно, для преобразования числового значения величины температуры T [F] в градусах Фаренгейта в числовое значение величины T [C] в градусах Цельсия можно использовать следующую формулу:

Т [С] = ( Т [Ж] − 32) × 5/9.

Для перевода T [C] в градусах Цельсия в T [F] в градусах Фаренгейта можно использовать следующую формулу:

Т [Ф] = ( Т [С] × 9/5) + 32.

Пример

Начиная с:

Z=n_{i}\times [Z]_{i}

замените исходную единицу измерения ее $[Z]_{i}$ значением в терминах желаемой единицы измерения , например , $[Z]_{j}$ если ⁠ ⁠ $[Z]_{i}=c_{ij}\times [Z]_{j}$ , то:

Z=n_{i}\times (c_{ij}\times [Z]_{j})=(n_{i}\times c_{ij})\times [Z]_{j}

Теперь ⁠ ⁠ $n_{i}$ и ⁠ ⁠ $c_{ij}$ оба являются числовыми значениями, поэтому просто вычислите их произведение.

Или, что математически то же самое, умножьте Z на единицу, произведение по-прежнему будет Z :

Z=n_{i}\times [Z]_{i}\times (c_{ij}\times [Z]_{j}/[Z]_{i})

Например, у вас есть выражение для физической величины Z, включающее единицу измерения футы в секунду ( ⁠ ⁠ $[Z]_{i}$ ), и вы хотите выразить ее в единицах измерения мили в час ( ⁠ ⁠ $[Z]_{j}$ ):

Найдите факты, связывающие исходную единицу с желаемой единицей:
1 миля = 5280 футов и 1 час = 3600 секунд
Далее воспользуйтесь приведенными выше уравнениями для построения дроби, которая имеет значение единицы и содержит единицы, такие, что при умножении на исходное физическое значение исходные единицы будут уничтожены:
$1={\frac {1\,\mathrm {mi} }{5280\,\mathrm {ft} }}\quad \mathrm {and} \quad 1={\frac {3600\,\mathrm {s} }{1\,\mathrm {h} }}$
Наконец, умножьте исходное выражение физической величины на дробь, называемую коэффициентом преобразования , чтобы получить ту же физическую величину, выраженную в других единицах. Примечание: поскольку допустимые коэффициенты преобразования безразмерны и имеют численное значение, равное единице , умножение любой физической величины на такой коэффициент преобразования (который равен 1) не изменяет эту физическую величину.
$52.8\,{\frac {\mathrm {ft} }{\mathrm {s} }}=52.8\,{\frac {\mathrm {ft} }{\mathrm {s} }}{\frac {1\,\mathrm {mi} }{5280\,\mathrm {ft} }}{\frac {3600\,\mathrm {s} }{1\,\mathrm {h} }}={\frac {52.8\times 3600}{5280}}\,\mathrm {mi/h} =36\,\mathrm {mi/h}$

Или в качестве примера использования метрической системы у вас есть значение экономии топлива в литрах на 100 километров , и вы хотите выразить его в микролитрах на метр :

\mathrm {\frac {9\,{\rm {L}}}{100\,{\rm {km}}}} =\mathrm {\frac {9\,{\rm {L}}}{100\,{\rm {km}}}} \mathrm {\frac {1000000\,{\rm {\mu L}}}{1\,{\rm {L}}}} \mathrm {\frac {1\,{\rm {km}}}{1000\,{\rm {m}}}} ={\frac {9\times 1000000}{100\times 1000}}\,\mathrm {\mu L/m} =90\,\mathrm {\mu L/m}

Расчет с использованием единиц, не входящих в систему СИ

В случаях, когда используются единицы, не входящие в систему СИ , численное вычисление формулы можно выполнить, сначала вычислив коэффициент, а затем подставив числовые значения заданных/известных величин.

Например, при изучении конденсата Бозе-Эйнштейна [ ^6] атомная масса $m$ обычно указывается в дальтонах , а не в килограммах , а химический потенциал $μ$ часто указывается в постоянной Больцмана , умноженной на нанокельвин . Длина заживления конденсата определяется по формуле: $\xi ={\frac {\hbar }{\sqrt {2m\mu }}}\,.$

Для конденсата ²³ Na с химическим потенциалом (постоянная Больцмана, умноженная на) 128 нК расчет длины заживления (в микрометрах) можно выполнить в два этапа:

Рассчитайте фактор

Предположим, что ⁠ ⁠ $m=1\,{\text{Da}},\mu =k_{\text{B}}\cdot 1\,{\text{nK}}$ , это дает нам множитель. $\xi ={\frac {\hbar }{\sqrt {2m\mu }}}=15.574\,\mathrm {\mu m} \,,$

Подсчитайте числа

Теперь воспользуйтесь тем фактом, что ⁠ ⁠ $\xi \propto {\frac {1}{\sqrt {m\mu }}}$ . С ⁠ ⁠ $m=23\,{\text{Da}},\mu =128\,k_{\text{B}}\cdot {\text{nK}}$ , ⁠ ⁠ $\xi ={\frac {15.574}{\sqrt {23\cdot 128}}}\,{\text{μm}}=0.287\,{\text{μm}}$ .

Этот метод особенно полезен для программирования и/или создания рабочего листа , где входные величины принимают несколько различных значений. Например, с помощью рассчитанного выше коэффициента очень легко увидеть, что длина заживления ¹⁷⁴ Yb с химическим потенциалом 20,3 нК составляет

⁠ ⁠

\xi ={\frac {15.574}{\sqrt {174\cdot 20.3}}}\,{\text{μm}}=0.262\,{\text{μm}}

Программные инструменты

Существует множество инструментов преобразования. Они находятся в библиотеках функций приложений, таких как базы данных электронных таблиц, в калькуляторах, а также в пакетах макросов и плагинах для многих других приложений, таких как математические, научные и технические приложения.

Существует множество автономных приложений, которые предлагают тысячи различных единиц с преобразованиями. Например, движение свободного программного обеспечения предлагает утилиту командной строки GNU units для Linux и Windows. Унифицированный код для единиц измерения также является популярным вариантом.

Смотрите также

Примечания и ссылки

^ Бела Бодо; Колин Джонс (26 июня 2013 г.). Введение в механику грунтов. John Wiley & Sons. стр. 9–. ISBN 978-1-118-55388-6.
^ Голдберг, Дэвид (2006). Основы химии (5-е изд.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322104-5.
^ Огден, Джеймс (1999). Справочник по химической инженерии . Ассоциация исследований и образования. ISBN 978-0-87891-982-6.
^ «Размерный анализ или метод факторных меток». Страница химии г-на Кента .
^ "Свойство тождества умножения" . Получено 2015-09-09 .
^ Фут, CJ (2005). Атомная физика. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850695-9.

Примечания

Внешние ссылки

В Wikibooks есть книга по теме: FHSST Physics Units:How to Change Units

В Wikivoyage есть путеводитель по метрическим и имперским эквивалентам .

Законодательный акт 1995 г. № 1804 Правила единиц измерения 1995 г. Из legal.gov.uk
"NIST: Фундаментальные физические константы – единицы, не входящие в систему СИ" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2016-12-27 . Получено 2004-03-15 .
Руководство NIST по единицам СИ. Перечислены многочисленные коэффициенты пересчета.
Единый код единиц измерения
XML-словарь единиц измерения, символов и преобразований. Архивировано 02.05.2023 на Wayback Machine
«Инструкция sur les poids et mesures républicaines – déduites de la grandeur de la terre, униформы для всей Республики и sur les Calculs Relatifs à leur Division Décimale» (на французском языке)
Обзор математических навыков
Обсуждение единиц измерения
Краткое руководство по преобразованию единиц измерения
Отмена урока по юнитам
Глава 11: Поведение газов Химия: Концепции и приложения , Дентонский независимый школьный округ